八年級數(shù)學(xué)上冊4.4一次函數(shù)的應(yīng)用例題與講解素材(新版)北師大版

1、4 一次函數(shù)的應(yīng)用基礎(chǔ)知識基舉捷能UZjlZi F hi丁JA E A n i i P i i入 * 壬疋1 .確定一次函數(shù)表達(dá)式(1) 借助圖象確定函數(shù)的表達(dá)式先觀察直線是否過坐標(biāo)原點(diǎn)，若過原點(diǎn)，則為正比例函數(shù)，可設(shè)其關(guān)系式為y=kx(k豐0)；若不過原點(diǎn)，則為一次函數(shù)，可設(shè)其關(guān)系式為y=kx+b(kz0)；然后再觀察圖象上有沒有明確幾個點(diǎn)的坐標(biāo).對于正比例函數(shù)，只要知道一個點(diǎn)的坐標(biāo)即可；對于一次函數(shù)，則需要知道兩個點(diǎn)的坐標(biāo)；最后將各點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=kx或y=kx+b中，求出其中的k,b,即可確定出其關(guān)系式.(2) 確定正比例函數(shù)、一次函數(shù)表達(dá)式需要的條件1由于正比例函數(shù)y=kx(k豐0)

2、中只有一個未知系數(shù)k，故只要一個條件，即一對x,y的值或一個點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以求出k的值，確定正比例函數(shù)的表達(dá)式.2一次函數(shù)y=kx+b(kz0)有兩個未知系數(shù)k，b，需要兩個獨(dú)立的關(guān)于k，b的條件，求得k，b的值，這兩個條件通常是兩個點(diǎn)的坐標(biāo)或兩對x，y的值.【例 1】 如圖，直線AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是(A. y=-|x+ 32D. y= 3X+ 3解析：設(shè)直線AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b(k豐0)，當(dāng)x= 0 時，y= 3,代入得b33=3，當(dāng)x= 2 時，y= 0，貝y2k+ 3= 0，k=-，故y= -x+ 3.答案：A點(diǎn)技巧用待定系數(shù)法求直線解析式由圖象觀察可知該函數(shù)為一次函數(shù)，

3、故應(yīng)設(shè)成y=kx+b(kz0)的形式，再將A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入該關(guān)系式，即可求出k,b,從而確定出具體的關(guān)系式.2.待定系數(shù)法(1) 定義：先設(shè)出式子中的未知系數(shù)，再根據(jù)條件求出未知系數(shù)，從而寫出這個式子的 方法，叫做待定系數(shù)法，其中的未知數(shù)也稱為待定系數(shù).B. y= |x+ 32(2) 用待定系數(shù)法求解析式的一般步驟：1根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的解析式；2將x,y的幾對值或圖象上幾個點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述的解析式中，得到以待定系數(shù)為未 知數(shù)的方程或方程組；3解方程(組)，得到待定系數(shù)的值；4將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)解析式中，得到所求函數(shù)的解析式.【例 2- 1】一次函數(shù)圖象如圖所示，求其

4、解析式.分析：利用圖象所給的信息，即直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出k,b的值，從而確定表達(dá)式.解：設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b,一次函數(shù)圖象過點(diǎn)(0，- 2),2=kxo+b,. b= 2.一次函數(shù)圖象過點(diǎn)(1,0), 0=kx1+b,k= 2. 一次函數(shù)解析式為y= 2x 2.【例 2 2在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過三點(diǎn)A(2,0) ,B(0,2) ,C(m,3)，求這個函數(shù)的表達(dá)式，并求m的值.解：根據(jù)題意，得2k+b= 0，b= 2,km+b= 3，把b= 2 代入，得 2k+ 2= 0,即卩k= 1;把b= 2,k= 1 代入，得 m= 1.故函數(shù)的表達(dá)

5、式為y= x+ 2.3.一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(1) 通過圖象獲取信息通過觀察一次函數(shù)的圖象獲取有用的信息是我們在日常生活中經(jīng)常遇到的問題，要掌握這個重點(diǎn)在于對函數(shù)圖象的觀察和分析，觀察函數(shù)圖象時，首先要看橫軸、縱軸分別代表的是什么，也就是觀察圖象反映的是哪兩個變量之間的關(guān)系.釋疑點(diǎn)函數(shù)圖象中的特殊點(diǎn)觀察圖象獲取信息時，一定要注意圖象上的特殊點(diǎn)，這些特殊點(diǎn)對我們解決問題有很大 的幫助.(2) 一次函數(shù)圖象的應(yīng)用3一次函數(shù)和正比例函數(shù)是我們接觸到的最簡單的函數(shù)，它們的圖象和性質(zhì)在現(xiàn)實(shí)生活中4有著廣泛的應(yīng)用.禾 U 用一次函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象解決問題是本節(jié)的一個重點(diǎn), 容在中考中占有重要的地位.談重

