清華微積分高等數(shù)學連續(xù)函數(shù)的性質PPT學習教案

1、會計學1清華微積分高等數(shù)學連續(xù)函數(shù)的性質清華微積分高等數(shù)學連續(xù)函數(shù)的性質2021-12-122連續(xù)函數(shù)的性質連續(xù)函數(shù)的性質第四講第四講一、連續(xù)函數(shù)的基本性質一、連續(xù)函數(shù)的基本性質二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的 性質性質第1頁/共33頁2021-12-123一、函數(shù)連續(xù)性的基本性質一、函數(shù)連續(xù)性的基本性質（一）連續(xù)性定義的等價形式：（一）連續(xù)性定義的等價形式：下下列列命命題題等等價價則則的的某某鄰鄰域域內內有有定定義義在在設設,)(0 xxf)()(lim)1(00 xfxfxx )()()()2(0 xxfxf )0)(lim(0 xxx

2、其中其中第2頁/共33頁2021-12-124)()()(,0)(lim)4(00000 xfxfxfxxxxfx 既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在點點）（03xf)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx （二）連續(xù)函數(shù)的有界性：（二）連續(xù)函數(shù)的有界性：)(,000有有界界在在點點簡簡稱稱某某鄰鄰域域上上有有界界的的在在則則連連續(xù)續(xù)在在點點若若函函數(shù)數(shù)xfxfxf第3頁/共33頁2021-12-125.)()(),(, 0., 0)(,000000同同號號與與上上使使在在即即的的某某鄰鄰域域上上保保號號在在點點則則且且連連續(xù)續(xù)在在點點若若函函數(shù)數(shù)xfxfxxxfxfxf （三）

3、連續(xù)函數(shù)的保號性：（三）連續(xù)函數(shù)的保號性：第4頁/共33頁2021-12-126連續(xù)連續(xù)也在也在0 )2(xgf 則則連連續(xù)續(xù)都都在在點點若若,0 xgf連連續(xù)續(xù)也也在在函函數(shù)數(shù)對對任任意意常常數(shù)數(shù)0 ,)1(xgf 連續(xù)連續(xù)也在也在則則若若00, 0)()3(xgfxg （四）連續(xù)函數(shù)的運算性質：（四）連續(xù)函數(shù)的運算性質：.)(),(,)(,)()4(00000連連續(xù)續(xù)在在則則復復合合函函數(shù)數(shù)且且連連續(xù)續(xù)在在連連續(xù)續(xù)在在若若ttgftgxxxfttgx 第5頁/共33頁2021-12-127（六）初等函數(shù)的連續(xù)性（六）初等函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是

4、連續(xù)的。 （五）（五） 關于反函數(shù)的連續(xù)性關于反函數(shù)的連續(xù)性.)(),()(),()(,)(1嚴嚴格格單單調調且且連連續(xù)續(xù)上上也也或或區(qū)區(qū)間間在在閉閉則則其其反反函函數(shù)數(shù)單單調調且且連連續(xù)續(xù)上上嚴嚴格格在在閉閉區(qū)區(qū)間間若若函函數(shù)數(shù)afbfbfafyfxbaxfy 結論：結論：第6頁/共33頁2021-12-1281. 基本初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)的連續(xù)性（1 1）由連續(xù)定義可驗證基本初等函數(shù)：）由連續(xù)定義可驗證基本初等函數(shù)：的的連連續(xù)續(xù)性性常常量量函函數(shù)數(shù)xexCxln,sin,00limxxxxee 證證明明0)1(lim00 xxxxe0)1(lim0 xxe 例例第7頁/共33頁20

5、21-12-129（3 3）用連續(xù)函數(shù)四則運算性質證明基本）用連續(xù)函數(shù)四則運算性質證明基本 初等函數(shù)初等函數(shù): :的的連連續(xù)續(xù)性性xxxxcsc,sec,cot,tan（2 2）用復合函數(shù)及反函數(shù)的連續(xù)性證明）用復合函數(shù)及反函數(shù)的連續(xù)性證明 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù): :的的連連續(xù)續(xù)性性xxxxxexxarctan,arccos,arcsin),2sin(cos,ln 第8頁/共33頁2021-12-12102. 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性 由基本初等函數(shù)的連續(xù)性由基本初等函數(shù)的連續(xù)性, ,運用連續(xù)運用連續(xù)函數(shù)的四則運算、復合運算就推出所有函數(shù)的四則運算、復合運算就推出所有初等函數(shù)在其定

