121函數(shù)的概念

1、思考：借助Venn圖，探究這四個集合之間有什么關系？)()()()()()(BACBCACBACBCACUUUUUU)()()()()()(BACBCACBACBCACUUUUUU;112)4(;21)3.(1xxxx. 412)5.(1xx1.2.1 函數(shù)的概念函數(shù)的概念1.初中所學的函數(shù)的概念是什么？初中所學的函數(shù)的概念是什么？ 反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等. .1.初中所學的函數(shù)的概念是什么？初中所學的函數(shù)的概念是什么？ 在一個變化過程中有兩個變量在一個變化過程中有兩個變量x x和和y y，如果，如果對于對于x x的每一個值，的每一個值，y y都有唯一

2、確定的值與它對應都有唯一確定的值與它對應. . 那么就說那么就說y y是是x x的函數(shù)，其中的函數(shù)，其中x x叫做自變量叫做自變量. . 2.初中學過哪些函數(shù)？初中學過哪些函數(shù)？示例示例1 1：一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過：一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過2626s落到地面擊中目落到地面擊中目標。炮彈的射高為標。炮彈的射高為845845m，且炮彈距地面的高度，且炮彈距地面的高度h ( (單位：單位：m) )隨時間隨時間t( (單位：單位：s) )變化的規(guī)律是：變化的規(guī)律是： h=130=130t-5-5t2 2。( (* *) )解析：時解析：時間間t的變化范圍是的變化范圍是A=A=t|0|0t2626； 高度高

3、度h的變化范圍是的變化范圍是B=B=h|0|0h845845； 對于數(shù)集對于數(shù)集A A中的任意一個時間中的任意一個時間t, , 按照對應關系按照對應關系( (* *) )，在數(shù)集，在數(shù)集B B中都有唯一的高度中都有唯一的高度h和它對應。和它對應。示例示例2 2：近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，：近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空沿問題。下圖中的曲線顯示因而出現(xiàn)了臭氧層空沿問題。下圖中的曲線顯示了南極上空臭氧了南極上空臭氧層空洞的面積從層空洞的面積從1979197920012001年的年的變化情況。變化情況。示例示例3 3：國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個國家人民：國際上常用

4、恩格爾系數(shù)反映一個國家人民生活質量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質量越生活質量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質量越高，下表中恩格爾系數(shù)隨時間高，下表中恩格爾系數(shù)隨時間( (年年) )變化的情況表變化的情況表明，明，“八五八五”計劃以來，我國城鎮(zhèn)居民的生活質計劃以來，我國城鎮(zhèn)居民的生活質量發(fā)生了顯著變化。量發(fā)生了顯著變化。時間時間( (年年) )199119911992199219931993199419941995199519961996城鎮(zhèn)居民家庭城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)恩格爾系數(shù)(%)(%)53.853.852.952.950.150.149.949.949.949.948.648.6時間時間(

5、 (年年) )1997199719981998199919992000200020012001城鎮(zhèn)居民家庭城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)恩格爾系數(shù)(%)(%)46.446.444.544.541.941.939.239.237.937.9 “八五八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民計劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況恩格爾系數(shù)變化情況以上三個實例以上三個實例,變量之間的關系有變量之間的關系有思考：思考： 對于數(shù)集對于數(shù)集A中的每一個中的每一個 x ，按照某種對，按照某種對應關系應關系 f ,在數(shù)集在數(shù)集B中都有唯一確定的中都有唯一確定的 y 和它和它對應，對應，f：AB .什么共同點什么共同點？函數(shù)的概念函數(shù)

