事件的獨立性ppt課件

1、1.5 1.5 事件的獨立性事件的獨立性()P A B一般地一般地( )P A但在有些情況下，但在有些情況下，并不影響事件并不影響事件事件事件B B發(fā)生與否發(fā)生與否A A發(fā)生的機會發(fā)生的機會. .當(dāng)事件當(dāng)事件B B對事件對事件A A沒有任何影響時沒有任何影響時, ,應(yīng)有應(yīng)有B( )P A其中其中( )0P B 當(dāng)事件當(dāng)事件A A對事件對事件B B沒有任何影響時沒有任何影響時, ,應(yīng)有應(yīng)有P B( )P B其中其中( )0P A 當(dāng)當(dāng) 時時, , ( )0P B ( )P B()P AB()P A B( )P A( )P A()P AB( )P A( )P B當(dāng)當(dāng) 時時, , ( )0P A (

2、 )P A()P AB()P B A( )P B( )P B()P AB( )P A一、兩個事件的獨立性一、兩個事件的獨立性P AA( )P B發(fā)生的概率發(fā)生的概率發(fā)生的概率發(fā)生的概率 定義定義1.4 1.4 推論推論1 1 那么那么定義定義 滿足等式滿足等式,A B如果兩個事件如果兩個事件()P AB ( ) ( )P A P B簡稱簡稱 與與 獨立獨立. .AB則稱事件則稱事件 與與 AB是相互獨立的是相互獨立的, ,對于兩個事件對于兩個事件A A與與B B 假設(shè)假設(shè) ( )0P B 與與 獨立獨立AB( )P A()P A B那么那么( )P B()P B A兩個事件兩個事件 與與 A,

3、B如果其中任何一個如果其中任何一個事件發(fā)生的概率，事件發(fā)生的概率， 都不受另一個事件發(fā)生與否都不受另一個事件發(fā)生與否是相互獨立的是相互獨立的. .與與 獨立獨立AB則稱事件則稱事件 與與 AB的影響的影響, ,假設(shè)假設(shè) ( )0P A 例例 () ()PP BA 所以所以A,BA,B獨立獨立. .擲一枚均勻的骰子擲一枚均勻的骰子, ,(1)A(1)A表示表示“點數(shù)小于點數(shù)小于5 5”, ,B B表示表示“點數(shù)為奇數(shù)點數(shù)為奇數(shù)”那那么么( )P A 64( )P B 63()P AB 622312 13 ()P AB (2)A(2)A表示表示“點數(shù)小于點數(shù)小于4 4”, , B B表示表示“點數(shù)

4、為奇數(shù)點數(shù)為奇數(shù)”那那么么() ()PP BA 所以所以A,BA,B不獨立不獨立. .( )P A 63( )P B 63()P AB 621212 14 ()P AB 例例 () ()PP BA 所以所以A,BA,B獨立獨立. .從一副不含大小王的撲克牌中從一副不含大小王的撲克牌中隨意抽出一張隨意抽出一張, ,記記A A為為 “抽到抽到 ”, ,K 為為B“抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的”, ,那那么么( )P A 524( )P B 522612 ()P AB 52245212 252 ()P AB 二、有限個事件的獨立性二、有限個事件的獨立性定義定義1.5 1.5 ()jiP A A如

5、果其中如果其中對對n n個事件個事件兩任意個都互相獨立兩任意個都互相獨立, ,12,.,nA AA(2 )n 有有即對于即對于,1,2,., ,i jn ij () ()ijPP AA 則稱這則稱這 個事件個事件 n兩兩獨立兩兩獨立. .這里共有這里共有個等式個等式. .2nC()jiP A A() ()ijPP AA 當(dāng)當(dāng) 時時, , ()0jP A()jP A()jiP A A()iP A jA iP A()iP A n n個事件兩兩獨立個事件兩兩獨立, ,即其中任何一個事件即其中任何一個事件都不受另一個事件都不受另一個事件概率概率發(fā)生的發(fā)生的是否發(fā)生的影響是否發(fā)生的影響. .12,.,k

