246-247平面向量的線性運(yùn)算(作業(yè))-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上(滬教版)(解析版)

1、24.6 -24.7平面向量的線性運(yùn)算一、單選題1 .已知非零向量 a ?e2 ,則下列說(shuō)法正確的是（）.a. w 2,則 e /b. a 2,則e二2c. ei 2e2,則e /苞d.以上說(shuō)法都不正確【答案】A【分析】由向量的等式關(guān)系，可得到兩個(gè)向量的方向相同，從而得到答案.【解析】耳2最，則高與e?方向相同，即&區(qū),故選項(xiàng)a正確，選項(xiàng)b錯(cuò)誤;G 2e2 ,無(wú)法判斷目和苞的方向，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)A正確，故選項(xiàng) D錯(cuò)誤故選：A.【點(diǎn)睛】本題考察了向量的知識(shí)；求解的關(guān)鍵是熟練掌握向量的性質(zhì)，從而完成求解.2 . 3a與2a a的長(zhǎng)度與方向的關(guān)系是（）A.長(zhǎng)度相等，方向相同B.長(zhǎng)度相等，

2、方向相反C.長(zhǎng)度不等，方向相同D.長(zhǎng)度不等，方向相反根據(jù)向量的線性運(yùn)算解題即可 .【解析】,.1 2a a 3a3a與2a a相等向量長(zhǎng)度相等，方向相同故選：A【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，其中涉及向量的長(zhǎng)度和方向，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵3 .下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.如果OA OB，那么A與B重合 B.若OA 2OB，則B是OA的中點(diǎn)C.若OA 2OB ,則 若OA 2OB D. B是OA的中點(diǎn)則 OA 2OB【答案】C【分析】根據(jù)共線向量的倍數(shù)關(guān)系和方向判斷即可.【解析】因?yàn)镺A=OB且方向相同，所以 A與B重合，此選項(xiàng)正確；B、因?yàn)镺A 2OB且方向相同，所以 B是OA的中點(diǎn)

3、，此選項(xiàng)正確，C、因?yàn)镺A 2OB,但方向不明確，所以 OA 2OB或oA2OB，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、因?yàn)锽是OA的中點(diǎn)，所以O(shè)A 2OB，此選項(xiàng)正確，【答案】C符合題意的選項(xiàng)是C,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查共線向量的表示，熟練掌握共線向量的表示，注意兩個(gè)共線向量的方向是解答的關(guān)鍵.4 .對(duì)于非零向量a與b,下列命題是假命題的是（）A.若a b，則同,bB.若4同，則a bc,若 ab,則 a , bd.若 a, 6,則 a, , b【答案】B【分析】根據(jù)向量的概念可得出正確答案.【解析】解：根據(jù)向量的概念，知：A、C、D正確；B、兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但兩個(gè)向量不一定方向相等，故錯(cuò)誤.故選：B.【

4、點(diǎn)睛】本題考查了向量的概念，熟練掌握理解向量的概念是解題的關(guān)鍵.5 .以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.零向量與任一非零向量平行B.零向量與單位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共線向量A根據(jù)平行向量定義解題；B根據(jù)單位向量定義解題；C根據(jù)平行向量定義解題；D根據(jù)平行向量定義解題.【解析】A.零向量與任一非零向量平行，故A.正確；B.零向量與單位向量的模不相等，故B.正確；C.平行向量方向相同，平行向量方向可能相同也可能相反，故C錯(cuò)誤.；D.平行向量一定是共線向量，滿足向量共線與平行的定義，故 D.正確，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查單位向量、平行向量與共線向量等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知

5、識(shí)是解題關(guān)鍵.6.如果a b 2c，a b 3c，而且c 0，那么a與b是（）a. a與b是相等向量；b. a與b是平行向量；C. 2與b方向相同，長(zhǎng)度不同；D. a與b方向相反，長(zhǎng)度相同.【答案】B【分析】5 一 1 首先根據(jù)二元一次方程組的求解方法，可以得到a 5c, b c,又由向量的意義，可得 a與b方向22a b相反，長(zhǎng)度不同，是平行向量.【解析】rris酎Aa b 2c，a b 3c，- 5 .a -c, b2，a與b方向相反，長(zhǎng)度不同，是平行向量.故選：B.本題考查了向量的知識(shí).解題的關(guān)鍵是對(duì)向量知識(shí)的理解.7.在 oABCD 中,AC與BD相交于點(diǎn)OAB aADb，那么OD等于

