高中數(shù)學(xué)人教A版必修二習(xí)題《線面、線面角、二面角、翻折問題》易錯疑難集訓(xùn)

1、線面、線面角、二面角、翻折問題易錯疑難集訓(xùn)過易錯教材易混易錯集訓(xùn)易錯點對線、面的位置關(guān)系考慮不全面1. 給出下列命題： 平行于同一平面的兩條直線平行； 兩條平行直線中的一條直線平行于一個平面，則另一條直線也平行于這個平面； 直線與平面有無數(shù)個公共點，則直線與平面重合； 兩個平面有無數(shù)個公共點，則兩個平面重合.其中正確命題的個數(shù)是（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 2018廣西南寧二中高三期末考試設(shè)l,m,n表示不同的直線， 表示不 同的平面,給出下列命題： 若m / /1 ,且m :，則丨 ； 若m，n ，m n，貝U； 若，貝U / .其中錯誤命題的個數(shù)為（）A. 0B. 1C. 2D

2、. 3過疑難?？家呻y問題突破疑難點1直線與平面所成的角、二面角的平面角1.如圖，四棱錐P ABCD中，底面ABCD為菱形，PA 底面ABCD，AC 2 2, PA 2， E 是 PC 上的一點，PE 2EC .證明：PC 平面BED .設(shè)二面角A PB C為90° ,求PD與平面PBC所成角的大小2.如圖所示，在三棱錐P ABQ中，PB 平面ABQ , BA BP BQ,D,C,E,F分別是AQ, BQ,AP,BP的中點，AQ 2BD,PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H連接GH .求證：AB/GH ；求二面角DGHE的余弦值.3.2017江西南昌三校高二（下）月考如圖，三棱錐P

3、ABC中PC,AC,BC兩兩 垂直，BC PC 1,AC 2,E,F,G分別是B,AC,AP的中點.求二面角B AP C的正切值；求直線PF與平面PAB所成角的正弦值.疑難點2翻折類問題4.2018寧夏中衛(wèi)一中高一（下）第一次月考如圖，正三角形ABC的中線AF與 中位線DE相交于點G ,已知 A'ED是 AED繞DE翻折過程中的一個圖形，現(xiàn) 給出下列四個命題： 動點A'在平面ABC上的射影在線段AF上； 恒有平面水 AGF 平面BCED ； 三棱錐A' FED的體積有最大值； 直線A'E與BD不可能垂直.其中正確命題的序號是_.5.2018北京延慶高考數(shù)學(xué)?？既?/p>

4、圖，在矩形ABCD中，AB 3,ED,F分別在線段BC和AD上，EF /AB ,現(xiàn)將矩形ABEF沿EF折起，記折起后的矩形為MNEF ,且平面f MNEF平面 ECDF .1DBIC求證:NCzz 平面 MFD ;若EC3 ,求證：NDFC .6.2018福建泉州高考模擬如圖1,在等腰梯形CDEF中，CB, DA是梯形的高,AE BF 2 , AB 2,2 .現(xiàn)將梯形沿 CB, DA 折起，使 EF /AB ,且 EF 2AB ,得一 簡單組合體ABCDEF ,如圖2所示，已知M,N,P分別為AF,BD,EF的中占八、求證：MN /平面BCF ;求證：AP 平面DAE .疑難點3探究類問題7.

5、如圖，四棱錐P ABCD的底面是矩形,PA AB 1,BC 2 , E 為 BC 的中點.PA平面ABCD ,5 / 20(2)在PD上是否存在一點M ,使得EM /平面PAB?若存在，試確定點M的位置, 并給出證明；若不存在，請說明理由.8.2018山西晉中高三調(diào)研如圖，已知在四棱錐P ABCD中，PA 平面ABCD，BCzzAD, AB AD ,且 PA AD AB 2BC 2，M 為 AD 的中點.9 Z 20求證:平面PCM 平面PAD .問：在棱PD上是否存在點Q ,使PD 平面CMQ?若存在，求出二面角P CM Q的余弦值；若不存在，請說明理由9.2018北京一零一中學(xué)高三(下)月

6、考如圖，在三棱錐A BCD中，BCD 90°,BC CD 1, AB 平面 BCD, ADB60o,E,F分別是AC, AD的動點，且旦ACAFAD求證:不論 為何值，恒有平面BEF 平面ABC .當 為何值時，平面BEF 平面ACD?過專項高考?？碱}型專練1. 2018山東棗莊滕州三中高三（上）第四次月考如圖所示，PA 平面ABC， 點C在以AB為直徑的eO上，點E為線段PB的中點，點 M在AB上，且 OM /AC .PM求證:平面MoE /平面PAC ；求證:平面PAC 平面PCB .2. 2017黑龍江綏化肇東一中高二（上）期中考試如圖，在四棱錐P ABCD中,PA 平面ABC