6、iiiAAA都有都有12(.)kiiiAPAA 相互獨立相互獨立. .如果對其中如果對其中k個事件個事件21() (). ()kiiiPP AP AA則稱這則稱這 個事件個事件 n定義定義1.6 1.6 對對n n個事件個事件12,.,nA AA(2 )n 任意任意( 2)kn2k 時，時，時，時，3k 時，時，kn4k 時，時，()jiP A A () ()jiPP AA231()iiiPA AA 132() () ()iiiPP AP AA4312()iiiiA APAA 3412() () () ()iiiiPP APAPAA 12(,.,)nP A AA12() (). ()nP A

7、P AP A 這里共有這里共有個等式個等式. .2nC3nC 4nC .nnC12,.,nA AA相互獨立相互獨立12,.,nA AA兩兩獨立兩兩獨立. .12,.,kiiiAAA都有都有12(.)kiiiAPAA 相互獨立相互獨立. .如果對其中如果對其中k個事件個事件21() (). ()kiiiPP AP AA則稱這則稱這 個事件個事件 n定義定義1.6 1.6 對對n n個事件個事件12,.,nA AA(2 )n 任意任意可以證明可以證明, ,n n個事件相互獨立個事件相互獨立, ,即其中任何一個即其中任何一個事件是否發(fā)生事件是否發(fā)生都不受另外一個都不受另外一個或幾個事件或幾個事件生的

8、影響生的影響. .是否發(fā)是否發(fā)如如1562()A A AP A 156()A A AP1562()A A AP A156() () ()AAPP AP 1562() () () ()PPPPAAAA2()P A ( 2)kn12,.,nA AA相互獨立相互獨立12,.,nA AA兩兩獨立兩兩獨立. .例例 其中全紅、全黑、全白色其中全紅、全黑、全白色各一個各一個, ,另一個是涂有紅、黑、白三色的彩球另一個是涂有紅、黑、白三色的彩球. .從中任取一個從中任取一個, , 事件事件A A、B B、C C 分別表示取到的球上分別表示取到的球上有紅色、黑色、有紅色、黑色、 白色白色, , 判別判別A,B

9、,CA,B,C的獨立性的獨立性. .2的球的球解解 P A( ) 4P B( ) P C( ) 2424PCA() PBA() PP BA( ) ( ) PP CA( ) ( ) 1414PCB() PP CB( ) ( ) 14兩兩獨立兩兩獨立. .PCAB() PP CABP( ) ( ) ( ) 14不相互獨立不相互獨立. .此時此時, ,PBC A() CP( ) PBA()PBCA()1 即即ABAB同時發(fā)生同時發(fā)生影響了影響了C C發(fā)生的機會發(fā)生的機會. .PCB A()BP( ) PCA B()AP( ) 同樣同樣一個袋中裝有一個袋中裝有4 4個球個球, ,ACB,ACB,考慮：

10、考慮：A A、B B獨立獨立A A、B B互斥互斥A,BA,B互斥互斥A,BA,B不獨立不獨立A,BA,B獨立獨立A,BA,B不互斥不互斥兩事件相互獨立兩事件相互獨立與它們互斥與它們互斥這兩個概念有何聯(lián)系這兩個概念有何聯(lián)系? ?不影響不影響B(tài) B發(fā)生的發(fā)生的事件事件B B發(fā)生與否發(fā)生與否也不影響也不影響A A發(fā)生的概率發(fā)生的概率. .當(dāng)當(dāng) AB ()0P AB ( ) ( )P A P B ()P AB ( ) ( )P A P B0 AB 事件事件A A發(fā)生與否發(fā)生與否概率概率; ;AB 事件事件A A與與B B不能同時發(fā)生不能同時發(fā)生. .P A( )0,P B()0 時時, ,三、相互獨