6、（）A. -a21 - 1 - B. a b22C. 1a2D.1a2由四邊形ABCD是平行四邊形，可得OD1 2BD ,又由 BDBA AD，即可求得OD的值解：.四邊形ABCD是平行四邊形,1 OB=OD=2 BD,.ODBDBA AD a.OD-BD = - ( a 22b)故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查了向量的知識(shí).解題時(shí)要注意平行四邊形法則的應(yīng)用，還要注意向量是有方向的.8.下面四個(gè)命題中正確的命題個(gè)數(shù)為（）.對(duì)于實(shí)數(shù)m和向量a、b ,恒有m a b ma mb對(duì)于實(shí)數(shù)m、n和向量a，恒有m n a ma na若ma mb（ m是實(shí)數(shù)）時(shí)，則有a b若ma' na （m、n是實(shí)數(shù)

7、，a 0）,則有m nA. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)依次判斷即可.【解析】 對(duì)于實(shí)數(shù) m和向量a、b ,恒有 m a b ma mb ,正確；對(duì)于實(shí)數(shù) m、n和向量a，恒有 m n a ma na,正確；若ma mb（ m是實(shí)數(shù)）時(shí)，則有 a b，錯(cuò)誤，當(dāng)m=0時(shí)不成立；若ma na （m、n是實(shí)數(shù)，a 0）,則有m n,正確；故選C.本題考查平面向量知識(shí)，熟練掌握平面向量的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.1 . 1 一9 .在平行四邊形 ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)M ,若設(shè)AB a, AD b ,則下列選項(xiàng)與 一a b相22等的向量是（）.A. MA

8、B. MBC. MCD.而【答案】D【分析】 根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和平行四邊形的性質(zhì)逐一判斷即可解：,在平行四邊形ABCD中，aB a , AD AC AB AD a b ,BDAD AB b a,M分別為AC、BD的中點(diǎn)，1 1 - r-.M AAC a b2211, a b ,故a不符合題意;221 1 - -MB BD b a221 - 1, a b ,故B不符合題意；221 -7 1 一MC -AC - a b221 1 -a b ,故C不符合題意;221 -1 L -MD -BD -ba221 -1 U二a 二b ,故D符合題意.2 2故選D.【點(diǎn)睛】此題考查的是平行四邊形的

9、性質(zhì)及向量的加、減法，掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分和向量加法的平行四邊形法則是解決此題的關(guān)鍵10.如圖，在必BC中，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，AD和BE交于點(diǎn)g,設(shè) ab a, AE b ,那么向量BG用向量臺(tái)、b表示為()2 - 22 - 2 A. a b b . a b3333C.-a -b22d. -a2-b 2利用三角形法則求出 BE，再根據(jù)三角形中心的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.解：-AB a, AE b， BE BA AE a b,.AD, BE是必BC的中線,G是BBC的重心,2 . BG= BE, 32 1 2 一-BE= 7a 7b, 33故選A.【點(diǎn)睛】 本題主要考查了平面

10、向量計(jì)算的三角形法則及三角形重心的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些基本知識(shí).二、填空題1 1-11 .計(jì)算2a 8b 4a 2b 3 2【答案】2b a【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)與向量相乘法則依次計(jì)算即可.【解析】1 . 一 .一解：原式=a 4b 4a +2 b 31=-3a 6b 3=2b a，故答案為2b a.【點(diǎn)睛】本題是對(duì)實(shí)數(shù)與向量相乘的考查，熟練掌握實(shí)數(shù)與向量相乘法則是解決本題的關(guān)鍵12 .化簡(jiǎn)： AB BC CD (2) AB AD DC (3)(AB CD) (Ac BD) 【答案】AD CB 0【分析】(1)根據(jù)向量的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可求出答案.(2)根據(jù)向量的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可

