小升初數(shù)學專項訓練+典型例題分析-數(shù)論篇(教師版)

1、精品 試卷名校真題測試卷數(shù)論篇一時間：15分鐘 滿分5分姓名 測試成績1 （13年人大附中考題）有 個四位數(shù)滿足下列條件：它的各位數(shù)字都是奇數(shù)；它的各位數(shù)字互不相同；它的每個數(shù)字都能整除它本身。2 （13年101中學考題）如果在一個兩位數(shù)的兩個數(shù)字之間添寫一個零，那么所得的三位數(shù)是原來的數(shù)的9倍，問這個兩位數(shù)是 。3 （13年首師附中考題）120250513131313+ += O21 2121 212121 21212121 4 （04年人大附中考題）甲、乙、丙代表互不相同的 3個正整數(shù)，并且滿足：甲X甲 =乙+乙二丙X135.那么甲最小是5 （02年人大附中考題）下列數(shù)不是八進制數(shù)的是 （

2、）A、 125 B 、 126 C 、 127 D 、 128【附答案】1 【解】：62 【解】：設原來數(shù)為ab,這樣后來的數(shù)為a0b,把數(shù)字展開我們可得：100a+b=9 x （10a+b）,所以我們可以知道 5a=4b,所以a=4,b=5,所以原來的兩位數(shù)為 45。3 【解】：周期性數(shù)字，每個數(shù)約分后為+ + =121 21 21 214 【解】：題中要求丙與135的乘積為甲的平方數(shù)，而且是個偶數(shù)（乙 +乙），這樣我們分解135=5X3X 3X3,所以丙最小應該是 2X 2X5X3,所以甲最小是：2X3X 3X5=90。5 【解】：八進制數(shù)是由除以8的余數(shù)得來的，不可能出現(xiàn)8,所以答案是

3、D。小升初專項訓練、小升初考試熱點及命題方向數(shù)論是歷年小升初的考試難點，各學校都把數(shù)論當壓軸題處理。由于行程題的類型較多，題型多樣，變化眾多，所以對學生來說處理起來很頭疼。數(shù)論內容包括：整數(shù)的整除性，同余，奇數(shù)與偶數(shù)，質數(shù)與合數(shù)，約數(shù)與倍數(shù)，整數(shù)的分解與分拆等。作為一個理論性比 較強的專題，數(shù)論在各種杯賽中都會占不小的比重，而且數(shù)論還和數(shù)字謎，不定方程等內容有著密切的聯(lián)系，其重要性是不言而喻的。、2012年考點預測2012年的小升初考試將繼續(xù)以填空和大題形式考查數(shù)論，命題的方向可能偏向小題考察單 方面的知識點，大題則需綜合運用數(shù)的整除，質數(shù)與合數(shù)，約數(shù)倍數(shù)以及整數(shù)的分拆等方 法，希望同學們全面

4、掌握數(shù)論的幾大知識點，能否在考試中取得高分解出數(shù)論的壓軸大題 是關鍵。三、基本公式1)已知 b|c,a|c, 則a,bc,特別地,若(a,b)=1,則有 ab|c。講解練習：若3a75b能被72整除，問a= ,b=.(迎春杯試題)2)已知 c|ab , (b,c)=1,則 c|a。3)唯一分解定理：任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質數(shù)的連乘積，即n= p1 a1 x p2 a2 x. xp kak (#)其中p1<p2<.<pk為質數(shù)，a1,a2,.ak 為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的。該式稱為n的質因子分解式。講解練習:連續(xù)3的自然樹的積為210,求這三個數(shù)為 .4)約數(shù)

