2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.30《二次函數(shù)與一元二次方程》教案蘇教版必修1

1、2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.30二次函數(shù)與一元二次方程教案蘇教版必修1【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 學(xué)習(xí)要求二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系1 能利用二次函數(shù)的圖象與判別式的符號(hào)，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)；2了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系及判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間；3 體驗(yàn)并理解函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.自學(xué)評(píng)價(jià)1. 二次函數(shù)的零點(diǎn)的概念一元二次方程的根也稱為二次函數(shù)（工0 ）的零點(diǎn).2. 二次函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系（1）一元二次方程（工0 ）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，判別式對(duì)應(yīng)的二次

2、函數(shù)（工0）的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)（工0）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，；（2） 一元二次方程（工0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=判別式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)（工 0）的圖象與軸 有唯一的交點(diǎn)為（，0 ）對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)（工0 ）有兩個(gè)相同零點(diǎn)=；（3） 一元二次方程（工 0）沒(méi)有實(shí)數(shù)根判別式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)（工0）的圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)（工0）沒(méi)有零點(diǎn).3. 推廣函數(shù)的零點(diǎn)的概念一般地，對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).【精典范例】例1 :求證：一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【解】證法1=一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

3、根.證法2設(shè)，函數(shù)的圖象是一條開口向上的拋物線，且f（0） =2 02 3 0 -7 - -7 ： 0 函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.點(diǎn)評(píng)：例1還可用配方法將方程化為再證明.也可仿照證法2，由拋物線開口向上及來(lái)推證.例2:右圖是一個(gè)二次函數(shù)的圖象.(1) 寫出這個(gè)二次函數(shù)的零點(diǎn)；(2) 寫出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(3) 試比較，與的大小關(guān)系.【解】(1)由圖象可知此函數(shù)的零點(diǎn)是:(2) 由(1)可設(shè)=.即這個(gè)二次函數(shù)的解析式為.(3) v,點(diǎn)評(píng)：例2進(jìn)一步體現(xiàn)了利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)的思想.例3:當(dāng)關(guān)于的方程的根滿足下列條件時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍:(1)

4、方程的兩個(gè)根一個(gè)大于 2，另一個(gè)小于2;(2) 方程的兩根都小于；(3) 方程x2 -(a 4)x -2a2 5a *3=0的兩根都在區(qū)間上；(4) 方程7x2 -(a 13)x a2 - a - 2 =0的一個(gè)根在區(qū)間上，另一根在區(qū)間上；(5) 方程至少有一個(gè)實(shí)根小于.分析：可將方程的左端設(shè)為函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)圖象，確定的不等式(組)【解】(1)設(shè)f (x) =x2 -ax a2 -7 =0，其圖象為開口向上的拋物線若要其與軸的兩個(gè)交 點(diǎn)在點(diǎn)的兩側(cè)，只需，即,.當(dāng)時(shí)，滿足題意.方程兩根都小于1，只要.: =9-16a2 _0耆1af(1) 043< 23< -5綜上，方程的根都小

5、于12-(a 4)x -2a 5a - 3則方程兩個(gè)根都在時(shí),設(shè)f(x)?1p0f (3p0a +42a 3a -4-02a -a 0上等價(jià)于:2a亠4f(=)E026蘭a蘭2J3a-2)2 色0當(dāng)時(shí)，設(shè)若要22(4)設(shè)f(x)=7x -(a 13)x a -a-2 ,則方程一個(gè)根在上，另一根在上等價(jià)于f 2ff(0)A0 a -a-2>0f(1) ：0 二 a2 _2a_8 ：0f(2) >0a2-3a>0：a £ 1或 a >2=-2 :. a : 4a : 0 或 a 3或.(5)設(shè)，若方程的兩個(gè)實(shí)根都小于，則有a m -2 2或a _2 2-1 = a

6、 2a : 3I 2f(-1) 0I若方程的兩個(gè)根一個(gè)大于，另一個(gè)小于1,則有,若方程的兩個(gè)根中有一個(gè)等于，由根與系數(shù)關(guān)系知另一根必為,? 綜上，方程至少有一實(shí)根小于時(shí)，點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)是高中知識(shí)與大學(xué)知識(shí)的主要紐帶，函數(shù)綜合題往往以二次函數(shù)為載體，考 查函數(shù)的值域、奇偶性、單調(diào)性及二次方程實(shí)根分布問(wèn)題、二次不等式的解集問(wèn)題等，考查 形式靈活多樣，考查思想涉及到數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等，高考在 此設(shè)計(jì)的難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于課本要求，在學(xué)習(xí)中一方面要加強(qiáng)訓(xùn)練，一方面要提高分析問(wèn)題、解 決問(wèn)題的能力.追蹤訓(xùn)練一1.函數(shù)的最大值是，則(DA.B.C.D.2.設(shè)，則(B )A.B.C.D.3