11、求出答案.(3)根據(jù)向量的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可求出答案.【解析】解：(1)AB, BC CD aC CD AD；(2)AB AD DC DB DC CB；(Ab CD) (Ac bd)AB BD CD ACAD DC CA0；故答案為：布；cB；?！军c(diǎn)睛】本題考查了向量的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.13 .如圖，在平行四邊形 ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E、F分別是OA、OD的中點(diǎn)，如果AB =4,r、rBO = b，那么 EF=_-1 '【答案】-a b 2半求解即可.【分析】根據(jù)平行四邊形法則表示出 BC，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于

12、第三邊的解：由向量的平行四邊形法則得，BA BC 2BO，所以，BC 2BO BA，AB a ，BA a，BC 2b a，點(diǎn)E、F分別是 OA、OD的中點(diǎn),EF/ AD EF=-AD, 2EF/ EK EF= BC, 2一 1 - .EF -BC2 1 -.EF a b2本題考查了平面向量，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，向量的問(wèn)題，熟練掌握平行 四邊形法則和三角形法則是解題的關(guān)鍵，要注意方向.14 .如圖，D、E 是，ABOi AB、AC上的兩點(diǎn)，AD : DB=2 : 1, DE/ BC記 AB = g, AC = b，那么 DE =（用a，b表示）.【分析】由AB=a，A

13、C = b，利用三角形法則即可求得BC，然后由AD: DB=2: 1, DE/ BG根據(jù)平行線分線段、2成比例定理，可求得 DE -BC ,繼而求得答案.3【解析】解：AB=a， AC=b，BC AC aB b a , DE/ BCDE BC=AD: AB, AD DB=2: 1,DE BC=2: 3,22 一一2 -2 一DE-BC二（b a）-ba3333222 - 2 f故答案為：2b 2a.3 3【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識(shí)以及平行線分線段成比例定理，注意掌握三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.15.如圖，在aABC中，點(diǎn)d是邊BC的中點(diǎn)，設(shè)AB a , AC b ,用a、b的線性組合

14、表示"AD是_“一 1- 1 【答案】一ab22【分析】先根據(jù)向量運(yùn)算求出 BC，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得 BD,然后根據(jù)向量運(yùn)算即可得.【解析】AB a，AC b，BC AC AB ba，,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn),a酎彳aBD BC (b a) 22AD AB BD a1 (b a)21-a21b 2【點(diǎn)睛】 本題考查了向量的運(yùn)算，掌握向量的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.16 .已知平行四邊形 ABCD中，點(diǎn)M、N分別是邊DC、BC的中點(diǎn)，AB a，AD b，那么MN關(guān) 于a、b的分解式是.11【答案】La 與 22【分析】首先由點(diǎn) M、N分別是邊DC、BC的中點(diǎn)，可以得到 MN=，BD,又由D

15、B AB AD ，代入數(shù)值即可求得 結(jié)果.【解析】解：如圖：連接 BD,點(diǎn)M、N分別是邊DC、BC的中點(diǎn)，1 1MNlBD,即 MN -DB ,22- DB AB AD，又AB a, AD b,酎彳I酎Lh'1Lh.MN DB (AB AD) -(a b) -a -b22222一 L1 -1 -故答案為：1a 1b 22【點(diǎn)睛】此題考查向量的知識(shí).注意向量是有方向的.17.如圖，在 kABC 中，點(diǎn) D 在邊 AB 上， ACD B, AD 2 , AC J6，設(shè) bA a， BC b，那么cd （用向量a, b的式子表不'）心1 一【答案】-a b 3【分析】根據(jù) ZA=/A

16、, /ACD=/B,可證 iACD aABC ,則有 AC2 AD ? AB ,可得 AB=3, BD= 1,可求得1 BD -a ,然后根據(jù)CD CB BD求解即可. 3【解析】解：- A= ZA, ZACD=/B, qACD aABC ,2 2 .AC2 AD?AB,.-6 2 2AB. AB= 3,. BD= 11. BD AB3.BD -a3，. CD CB BD BD BC ,1 ' , ' .'.CD a b .3一入1 故答案為：a b.3【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平面向量等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.18.如圖，在梯形 ABCD