5、個數(shù)定理：設自然數(shù)n的質因子分解式如(#)那么n的約數(shù)個數(shù)為d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)所有約數(shù)和：(1+P1+P12 + p1 a1 ) ( 1+P2+P22 + p2a2 )(1+Pk+Pk2+pk ak)講解練習:1996不同的質因數(shù)有 個，它們的和是。 11996年小學數(shù)學奧林匹克初賽)5）用a,b表示a和b的最小公倍數(shù)，（a,b）表示a和b的最大公約數(shù)，那么有ab=a,b x （a,b）。講解練習:兩個數(shù)的積為2646,最小公倍數(shù)為126,問這兩個數(shù)的和為。（迎春杯刊賽第10題）6）自然數(shù)是否能被3, 4, 25, 8, 125, 5, 7,9 , 11, 13等

6、數(shù)整除的判別方法。講解練習:3aa1能被9整除，問a=.（美國長島數(shù)學競賽第三試第3題） 7）平方數(shù)的總結：小生初四個考點：1:平方差 A 2-B2=（A+B）（A-B）,其中我們還得注意 A+B, A-B 同奇偶性。講解練習:8 2 -7 2 +6 2-5 2+4 2 -3 2 +2 2 -1 2 =。2 :約數(shù)：約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)個的是完全平方數(shù)。約數(shù)個數(shù)為3的是質數(shù)的平方。講解練習:1100中約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)個的所有數(shù)和為 3 :質因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。講解練習:a與45的乘積一個完全平方數(shù)，問 a最小是 4:平方和。公式需牢記做題有信心!8）十進制自然數(shù)表示法，十進制和二

7、進制，八進制，五進制等的相互轉化。9）周期性數(shù)字：abab=abX101講解練習:2005X 20062006-2006 X 20052005=四、典型例題解析1數(shù)的整除【例1】（）將4個不同的數(shù)字排在一起，可以組成24個不同的四位數(shù)（4X3X2X1=24）。將這24個四位數(shù)按從小到大的順序排列的話，第二個是5的倍數(shù)；按從大到小排列的話，第二個是不能被4整除的偶數(shù)；按從小到大排列的第五個與第二十個的差在3000-4000之間。請求出這24個四位數(shù)中最大的一個?！窘狻浚翰环猎O這4個數(shù)字分別是a>b>c>d那么從小到大的第 5個就是dacb,它是5的倍數(shù)，因此b=0或5,注意到b

8、>c>d,所以b=5;從大到小排列的第2個是abdc,它是不能被4整除的偶數(shù)；所以c是偶數(shù)，cvb=5, c=4或2 從小到大的第二十個是 adbc,第五個是dacb,它們的差在3000-4000之間，所以a=d+4;因為a>b,所以a至少是6,那么d最小是2,所以c就只能是4。而如果d=2,那么abdc的末2位是24,它是4的倍數(shù)，和條件矛盾。因此 d=3,從而a=d+4=3+4=7。這24個四位數(shù)中最大的一個顯然是abcd,我們求得了 a=7,b=5,c=4,d=3所以這24個四位數(shù)中最大的一個是7543?！纠?】（） 一個5位數(shù)，它的各個位數(shù)字和為 43,且能被11整除

9、，求所有滿足條件的5位數(shù)？思路:現(xiàn)在我們有兩個入手的選擇，可以選擇數(shù)字和，也可以選擇被11整除，但我們發(fā)現(xiàn)被11整除性質的運用要具體的數(shù)字，而現(xiàn)在沒有，所以我們選擇先從數(shù)字和入手【解】：5位數(shù)數(shù)字和最大的為 9X5=45,這樣43的可能性只有9, 9, 9, 9, 7或9, 9, 9, 8, 8。這樣我們接著用11的整除特征，發(fā)現(xiàn)符合條件的有 99979, 97999, 98989符合條件?！纠?】（）由1, 3, 4, 5, 7, 8這六個數(shù)字所組成的六位數(shù)中，能被 11整除的最 大的數(shù)是多少？【解】：各位數(shù)字和為 1+3+4+5+7+8=28所以偶數(shù)位和奇數(shù)位上數(shù)字和均為14為了使得該數(shù)最