7、D， ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC的中點，PA AB 4， CDA 120° ,點 N 在線段 PB 上，且 PN 、2求證：MN /平面PDC ;求直線PB與平面PAC所成角的正弦值3. 2018青海西寧十四中高二（上）期中考試在如圖所示 的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABzzCD, DAB 60°, FC 平面ABCD, AE BD,CB CD CF 1.求證：BD 平面AED ；求點B到平面FDC的距離.4.2017廣東韶關(guān)高三摸底考試在三棱柱ABC ABCI中,若AB BC ,求證：AB 平面ABC ；在的條件下，AB BC 1,BB12

8、,求三棱錐A1 BCC1的體積.5.2018湖南長沙考前演練如圖，四邊形他為ABCD等腰梯形，且ADZZBC,E為BC的中點，AB AD BE ,沿DE將 CDE折起構(gòu)成四棱錐C ABED ,如圖所示.圖設(shè)點O為ED的中點，則在棱AC上是否存在一點 M ,使得OM /平面CBE ?并證明你的結(jié)論；若AB 2 ,求四棱錐C ABED體積的最大值.參考答案過易錯教材易混易錯集訓(xùn)1.答案：A解析：平行于同一平面的兩條直線可能相交、異面、平行，故錯誤；兩條平行直線中的一條直線平行于一個平面，另一條直線可能平行于這個平面，也可能在 這個平面內(nèi)，故錯誤；直線與平面有無數(shù)個公共點，則直線在平面內(nèi)，故錯 誤；

9、當兩個平面的無數(shù)個公共點在一條直線上時，兩個平面相交，故錯誤故選A.2.答案：B解析：中，由ml ,且m ，可知l,故正確；中，由于m ,m n，11 / 20則n 或nil .若n,由n 可得 ，若n/ ,過n作平面 交于直線l，則nl ,由n得l,從而,故正確；中，垂直于同一個平面的兩個平面可以是相交的，故錯誤故選B.過疑難?？家呻y問題突破1.答案：見解析 解析：因為底面ABCD為菱形，所以BD AC.又PA 底面ABCD ,所以PC BD .設(shè) ACI BD F,連結(jié) EF 因為 AC 2. 2, PA 2,PE 2EC ,故 PC 2.3, EC ,FC 2, 3從而 PC 6, AC

10、 6.FC EC因為 PC C, FCE PCA,所以 FCE: PCA, FEC PAC 90o由此 FC EC知 PC EF .又BDlEF F ,所以PC 平面BED .在平面PAB內(nèi)過點A作AG PB) G為垂足.因為二面角A PB C為90o ,所以平面PAB 平面PBC .又平面PABI平面PBC PB ,故 AG 平面 PBC，AG BC .BC與平面PAB內(nèi)兩條相交直線 PAAG都垂直，故BC 平面PAB于是BC AB)所以底面ABCD為正方形，AD 2,PD . PA2 AD2 2 2.設(shè)D到平 面PBC的距離為d .因為AD/BC,且AD 平面PBC , BC 平面PBC,

11、故AD /平面PBC , A D兩點到d 1PD 2平面PBC的距離相等，即d AG . 2 .設(shè)PD與平面PBC所成的角為 ，則Sin所以PD與平面PBC所成的角為30°.2.答案：見解析解析：因為D,C,E,F分別是AQ,BQ,AP,BP的中點，所以EFzzAB,DC /AB ,所以 EF /DC .又EF 平面PCD , DC 平面PCD,所以EF /平面PCD .EF 平面 EFQ,平面 EFQ I 平面 PCD GH , 所以 EFZZGH .又 EF /AB,所以 AB/GH .在 ABQ 中, AQ 2BD, AD DQ ,所以ABQ 90o ,即 AB BQ,因為 P

12、B 平面 ABQ ,所以 AB PB.又 BPlBQ B,所以 AB平面PBQ .由知AB/GH I所以GH平面PBQ .又FH 平面PBQl所以GHFH .同理可得GH HC ,所以FHC為二面角DGHE的平面角.設(shè)BA BQ BP 2 ,連接FC ,15 / 20在Rt FBC中，由勾股定理得 FC在Rt PBC中，由勾股定理得PCPBQ的重心，所以HC1 PC3同理FH在FHC中,由余弦定理得COS FHC5 59 92 59-.即二面角D GH E的余5弦值為4.5【方法技巧】立體幾何中確定空間位置關(guān)系的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，即將證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明線線平行或者面面平行，將證明面面平行