6、點(diǎn) 函數(shù)y=kx+b圖象的變化形式在實(shí)際問題中，當(dāng)自變量的取值范圍受到一定的限制時，函數(shù)y=kx+b(k工 0)的圖象就不再是一條直線要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行分析，其圖象可能是射線、線段或折線等等.【例 3- 1】甲、乙兩個工程隊(duì)分別同時開挖兩段河渠，所挖河渠的長度y(m)與挖掘時間x(h)之間的關(guān)系如圖所示，請根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題:(1) 乙隊(duì)開挖到 30 m 時，用了 _ h 開挖 6 h 時甲隊(duì)比乙隊(duì)多挖了 _ m.(2) 請你求出：1甲隊(duì)在 OwXW6的時段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；2乙隊(duì)在 2x6的時段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.(3) 當(dāng)x為何值時，甲、乙兩隊(duì)在施工過程中所

7、挖河渠的長度相等？分析：(1)由圖象可以直接看出乙隊(duì)開挖到30 m 時，用了 2 h 開挖 6 h 時甲隊(duì)比乙隊(duì)多挖了 10 m設(shè)甲隊(duì)在 0wxW6的時段內(nèi)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kix(ki豐0)，由 圖可知，函數(shù)圖象過點(diǎn)(6,60) ,.6 匕=60,解得k1= 10,y= 10 x.設(shè)乙隊(duì)在 2 1 500 時，y2yi; 0vxv1 500 時，y?vyi.解：觀察圖象，得：(1) 每月行駛的路程小于 1 500 km 時，租國有出租車公司的車合算；(2) 每月行駛的路程為 1 500 km 時，租兩家車的費(fèi)用相同；(3) 如果每月行駛的路程為 2 600 km,那么這個單位租個體

8、車主的車合算.析規(guī)律 函數(shù)圖象交點(diǎn)規(guī)律兩函數(shù)圖象在同一坐標(biāo)系中，當(dāng)取相同的自變量時，下方圖象對應(yīng)的函數(shù)的函數(shù)值小; 交點(diǎn)處的函數(shù)值相等.4一次函數(shù)和一元一次方程的關(guān)系當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b(kz0)中的函數(shù)值為 0 時，可得 0 =kx+b即kx+b= 0,這在形式 上變成了求關(guān)于x的一元一次方程，也就是說，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值為 0 時，相應(yīng)的自變量的值即為方程kx+b= 0 的解；若從圖象上來看，則可看做函數(shù)y=kx+b的圖象 與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為方程kx+b= 0 的解.由此可見，方程與函數(shù)是密不可分的.【例 4】某汽車生產(chǎn)廠對其生產(chǎn)的A 型汽車進(jìn)行耗油量實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中汽車

9、視為勻速行駛已知油箱中的余油量y(L)與行駛時間t(h)的關(guān)系如下表，與行駛路程F圖.請你根據(jù)這些信息求 A 型車在實(shí)驗(yàn)中的速度分析：考查綜合利用一次函數(shù)的相關(guān)知識解決問題的能力.解法一：余油量y與行駛路程x的關(guān)系圖象是一條直線，可設(shè)關(guān)系式為y=kx+b(k豐0).由圖象可知y=kx+b經(jīng)過兩點(diǎn)(0,100)和(500,20)，則有b= 100,20 = 500k+b.4x(km)的關(guān)系如行駛時間t(h)0123油箱余油量y(L)100846852200 5001 5000500 AAm6把b= 100 代入 20= 500k+b,得 20= 500k+ 100，解得k=- 4直線的解析式為y

10、= + 100.25當(dāng)y= 100 時，x= 0;當(dāng)y= 84 時，x= 100.由圖表可知，油箱中的余油量從100 L 到 84 L ,行駛時間是 1 h，行駛路程是 100 km.A型汽車的速度為 100 km/h.解法二：由圖表可知：A 型汽車每行駛 1 h 的路程耗油 16 L.由圖象可知：A 型汽車耗油 80 L 所行駛的路程為 500 km.可設(shè)汽車耗油 16 L 所行駛的路程為xkm ,則 500 : 80=x: 16，解得x= 100.A型汽車 1 h 行駛的路程為 100 km.它的速度為 100 km/h.點(diǎn)評：有時，我們利用一次函數(shù)的圖象求一元一次方程的近似解.基本方法卿

11、能力丿ii QU匚1 Di Fi hi% P、m5.一次函數(shù)圖象的平移一次函數(shù)y=kx+b（k豐0）的圖象可以看做由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到（當(dāng)b0 時，向上平移；當(dāng)bv0 時，向下平移）.實(shí)際上就是指一次函數(shù)y=kx+b的圖象沿y軸平移時，在b的位置上按照“上加下減”的規(guī)律進(jìn)行如：一次函數(shù)丨1：y= |x+ 2 的圖象可以看做是由正比例函數(shù)I:y= 2x的圖象沿y軸向上平移 2 個單位長度得到的；一次函22數(shù)丨2:y=3x 2 的圖象可以看做是由正比例函數(shù)I:y=3x的圖象沿y軸向下平移 2 個單位33長度得到的.【例 5】 如圖所示，將直線0A向上平移 1 個單位長度，得到一