10、大，首位必須是8,第2位是7, 14-8=6那么第3位一定是5,第5位為1該數(shù)最大為 875413。拓展:一個三位數(shù)，它由 0, 1, 2, 7, 8組成，且它能被 9整除，問滿足條件的總共有 幾個？【例4】（） 一個學校參加興趣活動的學生不到100人，其中男同學人數(shù)超過總數(shù)的4/7 ,女同學的人數(shù)超過總數(shù)的2/5 。問男女生各多少人？【來源】：12年理工附入學測試題【解】：男生超過總數(shù)的 4/7就是說女生少個總數(shù)的 3/7 ,這樣女生的范圍在 2/53/7之 間，同理可得男生在 4/73/5之間，這樣把分數(shù)擴大，我們可得女生人數(shù)在28/7030/70之間，所以只能是 29人，這樣男生為 41

11、人。2 質數(shù)與合數(shù)（分解質因數(shù)）【例5】（） 2005 X 684X 375 X 口最后4位者B是0，請問口里最小是幾 ？【解】：先分析1X2X3X4XX 10的積的末尾共有多少個 0。由于分解出2的個數(shù)比5多，這樣我們可以得出就看所有數(shù)字中能分解出多少個5這個質因數(shù)。而能分解出5的一定是5的倍數(shù)。注意：5的倍數(shù)能分解一個5, 25的倍數(shù)分解出2個5, 125的倍數(shù)能分 解出3個5最終轉化成計數(shù)問題，如 5的倍數(shù)有10/5=2個。2005=5X401 684=2 X 2X 171375=3X 5X5X5前三個數(shù)里有2個質因子2, 4個質因子5,要使得乘積的最后4位都是0應該有4個質因子2和4個

12、質因子5,還差2個質因子。因此口里最小是 4。拓展:2005X 684X 375 X 口最后4位都是0,且是7的倍數(shù)，問口里最小是 【例6】（） 03年101中學招生人數(shù)是一個平方數(shù)，04年由于信息發(fā)布及時，04年的招生人數(shù)比03年多了 101人，也是一個平方數(shù)，問04年的招生人數(shù)？【解】：看見兩個平方數(shù)，發(fā)現(xiàn)跟平方差相關，這樣我們大膽的設03年的為A2 , 04年的為B2 ,從中我們發(fā)現(xiàn) 04年的比03年多101人，這樣我們可以列式子B2- A 2 =101此后思路要很順，因為看見平方差只有一種方法那就是按公式展開，所以B2 a2 =（a+b）（A-B）=101,可見右邊的數(shù)也要分成 2個數(shù)

13、的積，還得考慮同奇偶性，但101是個質數(shù)，所以101只能分成101X1,這樣A+B=101, A-B=1 ,所以A=50, B=51,所 以04年的招生人數(shù)為 51 X 51=2601。拓展:一個數(shù)加上10,減去10都是平方數(shù)，問這個數(shù)為多少？（清華附中測試題）3約數(shù)和倍數(shù)【例7】（）從一張長 2002毫米，寬847毫米的長方形紙片上，剪下一個邊長盡可能 大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個邊長盡可能大的正方形。按照上面的過程不斷的重復，最后剪得的正方形的邊長是多少毫米？【解】：邊長是2002和847的最大公約數(shù)，可用輾轉相除法求得（2002,847 ） =77所

14、以最后剪得的正方形的邊長是77毫米。輾轉相除示例：2002 + 847=2308求2個數(shù)的最大公約數(shù)，就用大數(shù)除以小數(shù)847+308=2231用上一個式子的除數(shù)除以余數(shù)一直除到除盡為止308 + 231=177用上一個式子的除數(shù)除以余數(shù)一直除到除盡為止231 + 77=3最后一個除盡的式子的除數(shù)就是兩個數(shù)的最大公約數(shù)【例8】（） 一根木棍長 100米，現(xiàn)從左往右每6米畫一根標記線，從右往左每 5米作一根標記線，請問所有的標記線中有多少根距離相差4米？【解】：100能被5整除，所以每5米作標記線從左往右還是從右往左都是一樣的。這樣我們都以從左往右作， 可見轉化成討論5, 6的最小公倍數(shù)中的情況，