13、轉(zhuǎn)化為證明線線平 行或者線面平行.3.答案：見解析 解析:因為E,F,G分別是AB,AC,AP的中點, 所以 EF /BC,GF /CP.因為EF 平面PCBlGF 平面PCB , 所以EF /平面PCBlGF /平面PCB .又 EFI GF F ,所以平面GFE/平面PCB.如圖，過點C作CH PA ,垂足為H ,連接HB.因為 BC PC, BC AC,且 PCI AC C ,所以BC 平面PACl所以BC PA.又 PA CH,CH I BC C ,所以 PA 平面BCH ,所以 HB PA ,所以 BHC是二面角BAPC的平面角.依條件容易求出CH25所以tanBHC125所以二面角

14、BAPC的正切值是一5 .2方法一：過點F作FD 平面PAB于點D ,連接PD ,貝U FPD為直線PF與平 面PAB所成的角.由PC,AC,BC兩兩垂直,得PC 平面ABC ,即PC平面ABF,所以PC為三棱錐P ABF的高.由題中條件，易得SABF1由 VF PAB VP ABF ,得 SV31 S 32，SPAB 2 ,1PAB FD 3 S3ABFFD1,得 FD -3又 PF ,所以 Sin FPD FDPF即直線PF與平面PAB所成角的正弦值是丄2 .6方法二：設(shè)的PB中點為K ,連接尺KC,AK .因為PBC為等腰直角三角形，所以KC PB .又 AC PClAC BCl 且 P

15、C I BC C，所以AC 平面PCB ,所以AC PB .又 PB KC,ACI KC C ,所以 PB 平面AKC.又PB 平面PAB ,所以平面 AKC 平面PAB.在平面AKC內(nèi)，過點F作FM AK ,垂足為M .因為平面 AKC 平面PAB ,所以FM 平面PAB.連接PM ,貝U MPF是直線PF與平面PAB所成的角112容易求出PF2, FM -,所以Sin MPF 3-3-6即直線PF與平面PAB所成角的正弦值是-264.答案：解析：對于命題，由題意，知 AG DE,FG DE,AG I FG G ,故DE 平面A'FG .又DE 平面ABC ,所以平面A'FG

16、 平面ABC ,故該命題正確； 對于命題，由可知正確；對于命題，當 AG平面ABC時，三棱錐a' FED 的體積有最大值，故命題正確；對于命題，當 AE在平面ABC上的射影與 直線BD垂直時,易證A E與BD垂直，故該命題不正確.5.答案：見解析解析：證明：因為四邊形MNEF,EFDC都是矩形，所以 MN/EFCD,MN EF CD ,所以四邊形MNCD是平行四邊形，所以NC/MD.因為NC 平面MFD ,所以NC/平面MFD .如圖，連接ED因為平面 MNEF 平面ECDF I且NE EF ,所以NE 平面ECDF ,所以FC NE .又EC CD 3 ,所以四邊形ECDF為正方形，

17、所以FC ED .又NElED E ,所以FC 平面NED ,所以ND FC .6.答案：見解析解析：證明：在題圖2中，連接AC .四邊形ABCD是矩形，N為BD的中點，N為AC的中點.在ACF中，M為AF的中點，MN /CF .Q CF 平面 BCF I MN 平面 BCF I MN / /平面 BCF .依題意，知 DA ABlDA AEl 且 ABI AE Al AD 平面 ABFE . 又 AP 平面 ABFE, AP AD .QP為EF 的中點，F(xiàn)P AB 2.2.又AB/EF,四邊形ABFP是平行四邊形，AP/BF,且 AP BF 2.又 AE 2,PE 2 .2, AP2 AE2

18、 PE2, EAP 90° ,即 AP AE.又 ADl AE A, AP 平面 ADE .7.答案：見解析解析：在矩形ABCD中，AB 1,BC 、2, E為BC的中點，2CE 2CD 72EC,tan CDE, tan CAD-2CD2AD2CDE CAD, CAD ADE 90°, ED AC.Q PA 平面 ABCD,ED 平面 ABCD, PA ED .Q PAI AC A, ED 平面 PAC .在PD上存在一點M ,使得EM /平面PAB , PD的中M點即為所求.Q取仙的AD中點F ,連接EF,MF .Q MF是PAD的中位線， MF /PA.又MF 平面P

19、AB, PA 平面PAB, MF /平面PAB.又E,F分別是BC, AD的中點， AB/EF .Q EF 平面 PAB, AB 平面 PAB, EF / /平面 PAB .QMFI EF F,平面 MFE/平面 PAB .又EM 平面MFE, EM /平面PAB .8.答案：見解析解析：Q PA 平面ABCD,CM 平面ABCD, CM PA.Q M為AD的中點，且11梯形 ABCD 中，BC -AD，AM -AD, BC /AD，22BC/AM ,四邊形ABCD為平行四邊形，CM /AB .15 / 20又 AB AD, CM AD.QPA 平面 PAD , AD 平面 PAD,且PAl

