復變函數積分與級數習題課

1、復變函數積分與級數復變函數積分與級數習題課習題課 一、復積分重點與難點一、復積分重點與難點重點：重點：難點：難點：1. 復積分的基本定理；復積分的基本定理；2. 柯西積分公式與高階導數公式柯西積分公式與高階導數公式 復合閉路定理與復積分的計算復合閉路定理與復積分的計算（1 1）. .積分的定義積分的定義1、復積分基本定理、復積分基本定理oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 .)(limd)(1knkknCzfzzf （2 2）. .積分存在的條件及線積分的計算積分存在的條件及線積分的計算（a a）化成線積分）化成線積分且且存在存在則積分則積分連續(xù)連續(xù)沿逐段光滑的曲線沿逐段光滑的曲

2、線設設,d)(,),(),()( CzzfCyxivyxuzf CCCyyxuxyxviyyxvxyxuzzf.d),(d),(d),(d),(d)(（b b）用參數方程將積分化成定積分）用參數方程將積分化成定積分的參數方程是的參數方程是設簡單光滑曲線設簡單光滑曲線 C)()()()(btatiytxtzz .d)()(d)(ttztzfzzfCba 則則(3).(3).積分的性質積分的性質;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(為常數為常數kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf.)(),(連續(xù)連續(xù)沿曲線沿曲線設設Czgzf

3、 CCCzzfzzfzzfCCC12;d)(d)(d)(,)4(21則則連結而成連結而成由由設設 CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )5(那末那末上滿足上滿足在在函數函數的長度為的長度為設曲線設曲線(4) (4) 柯西定理柯西定理 . d)( , )( 無關無關線線與連結起點及終點的路與連結起點及終點的路那末積分那末積分析析內處處解內處處解在單連通域在單連通域如果函數如果函數定理1定理1CzzfBzfC . 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的積分為零的積分為零內的任何一條封閉曲線內的任何一條封閉曲線沿沿那末函數那末函數內處處解析內處處解析

4、在單連通域在單連通域如果函數如果函數).()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并且并且解析函數解析函數內的一個內的一個必為必為那末函數那末函數析析內處處解內處處解在單連通域在單連通域如果函數如果函數 定理2定理2由定理得由定理得 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzfBB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C(5).(5).原函數的定義原函數的定義. )( )( , )()( , )( )( 的原函數的原函數內內在區(qū)域在區(qū)域為為那末稱那末稱即即內的導數為內的導數為在區(qū)域在區(qū)域如果函數如果函數BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的一個原函數的一

5、個原函數是是因此因此zffzFzz . )(一個常數一個常數的任何兩個原函數相差的任何兩個原函數相差zf. , )()(d)( , )( )( , )( 100110內內的的兩兩點點為為域域這這里里那那末末的的一一個個原原函函數數為為內內處處處處解解析析在在單單連連通通域域如如果果函函數數定定理理BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (牛頓牛頓- -萊布尼茲公式萊布尼茲公式) )(6).(6).閉路變形原理閉路變形原理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn為邊界的區(qū)域全含于為邊界的區(qū)域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它們它們

6、內部的簡單閉曲線內部的簡單閉曲線是在是在內的一條簡單閉曲線內的一條簡單閉曲線多連通域多連通域為為設設 , )( 內解析內解析在在如果如果DzfDC1C2C3C (7). (7).復合閉路定理復合閉路定理 一個解析函數沿閉曲線的積分，不因閉曲一個解析函數沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變它的值線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變它的值.那末那末). , , , , :( , , , , 2121順時針進行順時針進行按按按逆時針進行按逆時針進行其方向是其方向是組成的復合閉路組成的復合閉路為由為由這里這里nnCCCCCCCC . 0d)()2( zzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kC

7、C,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf(7).(7).柯西積分公式柯西積分公式 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那末那末內任一點內任一點為為于于它的內部完全含它的內部完全含閉曲線閉曲線內的任何一條正向簡單內的任何一條正向簡單為為內處處解析內處處解析在區(qū)域在區(qū)域如果函數如果函數一個解析函數在圓心處的值等于它在圓周上的一個解析函數在圓心處的值等于它在圓周上的平均值平均值.則有則有是圓周是圓周如果如果,0 ieRzzC .d)(21)(2000 ieRzfzf (8). (8).高階導數公式高階導數公式. , )( ), 2 , 1(d)()

8、(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的內部全含于而且它的內部全含于線線任何一條正向簡單閉曲任何一條正向簡單閉曲的的內圍繞內圍繞的解析區(qū)域的解析區(qū)域為在函數為在函數其中其中導數為導數為階階它的它的的導數仍為解析函數的導數仍為解析函數解析函數解析函數 二、復積分典型例題二、復積分典型例題例例1 1 計算計算 的值，其中的值，其中C為為1）沿從）沿從 到到 的線段：的線段：2）沿從）沿從 到到 的線段：的線段： 與從與從 到到 的線段的線段 所接成的折線所接成的折線. czzd)0 , 0()1 ,1(; 10 , ttytx)0 , 0()0 ,