15、畫圖可得有2根距離為4米,所以30, 60, 90里各有2條，但發(fā)現(xiàn)最后96和100也是距離4米，所以總共2X3+1=7。拓展:在一根長木棍上，有三種刻度線 .第一種刻度線將木棍分成十等份；第二種將木棍分成十二等份；第三種將木棍分成十五等份.如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段？【例9 （） 1、2、3、42008這2008個數(shù)的最小公倍數(shù)等與多少個2與一個奇數(shù)的積？【解】：最小公倍數(shù)就是分解質因數(shù)中共有的最多因數(shù)，這樣我們發(fā)現(xiàn)除2以外都是奇數(shù)質因數(shù)，可見我們只要找需要多少個 2,所以只要看12008中2V n誰最大，可見 2 V 10=1024,所以為10個2?！纠?0（）有

16、15位同學，每位同學都有編號，它們是1號到15號。1號同學寫了一個自然數(shù)，2號說：“這個數(shù)能被2整除”，3號說“這個數(shù)能被3整除”，依次下 去，每位同學都說，這個數(shù)能被他的編號數(shù)整除，1號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學說得不對，其余同學都對，問：（1）說得不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)？ （ 2）如果告訴你，1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個數(shù)。（寫出解題過程）【解】：1）首先可以斷定編號是 2, 3, 4, 5, 6, 7號的同學說的一定都對。不然，其中說 的不對的編號乘以2后所有編號也將說得不對，這樣就與“只有編號相鄰的兩位同學說的不 對”不符合。因此，這個數(shù)能被 2, 3

17、, 4, 5, 6, 7都整除。其次利用整除性質可知，這個數(shù)也能被 2X5, 3X4, 2X7都整除，即編號為10, 12, 14的 同學說的也對。從而可以斷定說的不對的編號只能是8和9。2）這個數(shù)是 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15的公倍數(shù)由于上述十二個數(shù)的最小公倍數(shù)是60060因為60060是一個五位數(shù)，而十二個數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以 1號同學寫的數(shù) 就是60060。4數(shù)論的綜合題型【例11（）某住宅區(qū)有12家住戶，他們的門牌號分別是1, 2,12.他們的電話號碼依次是12個連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話號碼都能被這家的門牌號整除

18、，已知這些電話號碼的首位數(shù)字都小于6,并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被13整除,問：這一家的電話號碼是什么數(shù)？【解】：設第一戶電話號是 x+1,第二戶x+2，.第12戶電話號x+12根據(jù)條件得 x+i是i的倍數(shù)（i=1,2,12）因此x是1, 2,.12的公倍數(shù)1,2, .12=27720所以 x=27720m27720m+9是13的倍數(shù)，27720除以13余數(shù)為4所以4m+9是13的倍數(shù) m=1,14,27.第一家電話號碼是 27720m+1 m取14合適；因此第一家電話號碼是27720*14+1=388081拓展:寫出連續(xù)的11個自然數(shù)，要求第1個是2的倍數(shù)，第二個是3的倍數(shù)第11個

19、是12的倍數(shù)？【例12（）有15位同學，每位同學都有編號，它們是1號到15號。1號同學寫了一個自然數(shù)，2號說：“這個數(shù)能被2整除”，3號說“這個數(shù)能被3整除”，依次下 去，每位同學都說，這個數(shù)能被他的編號數(shù)整除，1號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學說得不對，其余同學都對，問：（1）說得不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數(shù)？ （ 2）如果告訴你，1號寫的數(shù)是五位數(shù)，請求出這個數(shù)。（寫出解題過程）【解】：1）首先可以斷定編號是 2, 3, 4, 5, 6, 7號的同學說的一定都對。不然，其中說 的不對的編號乘以2后所有編號也將說得不對，這樣就與“只有編號相鄰的兩位同學說的不 對”不符合

