6d_9習(xí)題課ppt課件

1、第六章 線性空間習(xí)題課1;.2n主要內(nèi)容n一、線性空間一、線性空間n1定義 代數(shù)運(yùn)算，數(shù)量乘法滿足8條規(guī)則n2性質(zhì)：n零元素是唯一的； 負(fù)元素是唯一n 0a0，k00 ； ka0k0或a03n3線性空間的維數(shù)（有限維，無限維）線性空間的維數(shù)（有限維，無限維）有限維線性空間的基有限維線性空間的基基變換與坐標(biāo)變換、過渡矩陣，基變換公式與坐標(biāo)變換個(gè)數(shù)基變換與坐標(biāo)變換、過渡矩陣，基變換公式與坐標(biāo)變換個(gè)數(shù) 二、線性子空間二、線性子空間(linearsubspace)1子空間的定義與判定條件子空間的定義與判定條件線性空間線性空間V的子集的子集W稱為線性子空間，如果稱為線性子空間，如果W對(duì)于對(duì)于V的兩種運(yùn)算

2、封閉。的兩種運(yùn)算封閉。 由由r個(gè)向量生成的子空間個(gè)向量生成的子空間4n生成元生成元零子空間、平凡子空間、非平凡子空間。零子空間、平凡子空間、非平凡子空間。兩個(gè)向量組生成相同子空間的充分必要條件是這兩個(gè)向量組等價(jià)。兩個(gè)向量組生成相同子空間的充分必要條件是這兩個(gè)向量組等價(jià)。有限維向量空間中的任意線性無關(guān)的向量組都可以擴(kuò)充成原向量空間的有限維向量空間中的任意線性無關(guān)的向量組都可以擴(kuò)充成原向量空間的一組基。一組基。5n2子空間的和與交子空間的和與交 設(shè)設(shè)V1，V2是線性空間是線性空間V的子空間，的子空間，n則則V1V2 ，和則，和則V1V2都是都是V的子空間。的子空間。 如果如果V1，V2是有限維線性

3、空間是有限維線性空間V的子空間，那么的子空間，那么ndim（V1)+dim(V2 )=dim(V1V2 )+dim(V1V2) 向量組生成的子空間的維數(shù)等于向量組的秩。向量組生成的子空間的維數(shù)等于向量組的秩。6n3子空間的直和子空間的直和 如果子空間如果子空間V1，V2的和的和n 中每個(gè)向量的分解式都唯一，則稱為直和。中每個(gè)向量的分解式都唯一，則稱為直和。 設(shè)設(shè)V1，V2是線性空間是線性空間V的子空間，則以下命題等價(jià)：的子空間，則以下命題等價(jià)：n2 , 1,|2121iVVVii)dim()dim()dim() 4(;0) 3(0V0212121212122112121VVVVVVVWVV，；

4、）等式（是直和；）（7n 線性子空間的概念可推廣到多個(gè)子空間的情形4線性空間的同構(gòu)同構(gòu)的定義：11映射滿足n同構(gòu)的性質(zhì):n（2）同構(gòu)映射保持向量間的線性關(guān)系.)()(;)()()(kk)()(,0)0()1(8 n(3)V中的向量組中的向量組 線性相關(guān)充分必要條件是它們的象線性相關(guān)充分必要條件是它們的象 n 線性相關(guān)線性相關(guān).n(4)子空間的象構(gòu)成子空間子空間的象構(gòu)成子空間,且維數(shù)相同且維數(shù)相同.(5)同構(gòu)映射的逆映射及兩個(gè)同構(gòu)映射的乘積還是同構(gòu)映射同構(gòu)映射的逆映射及兩個(gè)同構(gòu)映射的乘積還是同構(gòu)映射.(6)有限維向量空間同構(gòu)的充分必要條件是它們的維數(shù)相同有限維向量空間同構(gòu)的充分必要條件是它們的維

5、數(shù)相同.n習(xí)題舉例習(xí)題舉例r,21)(,),(),(21r9ExEx.1；證明，復(fù)數(shù)域C C作為實(shí)數(shù)域R R上的向量空間，與V V2 2同構(gòu)。ExEx.2；設(shè) 是線性空間V到W的一個(gè)同構(gòu)映射，U U是V V的一個(gè)子空間，證明： 是W W的一個(gè)子空間。Ex.3Ex.3; 證明：線性空間FxFx可以與它的一個(gè)真子空間同構(gòu)。 V= FxV= Fx，W=W= WVf:)(Uf)(| )(xFxfxxf)()(;:xxfxfWV10ExEx.4 P Pn n的任意一個(gè)子空間都是某一含n n個(gè)末知量的齊次線性方程組的解空間。證明：設(shè)V V是P Pn n的任意一個(gè)子空間，維（V V）=r r,令V=V=L