7、.若關(guān)于的方程有一根在內(nèi)，則4.若二次函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是 【選修延伸】一、二次函數(shù)與一元二次方程根的關(guān)系例4:已知，是方程()的兩個(gè)實(shí)根，求的最大值和最小值.分析：一元二次方程與二次函數(shù)有很多內(nèi)在聯(lián)系要求的最值，首先要考慮根與系數(shù)的關(guān)系， 并由此得到以為自變量的的函數(shù)解析式.【解】因?yàn)榉匠蘹2 (k)x k2 3k 0()有兩個(gè)實(shí)根，所以:=(2 -k)2 -4(k2 3k 5)，解得又,所以2 2=(k -2)-2(k2 3k 5)2 2-k -10k -6 - -(k 5)19 .而f k - -k，52,19! 4_k_-彳 是減函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，取最小值

8、.點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)與一元二次方程根有關(guān)的問(wèn)題，必須先確定的取值范圍，否則無(wú)法確定函數(shù) 的單調(diào)性.追蹤訓(xùn)練二1. 若方程在內(nèi)恰有 一解，則的取值范圍是(B )A.B.C.D.2已知，并且、是方程的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)、的大小關(guān)系可能是( A )A.B.C. D.3. 不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都立，則的取值范圍是.4. 已知二次函數(shù)和一次函數(shù)，其中，且，(1) 求證：兩函數(shù)、的圖象交于不同兩點(diǎn)、；(2) 求線段在軸上投影長(zhǎng)度的取值范圍.答案：(1)T, ,.由得，因?yàn)?所以兩函數(shù)、的圖象必交于不同的兩點(diǎn)；(2)設(shè)，則.，.(,).第30課二次函數(shù)與一元二次方程分層訓(xùn)練：1 函數(shù)的零點(diǎn)是( )A. , B.， C.

9、， D.不存在2關(guān)于的不等式的解集是，則等于()A.B.C.D.23.不等式(a -2)x2(a -2)x -4 ： 0對(duì)恒成立，則的取值范圍是()A.B.C.D.4 .已知函數(shù)f (x) = x2 2(1 -m)x m2的圖象在軸的上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.5. 已知函數(shù).(1) 求函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，并結(jié)合圖象指出當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)值大于；(2) 設(shè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，它與軸的交點(diǎn)為、，求的面積.26. 若函數(shù)f(x) =3x ，2(a-1)x在區(qū)間上是減函數(shù)，那么的取值范圍是()A.B.C.D.7. 已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A.B.C.D.&已知實(shí)數(shù)、滿

10、足，則的最大值是9. 已知函數(shù)，.(1) 若，求的最大值與最小值，并指出相應(yīng)的的值；(2) 若恒成立，求的取值范圍.拓展延伸10. 已知函數(shù)f (x)二 ax2 a2x 2b - a3(1) 當(dāng)時(shí)，其值為正；時(shí)，其值為負(fù)，求的值及的表達(dá)式.k設(shè) F(x) f(x) 4(k 1)x 2(6k -1)4當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)的值恒為負(fù)值.11 已知二次函數(shù)（為常數(shù)，且）滿足條件：且方程有等根（1）求的解析式；（2）是否存在實(shí)數(shù)、，使的定義域和值域分別為和，如果存在,求出、的值；如果不存在，說(shuō)明理由2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.32函數(shù)與方程小結(jié)與復(fù)習(xí)教案蘇教版必修 1【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 學(xué)習(xí)要求1了解函數(shù)的

11、零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；2. 根據(jù)具體的函數(shù)圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解；3 體會(huì)函數(shù)與方程的內(nèi)在聯(lián)系，初步建立用函數(shù)方程思想解決問(wèn)題的思維方式.自學(xué)評(píng)價(jià)1一元二次函數(shù)與一元二次方程一元二次函數(shù)與一元二次方程（以后還將學(xué)習(xí)一元二次不等式）的關(guān)系一直是高中數(shù)學(xué) 函數(shù)這部分內(nèi)容中的重點(diǎn)，也是高考必考的知識(shí)點(diǎn)我們要弄清楚它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：一 元二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解 也是對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).2函數(shù)與方程兩個(gè)函數(shù)與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函數(shù)與圖 象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).3. 二分法求方程的