11、立的性質(zhì)三、相互獨立的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 中的任意一部分事件中的任意一部分事件假設(shè)假設(shè) 個事件個事件n12,.,nA AA相互獨立相互獨立. .則它們則它們換成各自的對立事件后換成各自的對立事件后, ,所得所得也相互獨立也相互獨立. .的的n n個事件個事件n=2n=2時，時，A A與與B B獨立獨立與與 獨立獨立AB與與 獨獨立立AB與與 獨獨立立ABn=3n=3時，時，A,B,CA,B,C相互獨立相互獨立,A B C,A B C相互獨立相互獨立相互獨立相互獨立,A B C相互獨立相互獨立P AB P AABPP A P A P B證證 BA 與即即A A與與B B獨立獨立. .PBA()

12、P ABA ()P A P B1()P B P A反之反之, ,則由上面證明則由上面證明, ,BA A與與 獨立獨立, ,設(shè)設(shè)A A與與B B獨立獨立, ,獨立獨立. .與與 獨立獨立, ,ABA A與與B B獨立獨立與與 獨立獨立AB與與 獨獨立立AB與與 獨獨立立AB 假設(shè)假設(shè)證證相互獨立相互獨立相互獨立相互獨立. .性質(zhì)性質(zhì)2 2 假設(shè)假設(shè) 個事件個事件n相互獨立相互獨立. .則有則有nA AA12,.,nP AAA121nP AAA12 1nP A AA12. 1 nP AP AP A12.nA AA12,.,nA AA12,.,nP AAA12 nP AP AP A121 P ABC

13、 P A B C1 PAPBPC 0.6 甲、乙、丙譯出密碼甲、乙、丙譯出密碼“譯出密碼譯出密碼”例例 他們能譯出的他們能譯出的概率分別為概率分別為111,534問能將密碼譯出的概率是多少問能將密碼譯出的概率是多少? ?解解 設(shè)設(shè)A B C,分別表示分別表示 A B C,相互獨立相互獨立. . D表示表示 DABC 那么那么P D() P ABC1三人獨立地去破譯一個密碼三人獨立地去破譯一個密碼, ,1 4523343511.47n 12nP A AA設(shè)設(shè)B B表示表示要求要求( )P B 0.999999 0.3n 例例 同時分別破譯一個密碼同時分別破譯一個密碼, ,假設(shè)每人能譯出的概率都是

14、假設(shè)每人能譯出的概率都是0.7若要以若要以99.9999%的把握的把握能夠譯出能夠譯出, ,問問n n至少為幾至少為幾? ?解解 “第第 人譯出密碼人譯出密碼”i表示表示 in(1,2,.,) 互相獨立互相獨立, ,12,.,nA AA那那么么從而從而也互相獨立也互相獨立. .12,.,nA AA“密碼被破譯密碼被破譯”12.nBAAA ( )P B 12.nP AAA 1 1 12nAP APP A1 1 0.3n10.999999 610 設(shè)設(shè)0.3n 610 n n至少為至少為1212， 才能保證譯出的概率超過才能保證譯出的概率超過99.9999%99.9999% 1( )P B 由由n

15、 n個人組成的小組個人組成的小組, ,設(shè)設(shè)iA四、貝努利概型四、貝努利概型定義定義只有兩種對立結(jié)果只有兩種對立結(jié)果如果一個隨機試驗如果一個隨機試驗這樣的試驗稱為這樣的試驗稱為貝努利試驗貝努利試驗. .例如例如, ,從中隨機抽取一個從中隨機抽取一個15%進行檢驗進行檢驗, , 抽取的結(jié)果只有兩個抽取的結(jié)果只有兩個: :一批產(chǎn)品的次品率為一批產(chǎn)品的次品率為正品或次品正品或次品抽到次品抽到次品0.15 抽到正品抽到正品0.85 拋擲一枚硬幣一次拋擲一枚硬幣一次, ,出正面出正面又如又如, ,結(jié)果只有兩個結(jié)果只有兩個: :或出反面或出反面. .出正面出正面出反面出反面又如又如, ,p一射手的命中率為一