9、 1(, 10 , 0,:1 tytxC)0 , 1()1 , 1(10 , 1:2 ttyxC解解 10)(d)(dittittzzc 10d)1)(tiitt 10d2tt)1 , 1()0 , 1(C1C2COxy; 1 zzzzzzcccddd)221 1010d)1 (dtiittt i2121.1i 解解.d42)1cos(21001zzzzzz 例例2 2 計算計算故由柯西定理得. 0d42)1cos(21001 zzzzzz被積函數奇點不在積分區(qū)域內，計算以下積分沿指定路徑23: izC例例3 3 CCzzzzezzz.d)1()2(;d)1(1)1(22解解由復合閉路定理有由

10、復合閉路定理有則則及及為半徑作圓為半徑作圓以以為圓心為圓心及及以以分別分別及及內有兩個奇點內有兩個奇點在在,41,00)1(1)1(212CCizzizzCzz CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222 解法一解法一 利用柯西定理及重要公式利用柯西定理及重要公式izizzzz 1211211)1(12由柯西定理有由柯西定理有, 0d1211 zizC, 0d1211 zizC, 0d12 zzC, 0d1212 zizCyxOi i C2C1C 21d)(21d1d)1(12CCCzizzzzzzii 2212. i 解法二解法二 利用柯西積分公式利用柯西積分公式,11

11、)(121內解析內解析在在Czzf ,)(1)(22內解析內解析在在Cizzzf CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222 21d)(1d)1(12CCzizizzzzz)(2)0(221iiffi 2122ii. i 由復合閉路定理有由復合閉路定理有則則及及為半徑作圓為半徑作圓以以為圓心為圓心及及以以分別分別及及內有兩個奇點內有兩個奇點在在,41,00)1()2(212CCizzizzCzzez CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222,1)(121內解析內解析在在Czezfz ,)()(22內解析內解析在在Cizzezfz 因此由柯西積

12、分公式得因此由柯西積分公式得 CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222 21d)(d)1(2CzCzzizizzezzze)(2)0(221iiffi 222ieii).1cos2(1sin i)2(iei .10,d)1 (3光滑曲線的閉與是不經過其中計算CzzzeCz例4例4解解分以下四種情況討論：分以下四種情況討論：則則也不包含也不包含既不包含既不包含若封閉曲線若封閉曲線, 10)1C,)1()(3內解析內解析在在Czzezfz . 0d)1(3 Czzzze由柯西定理得則則而不包含而不包含包含包含若封閉曲線若封閉曲線, 10)2C由柯西積分公式得由柯西積分

13、公式得內解析內解析在在,)1()(3Czezfz xyOC 1zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 03)1(2 zzzei.2 i 則則而不包含而不包含包含包含若封閉曲線若封閉曲線, 01)3C,)(內解析內解析在在Czezfz 由高階導數公式得由高階導數公式得zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 zzzeCzd)1(3 )1(! 22fi 132)22( zzzezzi. ie , 01)4又包含又包含既包含既包含若封閉曲線若封閉曲線C,0,1 , 0212121互不包含互不包含互不相交互不相交與與且且內內也在也在和和使使為半徑作圓為半徑作圓以以為圓心為圓心則分別以則分別以

14、CCCCCCC 據復合閉路定理有據復合閉路定理有 Czzzzed)1(3 21d)1(d)1(33CzCzzzzezzzexyOC 11C2C Cziezzze.)2(d)1(3所以所以,)3d)1(23iezzzeCz 的結果的結果即為即為而積分而積分,2)2d)1(13izzzeCz 的結果的結果即為即為而積分而積分解解0)1(1)1()!1(2d)1( znznnizz; 0 0)1(1)()!1(2d)2( znzznzenizze0)!1(2 zzeni.)!1(2 ni.d)2(,d)1(11zzezzznzzn 為大于為大于1的自然數的自然數.n 例例5 5 計算下列積分計算下列

15、積分所以所以的奇點的奇點和和是是因為因為,10nznzezz 高階導數公式應用高階導數公式應用三、復變函數級數重點與難點三、復變函數級數重點與難點重點：重點：難點：難點：1、冪級數收斂半徑、冪級數收斂半徑2、函數展開成泰勒級數與洛朗級數、函數展開成泰勒級數與洛朗級數函數展開成洛朗級數函數展開成洛朗級數)()()()(21zfzfzfzsnn 稱為這級數的部分和稱為這級數的部分和. . 級數最前面級數最前面項的和項的和n1.復變函數項級數復變函數項級數 , ), 2 , 1()( 為為一一復復變變函函數數序序列列設設 nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中各項在區(qū)域其中各項在

16、區(qū)域 D內有定義內有定義. .表達式表達式稱為復變函數項級數稱為復變函數項級數, 記作記作 . )(1 nnzf四、內容提要四、內容提要2. 冪級數冪級數 1) 在復變函數項級數中在復變函數項級數中, 形如形如.zczczcczcnnnnn 22101的級數稱為冪級數的級數稱為冪級數.,0時時當當 a 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(-阿貝爾阿貝爾Abel定理定理如果級數如果級數 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz , z在在收斂收斂, z那末對那末對的的級數必絕對收斂級數必絕對收斂, 如果如果在在級數發(fā)散級數發(fā)散, 那末對滿足那末對滿足的的級數必

