極坐標與全參數(shù)方程講義(教師版)(共14頁)

1、極坐標與參數(shù)方程 一、極坐標知識點1.極坐標系的概念(1)極坐標系如圖所示,在平面內(nèi)取一個定點,叫做極點,自極點引一條射線,叫做極軸;再選定一個長度單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標系.注:極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應(yīng)的關(guān)系,而極坐標系則不可.但極坐標系和平面直角坐標系都是平面坐標系.(2)極坐標設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為;以極軸為始邊,射線為終邊的角叫做點M的極角,記為.有序數(shù)對叫做點M的極坐標,記作.一般地,

2、不作特殊說明時,我們認為可取任意實數(shù).特別地,當點在極點時,它的極坐標為(0, )(R).和直角坐標不同,平面內(nèi)一個點的極坐標有無數(shù)種表示.如果規(guī)定,那么除極點外,平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標表示;同時,極坐標表示的點也是唯一確定的.2.極坐標和直角坐標的互化(1)互化背景:把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,如圖所示:(2)互化公式:設(shè)是坐標平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標是,極坐標是(),于是極坐標與直角坐標的互化公式如表:點直角坐標極坐標互化公式在一般情況下,由確定角時,可根據(jù)點所在的象限最小正角.3.常見圓與直線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓

3、心在極點,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓過極點,傾斜角為的直線(1)(2)過點,與極軸垂直的直線過點,與極軸平行的直線注:由于平面上點的極坐標的表示形式不唯一,即都表示同一點的坐標,這與點的直角坐標的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點的極坐標的多種表示形式,只要求至少有一個能滿足極坐標方程即可.例如對于極坐標方程點可以表示為等多種形式,其中,只有的極坐標滿足方程.二、考點闡述考點1、極坐標與直角坐標互化例題1、在極坐標中，求兩點之間的距離以及過它們的直線的極坐標方程。 解：兩點的直角坐標為它們之間的距離.由于直線垂直于極軸，且距離極點，所以直線的極坐標方程為練習1.1、已知曲線

4、的極坐標方程分別為，求曲線與交點的極坐標 解：我們通過聯(lián)立解方程組解得,即兩曲線的交點為。12. 已知圓C：，則圓心C的極坐標為_答案：（ ）練習1.3已知點c極坐標為，求出以C為圓心，半徑r=2的圓的極坐標方程（寫出解題過程）； 考點2、極坐標與直角坐標方程互化 例題2、已知曲線的極坐標方程是以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程是參數(shù)），點是曲線上的動點，點是直線上的動點，求|的最小值解：曲線的極坐標方程可化為, 其直角坐標方程為，即. （3分） 直線的方程為.所以圓心到直線的距離 （6分） 所以，的最小值為. （10分）練習2.1、設(shè)過原點的直

5、線與圓：的一個交點為，點為線段的中點。(1) 求圓C的極坐標方程；(2) 求點M軌跡的極坐標方程，并說明它是什么曲線解：圓的極坐標方程為4分設(shè)點的極坐標為，點的極坐標為，點為線段的中點， ， 7分 將，代入圓的極坐標方程，得點軌跡的極坐標方程為，它表示圓心在點，半徑為的圓 10分練習2.2（2015理數(shù)）(23)(本小題滿分10分)選修44：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中.直線:x2，圓：(x1)2(y2)21，以坐標原點為極點， x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（I） 求，的極坐標方程；（II） 若直線的極坐標方程為，設(shè)與的交點為， ，求C2MN的面積 （23）解：（I）因為，所以的極

6、坐標方程為，的極坐標方程為。 5分 （II）將代入，得，解得，。故，即。 由于的半徑為1，所以的面積為。 10分二、參數(shù)方程1.參數(shù)方程的概念一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標都是某個變數(shù)的函數(shù),并且對于的每一個允許值,由方程組所確定的點都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù),簡稱參數(shù),相對于參數(shù)方程而言,直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程.2.參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)中的一個與參數(shù)的關(guān)系,例如,把它代入普通方程,求出

7、另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系,那么就是曲線的參數(shù)方程,在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問題，關(guān)鍵在于適當?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓的半徑為，點從初始位置出發(fā)，按逆時針方向在圓上作勻速圓周運動，設(shè)，則。這就是圓心在原點，半徑為的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是轉(zhuǎn)過的角度。圓心為，半徑為的圓的普通方程是，它的參數(shù)方程為：。4橢圓的參數(shù)方程以坐標原點為中心，焦點在軸上的橢圓的標準方程為其參數(shù)方程為，其中參數(shù)稱為離心角；焦點在軸上的橢圓的標準方程是其

8、參數(shù)方程為其中參數(shù)仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為0，2）。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點的離心角，要把它和這一點的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開來，除了在四個頂點處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在到的范圍內(nèi)），在其他任何一點，兩個角的數(shù)值都不相等。但當時，相應(yīng)地也有，在其他象限內(nèi)類似。5雙曲線的參數(shù)方程（了解）以坐標原點為中心，焦點在軸上的雙曲線的標準議程為其參數(shù)方程為，其中焦點在軸上的雙曲線的標準方程是其參數(shù)方程為以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點的離心角。6拋物線的參數(shù)方程以坐標原點為頂點，開口向右的拋物線的參數(shù)方程為7直線的參數(shù)方程經(jīng)過點，傾斜角為的直線的普通方程是而過，傾斜角為的直線的