6、義初等函數(shù)在其定義區(qū)間區(qū)間上處處連續(xù)上處處連續(xù). . .,21cos)(Znnxxxf 定定義義域域為為離離散散點點是是初初等等函函數(shù)數(shù)。例例：第9頁/共33頁2021-12-1211的的連連續(xù)續(xù)性性。研研究究函函數(shù)數(shù)例例nnnnnxxxxxf 2lim)( 解解 的的表表達達式式先先求求)(xf 1, 1, 0, 10, 111lim)(2222xxxxxxxfnnn.,)(,), 1(),1, 0(),0, 1(),1,(所所以以連連續(xù)續(xù)是是初初等等函函數(shù)數(shù)上上在在xf 非初等函數(shù)連續(xù)性問題舉例非初等函數(shù)連續(xù)性問題舉例第10頁/共33頁2021-12-12121)(lim, 1)(lim1

7、1 xfxfxx1)(lim, 1)(lim11 xfxfxx1)(lim0 xfx可可去去型型間間斷斷點點0 x間間斷斷點點1, 0 xx第第一一類類間間斷斷點點1 x第11頁/共33頁2021-12-1213 時時當當時時當當時時當當討討論論下下列列函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性例例0,0,21,0,11)(1xexxxxxfx.,11)(,0在在定定義義區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)初初等等函函數(shù)數(shù)時時當當xxxfx 解解第12頁/共33頁2021-12-1214.,)(,01在在定定義義區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)也也是是初初等等函函數(shù)數(shù)時時當當xexfx )0(2111lim)(lim00fxxxfxx x

8、exfxx100lim)(lim).)(:()(0.0,0)(,0處處右右連連續(xù)續(xù)在在注注意意第第二二類類間間斷斷點點的的是是點點處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點處處都都是是連連續(xù)續(xù)的的在在綜綜上上所所述述xxfxfxxxxf 第13頁/共33頁2021-12-12151. 1. 有界性定理：有界性定理：.,)(,有有界界上上在在則則設設函函數(shù)數(shù)baxfbaCf 使使得得則則存存在在兩兩點點設設函函數(shù)數(shù),21baxxbaCf )(max)(),(min)(21xfxfxfxfbxabxa 2. 最大最小值定理最大最小值定理：三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質第14頁/共33頁2021

9、-12-12163. 3. 零點定理：零點定理：. 0)(),(, 0)()(, fbabfafbaCf使得使得則存在則存在且且設函數(shù)設函數(shù) obyxa第15頁/共33頁2021-12-12174. 4. 介值定理：介值定理： )(),(,)()(),()(,fbabfafbfafbaCf使使得得存存在在一一點點實實數(shù)數(shù)之之間間的的任任何何一一個個與與對對于于介介于于則則設設函函數(shù)數(shù)推論：推論：,baCf 設設)(min ),(max,xfmxfMbaxbax 使使得得則則對對任任意意),(),(baMm )(f第16頁/共33頁2021-12-1218 obyxa Mmf(x)g(x)第17

10、頁/共33頁2021-12-1219證證構造輔助函數(shù)構造輔助函數(shù) )()(xfxg令令0)()(,)( bgagbaCxg則則使使?jié)M滿足足知知存存在在運運用用零零點點定定理理),(,ba 0)( g )(f 介值定理的證明介值定理的證明第18頁/共33頁2021-12-1220).)()()1 , 0(1)(0,1 , 0)(的的不不動動點點點點稱稱為為，使使得得試試證證：存存在在，且且滿滿足足設設例例xffxfCxf ,)()(xxfxg 構造函數(shù)構造函數(shù)證明證明,1 , 0)(Cxg 則有則有, 01) 1 () 1 (, 0) 0() 0( fgfg且且結結論論。即即得得上上應應用用零零