20、。因此，這個數(shù)能被2, 3, 4, 5, 6, 7都整除。其次利用整除性質可知，這個數(shù)也能被2X5, 3X4, 2X7都整除，即編號為10, 12, 14的同學說的也對。從而可以斷定說的不對的編號只能是8和9。2）這個數(shù)是 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15的公倍數(shù)由于上述十二個數(shù)的最小公倍數(shù)是60060因為60060是一個五位數(shù)，而十二個數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以 1號同學寫的數(shù) 就是60060。小結本講主要接觸到以下幾種典型題型：參見例1, 2, 3, 4。參見例5, 6參見例7, 8, 9, 10參見例11, 121）數(shù)的整除。2）質數(shù)

21、與合數(shù)（分解質因數(shù)）3）約數(shù)和倍數(shù)。4）數(shù)論的綜合題型。【課外知識】打開另一扇心窗很久以前，在意大利的龐貝古城里，一個普通人家出生了一個叫莉蒂雅的女孩。莉蒂雅自小雙目失明，但她并不怨天怨地，也沒有垂頭喪氣，反而熱愛生活，對生活充滿信 心和希望。稍稍長大后，她像常人一樣勞動，靠賣花自食其力。不久，維蘇威火山爆發(fā)， 龐貝城面臨一次大的災難，整座城市被籠罩在濃煙塵埃之中。濃密的火山灰，遮掩了太陽、 月亮和星星，大地一片漆黑。黑暗中，驚慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路，人們 好像生活在人間的地獄中。莉蒂雅雖然看不見，但這些年來，她走街串巷在城里賣花，對 城市的各條道路了如指掌。她就靠自己的觸覺和聽

22、覺找到了生路，不但救了自己的家人， 還救了許多市民。后來，莉蒂雅的事跡一直被后人所傳頌，并出現(xiàn)在很多的文學作品中。啟迪：莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸，她的殘疾反而成了她的財富。不要總以為自己是 最倒霉的。其實，上蒼很公平。有時候，命運向你關閉這一心窗的同時，又為你開啟了另 一心窗，同樣可以享受人生的快樂作業(yè)題（注：作業(yè)題-例題類型對照表，供參考）題1, 4一類型1;題2, 6一類型3;題3, 5, 8一類型2;題7類型21.（）在1100這100個自然數(shù)中，所有不能被9整除的數(shù)的和是多少?解：1+2+100=50509+18+27+ +99=9 X （1+2+11）=495隨意1-100中所有

23、不能被9整除的數(shù)的和是 5050-495=4555 ，一， 1-2. （）某班學生不超過 60人，在一次數(shù)學測驗中，分數(shù)不低于90分的人數(shù)占1 ,得78089分的人數(shù)占1 ,得7079分得人數(shù)占1 ,那么得70分以下的有 人。23",111 解：有一、一、，說明總人數(shù)一定為 7的倍數(shù)、2的倍數(shù)、3的倍數(shù)，故為7、2、3=72 342的倍數(shù)；又由于人數(shù)不超過 60人，故這班的人數(shù)只能為42人。111從而70分以下的有：42 X 1-=1人。7233. （）自然數(shù) N是一個兩位數(shù)，它是一個質數(shù)，而且N的個位數(shù)字與十位數(shù)字都是質數(shù)，這樣的自然數(shù)有 個。解：枚舉法：23, 37, 53, 73,有4個4. （）三個自然數(shù)，其中每一個數(shù)都不能被另外兩個數(shù)整除，而其中任意兩個數(shù)的乘積卻能被第三個數(shù)整除，那么這樣的三個自然數(shù)的和的最小值是多少？解：這三個自然數(shù)最小是6, 10, 15 （分別是2X3,2X 5,3X5）和的最小值為31。5、（）五個連續(xù)偶數(shù)之和是完全平方數(shù)，中間三個偶數(shù)之和是立方數(shù)（即一個整數(shù) 的三次方），這樣一組數(shù)中的最大數(shù)的最小值是多少？解：設中間一個數(shù)為 2x那么5個數(shù)的和為10x=mA2中間3個數(shù)的和為6x