16、射手的命中率為他射擊一次他射擊一次, ,p( 01) 結(jié)果只有兩個結(jié)果只有兩個: :擊中或沒擊中擊中或沒擊中. .擊中擊中p 沒擊中沒擊中1p相應(yīng)的概率模型稱為相應(yīng)的概率模型稱為貝努利概型貝努利概型. . P P P P P P0.50.5從而可以把試驗歸結(jié)為從而可以把試驗歸結(jié)為雖然不只兩種，雖然不只兩種，有些隨機試驗的結(jié)果有些隨機試驗的結(jié)果但如果我們但如果我們僅關(guān)心事件僅關(guān)心事件A A是否發(fā)生，是否發(fā)生， 則可以把則可以把A A作為一個結(jié)果，作為一個結(jié)果，把把 作為對立的結(jié)果作為對立的結(jié)果. .A貝努利試驗貝努利試驗. .設(shè)事件設(shè)事件A A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為定義定義1.71.7 一個隨

17、機試驗序列一個隨機試驗序列一個獨立試驗序列一個獨立試驗序列. .則此隨機試驗序列稱為則此隨機試驗序列稱為如果它的各試驗的如果它的各試驗的結(jié)果之間結(jié)果之間是相互獨立的，是相互獨立的，則事件則事件 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為A1p q p( 01)p 由一個貝努利試驗由一個貝努利試驗定義定義1.81.8獨立重復(fù)進行獨立重復(fù)進行, ,形成形成的隨機試驗序列的隨機試驗序列稱為貝努利試驗序列稱為貝努利試驗序列. .由一個貝努利試驗由一個貝努利試驗 獨立重復(fù)進行獨立重復(fù)進行n n次次, ,隨機試驗序列隨機試驗序列形成的形成的稱為稱為n n 重貝努利試驗重貝努利試驗. .每一次試驗每一次試驗, , 事件事件A

18、 A發(fā)生發(fā)生p,p1q 在在n n 重貝努利試驗中，重貝努利試驗中，的概率都是的概率都是用用X X表示表示重貝努利試驗中重貝努利試驗中n事件事件A A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，可能取值可能取值: :XPnkX.210 事件事件 發(fā)生的概率都是發(fā)生的概率都是A0,1, 2, 3,.,nPnkX.210設(shè)設(shè) 表示表示 iA 第第 次發(fā)生事件次發(fā)生事件A A iiP A()2p.0P X12.()nAP AA12() (). ()nPPPAAA()iP Ap1p qnq1P X231.(.nAAPAA 213.nAAAA 11.)nnAAA231.().nA APAA132.()nP A A AA11

19、.).(nnAAPAp1nq1nC2P X312.(.nPAAAA.121.)nnnAAAA2nC2nq132() () (). ()nPPP APAAA.121() (). () ()nnAAAPPP APP Xk11.(. .nkkAAPAA11.).nn kknAAAA .P Xn12.()nAP AA12() (). ()nPPPAAAnpknCkpn kqnq111nnpCq222nnpCqkknn kpCqnp12() (). ()nPPPAAA11(). () ()nnAAPP AP.用用 表示表示X重貝努利試驗中重貝努利試驗中n事件事件A A 發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)定理定理1.31.3(, , ,., )0 1 2knkp（貝努利定理）（貝努利定理）在每一次試驗中在每一次試驗中, ,事件事件A A發(fā)生發(fā)生k k的次的概率為的次的概率為p,p1q 則在則在n n 重重的概率都是的概率都是 事件事件 發(fā)生的概率都是發(fā)生的概率都是Ap( 01) 貝努利試驗中，貝努利試驗中，事件事件A A發(fā)生發(fā)生b k n p( ; ;)記記n kqknCPnkX.210.nq111nnpCq222nnpCqkknn kpCqnp定理定理1.41.4