11、點點定定理理，在在對對,10)(xg第19頁/共33頁2021-12-1221的實根的實根研究方程研究方程例例019:3 xx解解19)(3 xxxf令令試試算算01)3( f09)2( f1)2, 3(x內有一個根內有一個根方程在方程在 07) 1( f01)0( f2)0, 1(x有一個根有一個根方程在方程在 01)3( f027)4( f3)4, 3(x有有一一個個根根方方程程在在根據(jù)代數(shù)基本定理三次多項式最多有三個實根根據(jù)代數(shù)基本定理三次多項式最多有三個實根是是方方程程的的全全部部實實根根321,xxx第20頁/共33頁2021-12-1222.)(1221120至至少少存存在在一一個

12、個實實根根證證明明奇奇次次多多項項式式例例 nnnaxaxaxP 證證 ),()( CxP)()(12121012 nnnxaxaaxxP00 a不不妨妨設設 )(lim,)(limxPxPxx0)(, 0)(, 0 rPrPr使使0)(),(, cPrrc使使根根據(jù)據(jù)零零點點定定理理第21頁/共33頁2021-12-1223.03162715:至至少少有有兩兩個個實實根根證證明明方方程程例例 xxx3162715)( xxxxf設設 證證 內內都都連連續(xù)續(xù)和和在在開開區(qū)區(qū)間間則則)3, 2()2, 1()(xf )3162715(lim)(lim11xxxxfxx )3162715(lim)

13、(lim22xxxxfxx第22頁/共33頁2021-12-12240)(,0)( bfaf使使閉閉區(qū)區(qū)間間存存在在以以證證明明利利用用無無窮窮大大量量的的定定義義可可),2, 1(, ba.)2, 1(,03162715:,內內至至少少有有一一個個實實根根從從而而在在在在方方程程即即baxxx 0)(,11 xfbax使使根根據(jù)據(jù)零零點點定定理理.)3, 2(03162715:,內內至至少少有有一一個個實實根根在在方方程程同同法法可可證證 xxx第23頁/共33頁2021-12-1225.),)(lim, ),能能取取到到最最小小值值在在則則且且若若函函數(shù)數(shù)例例bafxfbaCfbx 證證

14、)(limxfbxMxfbcxbcac )(),(,:有有 01),(max afM對對于于,()()(,)(00caxxfxfcaxcaCxf 使使根根據(jù)據(jù)最最大大最最小小值值定定理理因因為為.),能能取取到到最最小小值值在在綜綜上上所所述述baf第24頁/共33頁2021-12-1226)31()(,1, 0:),1()0(1, 0000 xfxfxffCf使使證證明明且且設設函函數(shù)數(shù)例例 證證 )31()()( xfxfxg令令32, 0)(Cxg ., 0)(,32, 000命命題題得得證證使使若若 xgx0)(,32, 0 xgx有有不不妨妨設設0)(0)(,32, 0, xgxg或

15、或必必有有上上在在否否則則第25頁/共33頁2021-12-12270)31()0()0( ffg0)32()31()31( ffg0)1()32()32( ffg)1()0(ff 矛盾！矛盾！. 0)(,32, 000 xgx使使故故)31()(,1, 0000 xfxfx使使即即第26頁/共33頁2021-12-1228導數(shù)與微分導數(shù)與微分第27頁/共33頁2021-12-1229一、引言一、引言兩個典型背景示例兩個典型背景示例 例例1 1 運動物體的瞬時速度運動物體的瞬時速度設汽車設汽車沿沿t軸作直線運動軸作直線運動, , 若己知其運動若己知其運動規(guī)律規(guī)律( (路程與時間的函數(shù)關系路程與

16、時間的函數(shù)關系) )為為求在時刻求在時刻 的瞬時速度的瞬時速度. .)(txx 0t0tttt 0t第28頁/共33頁2021-12-1230解解的平均速度的平均速度到到求時段求時段ttt 00)1(ttxttxttv )()(),(000 速速度度平平均均速速度度的的極極限限是是瞬瞬時時)2(ttxttxtvt )()(lim)(0000 如果極限如果極限存在存在, , 這個極限值就是這個極限值就是汽車汽車的的瞬時速度瞬時速度. .第29頁/共33頁2021-12-1231 例例2 2 曲線的切線斜率問題曲線的切線斜率問題 ).(,(),(),(.,)()()(,000000 xfyyxMLbaxbaCxfbxaxfyL 其其中中的的切切線線在在點點求求曲曲線線其其方方程程為為設設曲曲線線什麼是曲線的切線？什麼是曲線的切線？第