2022年新高考數(shù)學(xué)必刷壓軸題專題55：割補法與等積變換求解體積問題

1、專題55割補法與等積變換求解體積問題【方法點撥】1 .利用等積變換求解三棱錐的體積問題，歸根結(jié)底就是“換頂點（或換底面）"，換頂點 的常用方法有二.一是直接換，即從四個頂點選擇一個點作為頂點，選擇的基本原則是 點面距易求，如出現(xiàn)線面垂直等；二是利用線面平行更換頂點，由于該直線上任意一點 到平面的距離均相等，換完后依然是便于求出點面距.當然，有時還會遇到利用與平面相交的直線上的點換頂點等不一而足.2 .利用求體積可以求點面距，其數(shù)學(xué)方法是“算兩次”【典型題示例】例1 在正方體？?-?中，動點E在棱？?讓，動點F在線段？?上，。為底 面ABCD的中心，若？?= ? ?= ?則四面體？?-

2、 ?體積（）A.與x, y都有關(guān)B.與x, y都無關(guān)C.與x有關(guān)，與y無關(guān)D.與y有關(guān)，與x無關(guān)第1頁共8頁【答案】B【分析】利用線面平行換頂點，化動為靜.【解析】易知， AC"平面AOE ,故四面體O AEF即四面體F AOE與四面體 A AOE同底等高，即V四面體O AEF =V四面體A AOE同理，BBi I平面AAO，故四面體 AAOE即四面體E AA1O與四面體B AAO同底等高,即V面面體A1 AOE =V四面體BAAiOy都無關(guān).所以%面體O AEF =V四面體B AAiO=V四面體O AAi B，故與 x,例2如圖所示，在多面體 ABCDEF中，已知四邊形 ABCD是

3、邊長為1的正方形，且ADE、 BCF均為正三角形， EF/AB, EF 2 ,則該多面體的體積為（）JiB.33A 2【答案】AD.【分析】將物體切割成一個三棱柱，兩個三棱錐分別計算體積1_【解析】在EF上取點M , N使EM FN ,連接AM ,DM , BN,CN ,2ABCD是邊長為1的正方形，且&ADE、ABCF均為正三角形， EF / AB ,所以四邊形ABFE為等腰梯形，EF 2, MN 1,根據(jù)等腰梯形性質(zhì)，AM EF, DM EF,BN EF,CN EF ,AM ,DM是平面amd內(nèi)兩條相交直線，BN,CN是平面BNC內(nèi)兩條相交直線,所以EF 平面AMD , EF 平面

4、BNC ,c ,3MA MD NB NC ,2幾何體體積為V 2Ve AMD VAMD BNC1 1 d ，3 21 2 11.3212 d .2-1 J -2 - 1 J -1 ，3 2,2222223故選：A如圖，在長方體ABCD ABCQ 中，ABAD 3cm, AA1 2cm ,則四棱錐A BB1D1D的體積為 cm3.【答案】6cm3【解析】如圖所示，連結(jié) AC交BD于點O ,因為平面ABCDBB1D1D,又因為AC BD ,所以，AC 平面 BB1D1D ，3 2 6cm3.2AB/DC,例4如下圖，四棱錐P ABCD中，PD所以四棱錐A BB1D1D的高為AO,根據(jù)題意AB AD

5、 3cm,所以AO又因為BD 3<2cm, AA1 2cm,故矩形BB1D1D的面積為6杉cm2,從而四棱錐A BB1D1D的體積V 1 6<23平面 ABCD , PD DC BC 1,AB 2,先證明 PC BC ,而所求點 A到平面PBC的距離，需利用“算兩次”，求出三 ABC的體積即可.因為PD 平面ABCD , BC 平面ABCD ,所以 PD BC .由 BCD 90，得 BC DC.第3頁共8頁又PD DC D , PD 平面PCD , DC 平面PCD ,所以BC 平面PCD , 因為PC 平面PCD,所以PC BC .連結(jié)AC .設(shè)點A到平面PBC的距離為h.因為

6、 AB/DC, BCD 90 ,所以 ABC 90.從而由 AB 2, BC 1,得ABC的面積S abc 1.由PD 平面ABCD及PD 1,得三棱錐P ABC1 _ 1 L的體積V S ABC PD 因為PD 平面ABCD, DC 平面ABCD , 33所以 PD DC ,又 PD DC 1,所以 PC JPDDC J22由 PC BC , BC 1,得 PBC 的面積 S PBC 二, PBC,由 V 1S PBch 1.e h 1,得 h 五. 33 23因此點 A到平面PBC的距離為22.第5頁共8頁【鞏固訓(xùn)練】1.如下圖，在長方體 ABCD ABGR中，AB 3 cm, AD 2

7、cm, AA 1 cm,則三棱錐R ABD的體積為2.如圖，在正方體 ABCDABGDi中，AB 2cm, E為CD的中點，則三棱錐 E ABC的體積為 cm3.3.如圖，已知正四棱柱ABCD AB1C1D1的體積為36,點E, F分別為棱BiB, C1C上的點（異于端點），且EF BC ,則四棱錐 A AEFD的體積為4.如圖，三棱錐A BCD中，E是AC中點，F(xiàn)在AD上，且2AF FD ,若三棱錐 A BEF 的體積是2,則四棱錐B ECDF的體積為 .5.如圖，正三棱柱 =6.若日下分別是棱BBi,ABCA1B1C1 中，AB=4, AAiCCi上的點，則三棱錐AAiEF的體積是6 .如

8、圖，在三棱柱 AB1c1 ABC中，D, E, F分別是AB, AC, AA的中點，設(shè)三棱錐F ADE的體積為 V ,三棱柱 A B1c1 ABC的體積為V2 ,則V1 :V2 7 .在直三棱柱 ABC AB1C1 中，AB 1 , BC 2, AC J3 , AA 1.則 B 到面 ABC的距離為.【答案與提示】1 .【答案】1【提示】直接使用等體積法 .22 .【答案】3【提示】直接使用等體積法 .3.【答案】12【解析一】特殊位置法，轉(zhuǎn)化為求四棱錐A1 ABCD的體積;VA1 AEFD2 VAi ADE =2Ve A1AD ,【解析二】連接 DE ,則三菱錐A1 ADE與三菱錐A DEF

9、體積相等，所以因為 VE A1AD =6VABCD A1B1clD1， 所以VA1 AEFD 12.【解析三】補體，如右圖4.【答案】10補體，轉(zhuǎn)化為三菱錐A BEF與三棱錐A BCD的體積比，實施等積變換VA BEFVA BCDVB AEF S.AEFACD SACD 'S因為S四SACD則四棱錐B1-AE AF sin A2 .1-AC AD sin A 2ECDF的體積為10.1一,V = 6Va bef 12, 65 .【答案】8 3【提示】直接使用等體積法6 .【答案】1: 24【解析】三棱錐 F ADE與三棱錐 A ABC的相似比為1： 2,故體積之比為1： 8.又因三棱錐A1 ABC與三棱柱AB1C1 ABC的體積之比為1：3.所以，三棱錐5 ADE第7頁共8頁與三棱柱 AB1G ABC的體積之比為1： 24.A1B1B)【解析】因為三棱錐 C AAB與三棱錐C A1BB1的