20、AD A , CM 平面PADQ CM 平面PCM ,平面PCM 平面PAD .在棱PD上存在點Q ,使PD 平面CMQ .在 PAD內(nèi)，過M作MQ PD ,垂足為Q ,由知，CM 平面PAD ,PD 平面PAD , CM PD .又 MQlCM M , PD 平面 CMQ .又PM平面PAD , MQ平面PAD , CMPM,CM MQ.25 / 20Q平面PCM I平面CMQ CM , PMQ為二面角PCMQ的平面角.又由平面幾何知識，知MQ-2,PM2=5,在Rt PQM 中，cos PMQMQPM10故二面角PCMQ的余弦值為.109.答案：見解析解析：Q AB 平面BCD, AB C

21、D.QCDBC,且 AB I BCB, CD 平面 ABC.AE AFAC AD1，不論A為何值，恒有EF /CD, EF 平面ABC .又EF 平面BEF , 平面BEF 平面ABC .不論為何值，恒有平面BEF 平面ABC .由，知BE EF .若平面BEF平面ACD ,又平面BEF I平面ACD EF，BE 平面 ACD, BE AC.Q BC CD 1, BCD90o, ADB60o, BD 、2, AB2 tan 60o 、6,AC .AB2 BC2 一 7由ABAEAC故當6時,平面BEF 平面ACD .7【練后反思】處理空間中平行或垂直的探索性問題， 一般是先根據(jù)條件猜測點或 直

22、線的位置再給出證明探索點的存在性問題時，要多從中點或三等分點分析； 直線則多考慮中位線或其他平行直線或垂線；求線段長度時，多用相似三角形構(gòu) 造比例關(guān)系.過專項高考?？碱}型專練1.答案：見解析解析：證明:因為點E為線段PB的中點，點O為線段AB的中點,所以O(shè)E/PA.因為PA 平面PACIOE 平面PAC，所以O(shè)E/平面PAC .因為 OM /AC, AC 平面 PAClOM 平面 PAC，所以O(shè)M /平面PAC .因為 OE 平面 MOE IOM 平面 MOElOEI OM O，所以平面MOE /平面PAC .因為點C在以AB為直徑的e O上，所以 ABC 90° ,即 BC AC

23、.因為PA 平面ABCI BC 平面ABC，所以PA BC .因為 AC 平面 PACI PA 平面 PACl PAI AC A，所以BC 平面PAC .因為BC 平面PCB，所以平面PAC 平面PCB.2.答案：見解析 解析：在正三角形 ABC中，BM 2、,3,BM AC .在 ACD中，因為M為AC的中點，DM AC ,所以AD CD .又 CDA 120o ,所以 DM 空，所以 BM : DM 3:1 .3因為PA 平面ABCD ,所以PA AB .又 PA AB 4 ,所以 PB 4. 2，又 PN .2 ,所以 BN : NP 3:1 ,所以 BN : NP BM :MD ,所以

24、 MN/PD.又MN 平面PDC ,PD 平面PDC ,所以MN/平面PDC .由）知BM AC .又PA 平面ABCD , BM 平面ABCD ,所以PA BM .又PAI AC A ,因此BM 平面PAC .BM 2.316PB 4、24連接PM ,貝U BPM就是直線PB與平面PAC所成的角.在 Rt PMB 中，BM 2,3, PB 4、2 ,因此 Sin BPM即直線PB與平面PAC所成角的正弦值為2L643.答案：見解析 解析：在等腰梯形ABCD中，DAB 60o,CDA DCB 120o.QCB CD 1, CDB 30°,ADB 90°,即 BD AD .Q

25、 BD AE, AD I AE A, BD平面AED .設(shè)點B到平面FDC的距離為h ,13 SFDC則由 VF CDBVB FDC,得 3 SCDB CFCDB3,S FDC -,CF 1, h ,即點B到平面FDC的距離為4224.答案：見解析 解析：方法一：取AIC的中點F，連接BFlEF，1QE是 AIG 的中點，EF/CG,且EF -CC-.又 CC1/BB1, D是BB1 的中點， EF /DB,且EF DB，四邊形BDEF是平行四邊形，DE /BF ,而DE 平面A1BC, BF 平面 ABC，DE /平面ABC .方法二:取A1B1的中點N ,連接EN,NDQ D,E 分別為 BB1,AG 的中點，EN /C1BJBC,DN /AB.又 EN I DN N,A1BI BC B， 平面 DEN /平面 A-BC .又 DE 平面 D