6、的概念 一般地，設一般地，設A A、B B是非空的數(shù)集，如果按照某是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系個確定的對應關系f，使對于集合，使對于集合A A中的任意一個數(shù)中的任意一個數(shù)x，在集合，在集合B B中都有唯一確定的數(shù)中都有唯一確定的數(shù) f( (x) )和它對應，和它對應，那么就稱那么就稱f：ABAB為從集合為從集合A A到集合到集合B B的一個函數(shù)，的一個函數(shù)，記作：記作：y= =f( (x) )，xAA。 x叫做自變量，叫做自變量，x的取值范圍的取值范圍A A叫做函數(shù)的定義域；叫做函數(shù)的定義域； 與與x的值相對應的的值相對應的y值叫做函數(shù)值，值叫做函數(shù)值， 函數(shù)值的集合函數(shù)值的集合

7、f( (x)|)|xAA 叫做函數(shù)的值域。叫做函數(shù)的值域。 顯然，值域是集合顯然，值域是集合B B的子集。的子集。練練1 1、判斷下列對應關系是否是從集合、判斷下列對應關系是否是從集合A A到集合到集合B B的的函數(shù)，若是，指出其定義域和值域。函數(shù)，若是，指出其定義域和值域。 （1 1）A=ZA=Z，B=NB=N，f是是“平方后加平方后加1”1”； （2 2）A=A=平面平面M M內的三角形內的三角形 ，B=B=平面平面M M內的圓內的圓 ，f是是“畫三角形的外接圓畫三角形的外接圓”； （3 3）A=A=x|0|0 x22，B=B=x|0|0 x11 ，f是是“與與1 1的差的平方的差的平方”

8、； （4 4）A=RA=R，B=B=xR|R|x00，f是是“取絕對值取絕對值”。BAf:函數(shù)的概念函數(shù)的概念A定義域定義域f對應關系對應關系 函數(shù)的三要素函數(shù)的三要素B 說明說明: (1)定義域定義域A和對應關系和對應關系 f 決定值域決定值域C.| )(AxxfC 值域值域(3) f 表示對應關系表示對應關系,不同函數(shù)中不同函數(shù)中f 的具的具 體含義不一樣體含義不一樣.(2)函數(shù)符號函數(shù)符號yf (x) 表示表示y是是x的函數(shù)，的函數(shù)， f (x)不是表示不是表示 f 與與x的乘積；的乘積；Axxfy ),(1)一次函數(shù)一次函數(shù) y=ax+b (a0)的定義域是的定義域是值域是值域是R ，

9、R .對于對于R中的任意一個數(shù)中的任意一個數(shù)x, 在在R中都有唯一的數(shù)中都有唯一的數(shù)y=ax+b(a0)和它對應和它對應.當當a0時，時，24 |4acbBy ya ；當當a0時，時，24 |.4acbBy ya 對于對于R中的任意一個數(shù)中的任意一個數(shù)x, 在在B中都有唯一的數(shù)中都有唯一的數(shù)y=ax2 +bx +c(a0) 和它對應和它對應.(2)二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2 +bx +c(a0)定義域是定義域是值域是值域是R，B.(3)反比例函數(shù)反比例函數(shù) 的定義域是的定義域是(0)kykxA=x|x0,B=y|y0,值域是值域是對于對于A中的任意一個數(shù)中的任意一個數(shù)x, 在在B中都有中都有唯

10、一的數(shù)唯一的數(shù)(0)kykx和它對應和它對應.224()(0)24bacbya xaaa 已學函數(shù)的定義域和值域已學函數(shù)的定義域和值域 例例1.下列函數(shù)哪個與函數(shù)下列函數(shù)哪個與函數(shù)y=x相等相等? 解解（1） ，這個函數(shù)與，這個函數(shù)與y=x（xR） 對應關系一樣，定義域不同，所以它和對應關系一樣，定義域不同，所以它和y=x (xR)不相等不相等.)0()(2xxyx （2） 這個函數(shù)和這個函數(shù)和y=x （xR） 對應關系一樣對應關系一樣 ，定義域相同，定義域相同xR，所以它和，所以它和y=x (xR)相等相等.)(33Rxxyx2(1)()yx 33(2) yx 2(3)yx 2(4 ).xy