6、L( )其中 ， ， ， r,21121111naaa222122naaanrrrraaa2111構(gòu)造線性方程組：其解向量構(gòu)成n-rn-r維線性空間，設(shè)由下面n-rn-r個(gè)向量組成 顯然, 0, 0, 0221122221121221111nnrrrnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxanrnrnrnnnbbbbbbbbb)(2)(1 )(2222111211,V是線性方程組 的解空間。 ,0,0,0)(11)(22221211212111nnrnrnnnnnxbxbxbxbxbxbxbxb12Ex.Ex.5;求線性空間的維數(shù)1）數(shù)域P上所有反對(duì)稱矩陣組成的線性空間。2）數(shù)域P上所有上三

7、角形矩陣組成的線性空間。 2)1(nn2)1(nn13ExEx.6;證明：P Pn n的任意一個(gè)真子空間都是若干個(gè)n-1n-1維子空間的交。證明：設(shè)V V是P Pn n的任意一個(gè)真子空間，不仿設(shè) V=V=L L( )，它是線性方程組 的解空間，記 為線性方程組k=1,2n-r的解空間,是P Pn n的n-1n-1維子空間,V V恰是這n-rn-r個(gè)n-1n-1維子空間的交 r,21)(nr , 0, 0, 0)(11 )(22221211212111nnrnrnnnnnxbxbxbxbxbxbxbxbkW02211nknkkxbxbxb14ExEx.7;設(shè) 是n n維線性空間V V中的n n個(gè)

8、向量，V V中的每個(gè)向量都可以由它們線性給出，求證： 是V的一組基。證明：只須證明 線性無關(guān)，事實(shí)上，如果 是 的一個(gè)極大線性無關(guān)組，則 是V的一組基，所以 ，向量組 就是向量組 是線性無關(guān)。 n,21n,21n,21rkrr,21n,21rkrr,21nkrkrr,21n,2115ExEx.8;在 中求齊次線性方程組 的解空間的維數(shù)與一組基。 5R02203224022543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx16解空間的維數(shù)是3，一組基是 211213224111122A533605336021121000003511202112100000351120310001)6

9、, 0 , 0 , 5 , 2(),0 , 2 , 0 , 1, 0(),0 , 0 , 2 , 1 , 0(321解：由于17EX.9;已知 ，求向量 生成的 的子空間 與向量 生成的 的子空間 的交與和空間的維數(shù)與一個(gè)基。 ) 2 ,10, 0 (),1 , 2 , 1, 3 (21) 6, 1 , 3, 2 (),3 , 1 , 0 , 1 (2121,4R),(211LV 21,4R),(212LV 18ExEx.10;設(shè) 證明：實(shí)數(shù)域上矩陣A A的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 組成的空間與復(fù)數(shù)域C C作為實(shí)數(shù)域R R上的線性空間 同構(gòu)。 0110A)(Af 0110| )(AAfV,|RbabiaV19證明：注意到 ，則，建立V V到 的映射： 是同構(gòu)映射；所以V V與 同構(gòu) 偶數(shù)當(dāng)奇數(shù)當(dāng)kEkAAk,VRbabAaEAfbiaz,)(:V RbabAaEAf,)(20作成實(shí)數(shù)域作成實(shí)數(shù)域R上的線性空間上的線性空間. 把實(shí)數(shù)域把實(shí)數(shù)域R看成是自身上的線性空間看成是自身上的線性空間.,kababk aa 例全體正實(shí)數(shù)例全體正實(shí)數(shù)R+ + 關(guān)于加法關(guān)于加法與數(shù)量乘法：與數(shù)量乘法： 證明：并寫出一個(gè)同構(gòu)映射證明：并寫出一個(gè)同構(gòu)映射. ,RR 證：作對(duì)應(yīng)證：作對(duì)應(yīng) :,ln ,RRaaaR 易證為的易證為的11對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng). RR 到到且對(duì)有且對(duì)有,a bRkR