12、近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的區(qū)間，則必有，再取區(qū)間的中點(diǎn)， 再判斷的正負(fù)號(hào)，若，則根在區(qū)間中；若，則根在中；若，則即為方程的根按照以上方法 重復(fù)進(jìn)行下去，直到區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的近似值相同（且都符合精確度要求），即可得一個(gè)近似值.【精典范例】例1 :已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)，（1）求的解析式；（2）求的零點(diǎn)；（3）比較，與的大小關(guān)系.分析：可設(shè)函數(shù)解析式為，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程解方程組求、.【解】（1）設(shè)函數(shù)解析式為，1 c = 一81 a = 1II由丿a +b + c = -5解得 b = 29a + 3b + c = 7c = -8(2) 令得或，零點(diǎn)是.(3)

13、 ,f (1)f (3) -9 7 二63 ：0,.點(diǎn)評(píng)：當(dāng)二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在(或都不在)區(qū)間中時(shí)， ；有且只有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間中時(shí), 例2:利用計(jì)算器，求方程的近似解(精確到) .分析一：可先找出方程的根所在的一個(gè)區(qū)間，再用二分法求解.解法一：設(shè)，通過(guò)觀察函數(shù)的草圖得：方程有一根在內(nèi)，設(shè)為，1 5 + 2又f( ) =f (1.75) = 0.4375 ：0,二，如此繼續(xù)下去，得f (1) 0,f (2)%(1,2),f (1.5)0, f (2) ：0=(1.5,2),f (1.5)0, f(1.75) -0=(1.5,1.75)f (1.5)0, f (1.625) ：0= x(1.5

14、,1.625) f (1.5625) ： 0, f (1.625)0精確到的近似值都為，所以方程的一個(gè)近似值都為，用同樣的方法，可求得方程的另一個(gè) 近似值為.點(diǎn)評(píng)：解題過(guò)程中要始終抓住重點(diǎn)：區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值必須異號(hào). 分析二：還可以用方程近似解的另一種方法一一“迭代法”來(lái)求解.解法二：將原方程寫成取代入等式右邊得，再將代入方程右邊，得，如此循環(huán)計(jì)算數(shù)十次后，可得計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定在，.該方程的近似解為，精確到后為.用同樣 的方法可以求出方程的另一個(gè)近似解為.點(diǎn)評(píng)：“迭代法”也是一種常用的求近似解的方法.例3:已知函數(shù)的圖象與軸在原點(diǎn)的右側(cè)有交點(diǎn)，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍. 分析：【解】(1)當(dāng)時(shí)，與軸

15、的交點(diǎn)為，符合題意；(2)時(shí)，,時(shí)，的圖象是開口向下的拋物線，它與軸的兩交點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)；時(shí)，的圖象是開口向上的拋物線，必須.：=(k- 3)k-3-4k _0，解得2k綜上可得的取值范圍為.追蹤訓(xùn)練一1. 函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為（D ）A.B. C.或D.2. 已知?jiǎng)t方程的解的個(gè)數(shù)是（A ）A.B.C. D.不確定3. 直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，貝Uk的值為（A ）A. 0,B. 0,C.D. 0,4. 函數(shù)與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是,方程的根為或 5已知方程在區(qū)間中有且只有一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為6已知函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則方程的解為 .7求方程的近似解（精確到）. 答案：和2&判斷方程x -（

16、2a2）x 2a 0 （其中）在區(qū)間內(nèi)是否有解.答案：有解.第 32 課 函數(shù)與方程小結(jié)與復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練1已知二次函數(shù)（）的對(duì)稱軸是，則， ，的大小關(guān)系是（ ） ABCD 2在區(qū)間上有零點(diǎn)的函數(shù)是（）A B C D 3函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的值為（）A 或B 或C .或D .或4已知不等式的解集為，則不等式的解集為 5. 已知一個(gè)二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)有最大值，它的圖象截軸所得的線段為. （1）求該函數(shù)的解析式；（2）試證明方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且兩根分別在區(qū)間和內(nèi)； （ 3）求出該函數(shù)的零點(diǎn).【解】6. 方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（ ）A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.無(wú)窮多個(gè)7. 二次函數(shù)滿足，且在上遞增，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A.B.CD8函數(shù)