11、x 例例1.下列函數(shù)哪個與函數(shù)下列函數(shù)哪個與函數(shù)y=x相等相等?|2xyxx，x0-x，x0 （3） 這個函數(shù)和這個函數(shù)和y=x（xR）2(1)()yx 33(2) yx 2(3)yx 2(4 ).xyx 定義域相同定義域相同x R，但是當，但是當x0時，求時，求 的值的值)32(),3(ff ) 1(),(afaf3x解解（1） 有意義的實數(shù)有意義的實數(shù)x的集合是的集合是x|x-3 有意義的實數(shù)有意義的實數(shù)x的集合是的集合是x|x2 所以所以 這個函數(shù)的定義域就是這個函數(shù)的定義域就是 21x|3|2|3,2.x xx xx xx 且且分分 析：析：函數(shù)的定義域通常由問題的實際背景確定函數(shù)的定

12、義域通常由問題的實際背景確定. 如果只給出解析式如果只給出解析式 y=f(x)，而沒有指明它的定義域，而沒有指明它的定義域，那么那么函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的實函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的實數(shù)數(shù)x的集合的集合.；.（2）1( 3)33132f ；221( )323323f （3）因為）因為a0, 所以所以f（a），），f（a-1）有意義）有意義1( )32f aaa ；1(1)1312f aaa 11338333.8312.1aa 1( )32f xxx ab3. 3. 區(qū)間和無窮大區(qū)間和無窮大 設設a, ,bR R，且，且a b，規(guī)定：，規(guī)定： （1 1）閉區(qū)間：）閉區(qū)

13、間： a, ,b=x| |axb ； （2 2）開區(qū)間：）開區(qū)間： ( (a, ,b)=)=x| |a x b ； （3 3）半開半閉區(qū)間：）半開半閉區(qū)間： a, ,b)=)=x| |ax b ； ( (a, ,b=x| |a a=(=(a,+),+)； （4 4） x| |xb=(-,=(-,b ； （5 5） x| |x b=(-,=(-,b) )。 21|)1(xx 3|)2(xx 3, 21|)3(xxx或或 2, 0|)4(xxx且且 1, 2) (3 ,) ( 1, 2(3 ,) (,2)( 2 , 0) 練練2：用區(qū)間表示下列集合：用區(qū)間表示下列集合：例例3. 求下列函數(shù)的定義域

14、求下列函數(shù)的定義域xxx 1106且且xf xx 21(1)( );33xx 2101330（） 由由 1 0)(0 1.，解解:得函數(shù)的定義域為得函數(shù)的定義域為xxx | 110.且且xf xxx 0241(2)( )(41);9xxx 2410(2)90410由由xxx 143314得函數(shù)的定義域為得函數(shù)的定義域為. )3,41( 求函數(shù)求函數(shù)y yf f( (x x) )的定義域，常有以下幾種情況：的定義域，常有以下幾種情況： 若若f f( (x x) )是整式，則函數(shù)的定義域是實數(shù)集是整式，則函數(shù)的定義域是實數(shù)集R R； 若若f f( (x x) )是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于

15、是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于0 0的實數(shù)集；的實數(shù)集； 若若f f( (x x) )是偶次根式，則函數(shù)的定義域是使根號內是偶次根式，則函數(shù)的定義域是使根號內的式子大于或等于的式子大于或等于0 0的實數(shù)集合；的實數(shù)集合； x x0 0 中的底數(shù)中的底數(shù) x x00； 若若f f( (x x) )是由幾個部分的數(shù)學式子構成的是由幾個部分的數(shù)學式子構成的, ,則函數(shù)則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合；的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合； 若若f f( (x x) )是由實際問題抽象出來的函數(shù)是由實際問題抽象出來的函數(shù), ,則函數(shù)的則函數(shù)的定義域應符合實際問題定義域應符合實際問題 思考：思考： 已知函數(shù)已知函數(shù)f( (x) )的定義域是的定義域是(0,3(0,3，求，求f(2(2x+1) )的的定義域。定義域。 變：已知函數(shù)變：已知函數(shù)f(2(2x+1)+1)的定義域是的定義域是