國(guó)開(kāi)大學(xué)電大本科《復(fù)變函數(shù)》期末試題

1、國(guó)家開(kāi)放大學(xué)電大本科復(fù)變函數(shù)期末試題及答案（試卷號(hào)：1078 ）得分評(píng)卷人一、單項(xiàng)選擇題（本題共20分，每小題4分）1. 若 Z1 =（，4）次2 =（C 以）乂 0,則 21+羽=（）.A.ac + bd bead應(yīng)+小字+刁2)2. 若集E = z： | z |< 1，則點(diǎn)z。=£： +切為集E的().晅 V2A.孤立點(diǎn)B.外點(diǎn)C.邊界點(diǎn)D,內(nèi)點(diǎn).3. (雪2 + 3z 2)dz = ().；xl=4A. 0B. 1c. 2D- 34. 將函數(shù)f(z)= 2_在點(diǎn)z =2的去心鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)，即是將/(z)在()展開(kāi).A. |z 2|V1B. 1 < | z -

2、2 | < 2C.0V|z-2|V2D.0V|z-2|Vl5. 若E)=W'則點(diǎn)i為E)的()A.可去奇點(diǎn)C.本性奇點(diǎn)B.非孤立奇點(diǎn)D.極點(diǎn)得分評(píng)卷人八'二、填空題(本題共20分，每小題4分)6. 稱復(fù)平面添加 后所成平面為擴(kuò)充復(fù)平面.7. 若函數(shù)/(2)與g(z)均在區(qū)域G內(nèi)解析，則/(z) g(z)j'=8. 設(shè)Z尹0,8,稱滿足 的S為Z的對(duì)數(shù)函數(shù)，記作3 =Lnz5z 29. Res( ,0) = .z(z I)10. 設(shè)3 =/(z)為分式線性變換，若擴(kuò)充復(fù)平面上兩點(diǎn)羽，吻關(guān)于圓周c對(duì)稱, 則叫=/'( Z )與W2 = f(Z2)兩點(diǎn)關(guān)于圓周C

3、，= f(C) 得分評(píng)卷人三、計(jì)算題(本題共45分，每小題15分)11. 設(shè)v =y 4- eJsny,試求解析函數(shù)/(z)=我+切，滿足/(0) =1.12. 將函數(shù)/(z)=-在點(diǎn)z =。的鄰域內(nèi)展成星級(jí)數(shù)z + z Z113. 計(jì)算積分水1)(由)血得分評(píng)卷人四、證明題(本題15分)14. 設(shè)m=a2 +b2 ,n=cz d2,其中a,b,c,d均為整數(shù)試證:m 仍為兩個(gè)整數(shù)的平試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：一、單項(xiàng)選擇題(本題共20分，每小題4分)I. B2. C3. A4. D5. D二、填空題(本題共20分，每小題4分)6. 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)7. /'( z) g ( z) + /( z)

4、g 7 z)8. cw = z9. 210. 對(duì)稱三、計(jì)算題(本題共45分，每小題15分)II. 設(shè) p=;y + eFin»,試求解析函數(shù) /(Q = u + is 滿足 /()=.解：由C R條件有".< = % = 1 + ccosy,所以U = X I c' cosy + ?( )1)乂因?yàn)?Vr，所以甲(、) (6分)由此得/( z)=飛十 c"cosy - c i(_y - c'siny) (12 分)由 f(0) =1 得 c=0經(jīng)驗(yàn) i正fCz) = x e'cosy + i(+ esiny)或.( z) = b即為所

5、求(15分)12. 將函數(shù)了(z)= 一 在點(diǎn)之=0的鄰域內(nèi)展成暴級(jí)數(shù).W 十 z 2解：因?yàn)閒(z)的有限奇點(diǎn)只有 =1與玄=一2,所以，/(z)在點(diǎn)z = 0可展成慕級(jí)數(shù).且f(z)在| z |V 1內(nèi)可展開(kāi)，有' z" + z 2( z l)(z + 2)T(7-3-7T2)=T 2(1 + 3)（10 分）=9(- A)-0n=D乙 7i=。乙=-技1+鑼七(15分)° ”=0 L乙 _13.計(jì)算積分解：令d，"z1)5 1) 因?yàn)閦)在積分路徑| z | = 7的內(nèi)部含有三個(gè)奇點(diǎn)z = 0,n = 1與z = 1勺所以1-T； d z = 2m

6、- Res( J0) + Res(/, 1) + Res(八-DL Z(Z l)(Z-tl)I 二 7而Res( f ,0) =-lim z： " = (6分)Z! z (；L z ( z 1) ( z 1Rcs( 1) = lim( z 1)z-* 1122?(2 1)(牙+ I) 5庇心，】）=四 J+lJjDE 1）=£（12 分）故得Fdz = （） （15分）J 7 Z3 （ Z 1 ） （ Z + 1 ）四、證明題（本題15分）'14.設(shè)m = a2bn = cd2,其中a,b,c,d均為整數(shù)試證：仍為兩個(gè)整數(shù)的平方和.證：因m = a b1 = ( a -J- i/;) ( a 16)n = c2 +J2=(c + iJ)(c-iJ) (7 分)所以m ?i = ( a -|- ib) ( a ib)( c id) ( c id)=L(a-ib)(c-bid)J - L(a-ib)(c-