9、參數(shù)方程為。注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為，其中表示直線上以定點為起點，任一點為終點的有向線段的數(shù)量，當點在上方時，0；當點在下方時，0；當點與重合時，=0。我們也可以把參數(shù)理解為以為原點，直線向上的方向為正方向的數(shù)軸上的點的坐標，其單位長度與原直角坐標系中的單位長度相同?？键c3、參數(shù)方程與直角坐標方程互化例題3：已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標方程為 （1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程； （2）曲線，是否相交，若相交請求出公共弦的長，若不相交，請說明理由解：（1）由得曲線的普通方程為 ，即曲線的直角坐標方程

10、為（分）（2）圓的圓心為，圓的圓心為兩圓相交設(shè)相交弦長為，因為兩圓半徑相等，所以公共弦平分線段 公共弦長為（10分） 練習3.1（本小題滿分10分）選修44：坐標系與參數(shù)方程.已知曲線C：為參數(shù)，0<2)，（）將曲線化為普通方程；（）求出該曲線在以直角坐標系原點為極點，軸非負半軸為極軸的極坐標系下的極坐標方程（） 5分（） 10分練習3.2已知曲線C1：，曲線C2：。（1）指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點的個數(shù)；（2）若把C1，C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線，。寫出，的參數(shù)方程。與公共點的個數(shù)和C1與C2公共點的個數(shù)是否相同？說明你的理由。練習3.3

11、(2014II)（23）(本小題滿分10分)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓的極坐標方程為.（1）求得參數(shù)方程；（2）設(shè)點在上，在處的切線與直線垂直，根據(jù)（1）中你得到的參數(shù)方程，確定的坐標.（23）解： （I）C的普通方程為. 可得C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，） （）設(shè)D.由（I）知C是以G（1,0）為圓心，1為半徑的上半圓。因為C在點D處的切線與t垂直，所以直線GD與t的斜率相同, . 故D的直角坐標為，即。練習3.4（2013）（23）（本小題10分）選修44：坐標系與參數(shù)方程 已知曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)），以坐標原點為

12、極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為。（）把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程；（）求C1與C2交點的極坐標（0,02）?！久}意圖】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程互化、極坐標方程與直角坐標方程互化及兩曲線交點求法、極坐標與直角坐標互化，是容易題.【解析】將消去參數(shù)，化為普通方程，即：，將代入得，的極坐標方程為；（）的普通方程為，由解得或，與的交點的極坐標分別為（），.練習3.5(2015II)23（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，曲線（為參數(shù)，），其中，在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線，曲線（）.求與交點的直角坐標；（）.若與相交于點

13、，與相交于點，求的最大值【答案】（）和；（）解：（）曲線的直角坐標方程為，曲線的直角坐標方程為聯(lián)立解得或所以與交點的直角坐標為和（）曲線的極坐標方程為，其中因此得到極坐標為，的極坐標為所以，當時，取得最大值，最大值為考點：1、極坐標方程和直角坐標方程的轉(zhuǎn)化；2、三角函數(shù)的最大值考點4：利用參數(shù)方程求求值域例題4、在曲線：上求一點，使它到直線：的距離最小，并求出該點坐標和最小距離。解：直線C2化成普通方程是x+y-2-1=02分設(shè)所求的點為P（1+cos,sin),3分則C到直線C2的距離d=5分 =|sin(+)+2|7分當時，即=時，d取最小值19分此時，點P的坐標是（1-，-）10分練習4

14、.1.在平面直角坐標系xOy中，動圓的圓心為 ，求的取值范圍. 【解】由題設(shè)得（為參數(shù)）. 3分于是， 6分所以 . 10分練習4.2（本小題滿分10分）已知曲線的極坐標方程是，設(shè)直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)） （）將曲線的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程； （）設(shè)直線與軸的交點是，曲線上一動點，求的最大值.答案：（本小題滿分10分）解：（1）曲線的極坐標方程可化為： 又 .所以，曲線的直角坐標方程為：. （2）將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程得： 令 得 即點的坐標為 又曲線為圓，圓的圓心坐標為，半徑，則 練習4.3（2014理數(shù)）3. （本小題滿分10分）選修44：坐標系與參數(shù)方程已知曲線：，直線

15、：（為參數(shù)）.()寫出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；（）過曲線上任一點作與夾角為的直線，交于點，求的最大值與最小值.【解析】：.() 曲線C的參數(shù)方程為： （為參數(shù)）， 直線l的普通方程為： 5分 （）（2）在曲線C上任意取一點P (2cos,3sin)到的距離為，則+-，其中為銳角且.當時，取得最大值，最大值為；當時，取得最小值，最小值為. 10分考點5：直線參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義考點易錯點二：直線參數(shù)方程中的幾何意義的應(yīng)用 表示直線上任意一點到定點的距離.直線參數(shù)方程（為參數(shù)），橢圓方程，相交于兩點，直線上定點將直線的參數(shù)方程帶入橢圓方程，得到關(guān)于的一元二次方程，則： 若為的中點，則 例題5：已知直線經(jīng)過點,