17、中，AB/ CD / C=90； BC=CD=4, AD=2 75 ,若麗 a, DC b, 用£、b表示db =一一 1【答案】一ba 2【分析】過(guò)點(diǎn)A作AH DC,利用向量知識(shí)解題【解析】解：過(guò)點(diǎn)A作AH DC于巳 AEX 口CBC± DCAE/ BC又AB/ CD四邊形AECB是矩形，AB= EC, AE= BC= 4,de=Jad2 ae2 = J 2芯F=2 ,1A AB=EC=2= DC,2DC b， 1 -.AB -b , 2AD a， da a,1 -.DB DA AB a b2,1-故答案為一b a . 2【點(diǎn)睛】向量知識(shí)只有使用滬教版 （上海）教材的學(xué)生

18、才學(xué)過(guò)，全國(guó)絕大部分地區(qū)將向量放在高中階段學(xué)習(xí).那么Irr19 .如圖，在 口 ABCD中，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，點(diǎn) E在BC上，且BC=3BE,設(shè)BF a， BE b，將下列向量表示 a、b的分解式：（1）AD_ (2) BD_ EA_(4) OC【答案】3b 2a 3b2a ba 2b【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)求出各邊之間的關(guān)系,再利用向量混合運(yùn)算法則一一求出即可由平行四邊形 ABCD可知：AD=BC,1OC=- AC,2因?yàn)辄c(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，BC=3BE,所以 BA=2BF, BC=3BE.(1) AD BC 3BE3b；(2) BA 2BF 2aBD BA AD 2a3b； EA EB

19、BA (BE) BA(4) AC ABBC ( BA) AD2a 3b ，一 1 一OC = - AC2a 3b2本題考查向量的混合運(yùn)算及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用.20 .如圖，梯形 ABCD中，AD/BC , E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且EF /BC ,AE BCBE AD53'若AB a，DC b，則向量EF可用a、b表示為【答案】17b 17a【分析】過(guò)點(diǎn)A作AH /CD交EF于點(diǎn)G,交AE ，一BC于H,可得AD=GF=CH,然后用BH表不出CH,再求出，根AB AE據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得ABEG,再用BH表示出EG、EF,根

20、據(jù)向量的三角形法則求出BH,BH即可得解.解：如圖，過(guò)點(diǎn) A作AHCD交EF于點(diǎn)G,交BC于HAD/BC, EF/BC四邊形ADFG、GFCH、ADCH均為平行四邊形AD GF CH.AEBEBCADBCAEBH BC CH 5 AD AD 2 AD 33CH 3BH 2: EF /BCAEG ABHAE 5 EGAB 8 bH_ _5317EF EG GF -BH BH BH828若 AB a，DC b則 BH AH AB' DC AB b a 17EF(b a)8“一 ，17 故答案為：一(b a).8【點(diǎn)睛】BH,熟記向量的本題考查了平面向量、梯形、平行四邊形與相似三角形相結(jié)合，

21、關(guān)鍵在于作平行線表示出 平行四邊形法則和三角形法則是解題的關(guān)鍵.三、解答題I-Hr r21 .計(jì)算：(2 a 3bc)2(3a2b c).【答案】7b 4a 3c【分析】根據(jù)向量的計(jì)算法則與實(shí)數(shù)運(yùn)算基本相同，先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可解答.【解析】(2a 3b C) 2(3a 2b c)rrV yrV2a3bc 6a4b2c7b4a3c 【點(diǎn)睛】 本題考查了向量的運(yùn)算，熟練掌握向量的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵.22 .如圖，a,b是以點(diǎn)。為起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量，且 向|b| |a b| J3 ,在圖中作a b, 2a b，并求a b的模長(zhǎng).【答案】作圖見(jiàn)解析；a b的模長(zhǎng)為3.如圖1 ：過(guò)點(diǎn)A作AC