12、個一次函數(shù)的圖象，那 么這個一次函數(shù)的解析式是 _.7OA 1 2 JC解析：由圖象可知，直線經(jīng)過原點(diǎn)，所以設(shè)直線的解析式為y=kx（0）.因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)（2,4），所以直線的解析式為y= 2x.根據(jù)“上加下減”的原則，可知所求的一次函數(shù)解 析式為y= 2x+ 1.答案：y= 2x+ 1析規(guī)律 平移中的函數(shù)解析式解決平移問題可以對性質(zhì)進(jìn)行記憶直接運(yùn)用，也可以找出平移后借助坐標(biāo)系運(yùn)用待定系數(shù)法求解平移前后k的值不變，改變的是b的值.6.函數(shù)、方程和不等式的完美結(jié)合從“數(shù)”的角度看，由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b= O（a,b為常數(shù)，且a*0）的形式，所以解一元一次方程可以看做：當(dāng)一次函

13、數(shù)y=ax+b的值為 0 時，求相應(yīng)的自變量的值；反之，求自變量x為何值時，一次函數(shù)y=ax+b的值為 0,只要求出方程ax+b=0 的解即可由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為類似ax+b0 或ax+b0 或ax+b 0 的解集是_ .解析：本題先以表格的形式向我們提供了一次函數(shù)y=ax+b的信息按一般解法，我們完全可以利用這些對應(yīng)值，通過待定系數(shù)法求出未知系數(shù)a和b,然后再去解方程或不等式，于是得解果真那樣去做的話，說明你沒有真正領(lǐng)會到本題的用意事實(shí)上，本題是想 考查你對一元一次方程、一元一次不等式和一次函數(shù)之間關(guān)系的掌握情況.由三者之間的關(guān)系可知，求方程ax+b= 0 的解，實(shí)質(zhì)上就是求一

14、次函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值為 0 時，對應(yīng)的 自變量x的取值，從表中可直接看出x= 1；同理，求不等式ax+b 0 的解集，實(shí)質(zhì)上就是求當(dāng)一次函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值大于 0 時，對應(yīng)的自變量x的取值范圍，這時也可以從表 中直接看出為x 1.V. 4 3 2 18答案：x= 1x0 時，向上平移；當(dāng)bv0 時，向下平移)，所以將直線y= 2x向上平移兩個單位長度，所得的 直線是y= 2x+ 2.答案：A【例 7 5】 大拇指盡量伸開時，拇指與食指的距離稱為指距，某研究表明，一般情況 下，人的身高h(yuǎn)是指距d的一次函數(shù)，下表是測得指距與身高的一組數(shù)據(jù)：指距d(cm)20212223身高h(yuǎn)(cm)1

15、60169178187(1) 求出h與d之間的函數(shù)關(guān)系式.(2) 某人身高 196 cm，一般情況下他的指距是多少？解： 設(shè)一次函數(shù)的解析式為h=kd+b(k,b為常數(shù)，且k工 0).由題意，得 160= 20k+b，169 = 21k+b.，得k= 9，代入，得b= 20.故一次函數(shù)的解析式為h= 9d 20.(2)當(dāng)h= 196 時，196 = 9d 20,得d= 24.因此某人身高 196 cm，一般情況下他的指距是24 cm.8.分段計(jì)費(fèi)問題元？10在自變量的不同取值范圍內(nèi)表示函數(shù)關(guān)系的解析式有不同的形式，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)，有關(guān)運(yùn)用分段函數(shù)的知識解決生活中的問題是近幾年中考的熱點(diǎn)之一，能考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，及培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和深刻性.分段計(jì)費(fèi)問題和實(shí)際生活聯(lián)系密切，這類問題考查有效地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的 能力常見的分段計(jì)費(fèi)問題有：水費(fèi)分段計(jì)費(fèi)、電費(fèi)分段計(jì)費(fèi)、話費(fèi)分段計(jì)費(fèi)等.點(diǎn)評：解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)建函數(shù)在不同的條件下的解析式，再由條件選擇對應(yīng)的解析式求解.【例 8】 某市居民生活用電基本價格為每度0.4 元，若每月用電超過a度，超過部分按基本電價的 70%攵費(fèi).(1) 某戶五月份用電 84 度，共繳電費(fèi) 30.72 元，求a的值；(2) 若該戶六月份的電費(fèi)平均為每度0.36 元，求六月份共用電多少度？應(yīng)繳電費(fèi)多