22、=b連接OC,則0c即為所求；如圖2,作DO = a,過(guò)點(diǎn)A作AC=b ,連接DC,則DC即為所求;首先連接AB,由|a| |b|a b| J3 ,易得，OAB是等邊三角形，LOAC等腰三角形，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，求得答案.解：如圖1 ：過(guò)點(diǎn)A作AC = b，連接OC,則oC=a b,oC即為所求；如圖2,作do= a,過(guò)點(diǎn)A作ac = b,連接DC,則 DC=2a b，dC即為所求；連接AB,則 AB = b a, .同 |b| |a b| x3,OA=OB=AB= 3 , ./ AOB=6Q°AC OB，AC/ OBAC=OB,/ C=/ COB OA=OBOA=OC/ C=Z

23、 aOC1 ./ AOC=Z COB=Z AOB=30 , 2OD)± ABOD=OA?cos/ AOD=3 X 3 ， CD=AC?coS C= J3 x應(yīng) 3 ,2222OC=3 a b的模長(zhǎng)為3.本題考查平行四邊形的性質(zhì)，向量等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解向量的定義以及向量和差定義，屬于中考常 考題型.MN23 .如圖，在平行四邊形 ABCD中，點(diǎn)M是CD中點(diǎn)，BM與AC相交于N ,如果AB = a，AD b，求工UBM的值，并試用a,b表示AC,MN . MN 11咯案1加=3； AC a+b； MN 6a【分析】 根據(jù)平行線分線段成比例定理，已經(jīng)三角形法則即可解決問(wèn)題;解：.四邊

24、形ABCD是平行四邊形,CD/ ABCD=AB , DM=CMAB=2CMMNBNMNMB-ACAD+DC ，DCAB=a，AD b，ACa+b，-MBMC+CB，MC12a , CB b，.MB1 MNhMB, 3 11 .1.MNa b63【點(diǎn)睛】 本題考查平面向量、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知 識(shí)，屬于中考?？碱}型.24.如圖，已知平行四邊形 ABCD, BA = a，BC = b.（i）ac=；（用a，b的式子表示）（2）BD =；（用 a，b的式子表示） 若 ACL BD，| aC 1=4 , |BD|=6 ,則 | aC+麗尸.門(mén)BC【

25、答案】-a+b；（2）b + a；（3）2A.【分析】（1） （2）根據(jù)平面向量的加法法則計(jì)算即可解決問(wèn)題;（3）利用勾股定理計(jì)算即可；【解析】解： AC AB BC = - a + b；（2）BD = BC CD = b + a；（3） . AClBD |ACI=4, |BDI=6,"AC + BD |= V42 622而故答案為(1) - a + b； (2) b + a； (3) 2A.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì).平面向量的加法法則等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形加法法則，屬于 中考?？碱}型.25 .如圖，已知點(diǎn) M、N分別是，ABCD勺邊CD、BC上的中點(diǎn). 設(shè)aB

26、a , AD b，求向量 BD、MN 關(guān)于a、b的分解式.i - i 【答案】bd a b ； MN - a -b【分析】根據(jù)三角形法則求出 BD即可解決問(wèn)題.【解析】解析：BD BA AD a bM、N分另1J是，ABC曲邊CD、BC上的中點(diǎn)MN/ DB MN= 1 BD21 一1 .1 -.MN BD-a-b2 22【點(diǎn)睛】本題考查平面向量、平行四邊形法則等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法則解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用 輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問(wèn)題.AD 126.如圖，。為，AB6一點(diǎn)，點(diǎn) D、E分別在 AB、AC上，且 AB 4AE 1 一 一不；若 ob a，OC EC 3求：用向量a

27、, b表不' de .【答案】DE-b -a44解:ADAB1 AE 14 , EC 3ADABAEAC根據(jù)三角形法則和平行線分線段成比例來(lái)求DE .DE/ BCDE _ AD _ 1BC AB 4BC b aDE此題考查了平面向量的知識(shí). 此題難度不大，注意掌握三角形法則的應(yīng)用， 注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.27 .如圖已知點(diǎn) M是，ABCi BC上一點(diǎn)，設(shè) AB = a，AC = b當(dāng)MC=2時(shí)'AM=；（用a與b表示）(2)當(dāng) =m (m>0)時(shí),AM =（用a、b與m表示）4 一 3 一,(3)當(dāng) AM =7 a+ 7 b時(shí),BMMCA【分析】12(1) -a+-