17、發(fā)散級數必發(fā)散.滿足滿足3.收斂定理收斂定理方法方法1 1: 比值法比值法方法方法2: 根值法根值法4. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法, 0lim 1 nnncc如果如果那末收斂半徑那末收斂半徑.1 R ., 0; 0,;0,1 R即即, 0lim nnnc如果如果那末收斂半徑那末收斂半徑.1 R5.5.復變冪級數在收斂圓內的解析性復變冪級數在收斂圓內的解析性 00)(nnnzzc設冪級數設冪級數的收斂半徑的收斂半徑為為,R那末那末是收斂圓是收斂圓Raz 內的解析函數內的解析函數 .它的和函數它的和函數 00)()(nnnzzczf, )(zf即即(1)(2)(zf在收斂圓在收斂圓Raz 內的

18、導數可將其冪內的導數可將其冪級數逐項求導得到級數逐項求導得到, 即即.)()(110 nnnzznczf(3)(zf在收斂圓內可以逐項積分在收斂圓內可以逐項積分, 即即 0.,d)(d )(ncnncRazczazczzf或或 01.)(1d)(nnnzaazncf 6. 泰勒級數泰勒級數, 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒級數泰勒級數 1)定理定理設設)(zf在區(qū)域在區(qū)域D內解析內解析,0z為為D 內的一內的一d為為0z到到D的邊界上各點的最短距離的邊界上各點的最短距離, 那末那末點點,dzz 0時時, 00)()(nnnzzczf成立成立,當當,! 21)1(0

19、2 nnnznznzzze,111)2(02 nnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)4(1253 nzzzzznn2)常見函數的泰勒展開式常見函數的泰勒展開式)1( z)1( z)( z)( z,) 1() 1(111)3(02 nnnnnzzzzz,)!2()1(! 4! 21cos)5(242 nzzzznn7. 洛朗級數洛朗級數定理定理內內可可展展開開成成洛洛朗朗級級數數在在那那末末析析內內處處處處解解在在圓圓環(huán)環(huán)域域設設DzfRzzRzf )( , )( 201 ,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(21 10其中其中),1,0( nC為圓環(huán)域內繞為圓

20、環(huán)域內繞 的任一正向簡單閉曲線的任一正向簡單閉曲線.0z為洛朗系數為洛朗系數.1)根據正、負冪項組成的的級數的唯一性根據正、負冪項組成的的級數的唯一性, 可可用代數運算、代換、求導和積分等方法去展開用代數運算、代換、求導和積分等方法去展開 .(2) 間接展開法間接展開法2)將函數展為洛朗級數的方法將函數展為洛朗級數的方法(1) 直接展開法直接展開法,d)()(2110 Cnnzfic 根據洛朗定理求出系數根據洛朗定理求出系數.)()(0nnnzzczf 然后寫出然后寫出例例1 1 求下列冪級數的收斂半徑求下列冪級數的收斂半徑0002!)3(!)2()1(nnnnnnznnznz解解nnncc1

21、lim )1( 由由22)1(lim nnn, 1 . 1 R得得nnncc1lim )2( 由由)!1(!lim nnn, 0 . R得得nnncc1lim )3( 由由!)!1(limnnn , . 0 R得得三、典型例題三、典型例題例例2 2 展開函數展開函數 成成 的冪級數到的冪級數到 項項.zeezf )(z3z解解,)(zezeezf ,)()(2zzezezeeeezf zzzezezezeeeeeezf32)()(3)( 由此得由此得,)0(ef ,)0(ef ,2)0(ef .5)0(ef 所以所以.6532 ezezezeeze解析函數展為冪級數的方法解析函數展為冪級數的方

22、法利用定義來求利用定義來求.分析：采用間接法即利用已知的展開式來求分析：采用間接法即利用已知的展開式來求.解解)(21cos izizzzeeeze 因為因為21)1()1(ziziee 00!)1 (!)1 (21nnnnnnnzinzinnnnziin)1 ()1(!1210 )( z例例3 3 求求 在在 的泰勒展式的泰勒展式.zezfzcos)( 0 z例例4 4. 1 )1(1 3內的泰勒展開式內的泰勒展開式在在求函數求函數 zz分析：利用逐項求導、逐項積分法分析：利用逐項求導、逐項積分法.解解 )1(21)1(1 13zz因為因為)1( z所以所以 0321)1(1nnzz22)1

23、(21 nnznn.)1)(2(210mmzmm )1( z例例5 5. 11的冪級數的冪級數展開成展開成把把zez 解解 利用微分方程法利用微分方程法 ,)( 11zezf 因為因為211)1(1)(zezfz ,)1(1)(2zzf , 0)()()1( 2 zfzfz所以所以對上式求導得對上式求導得0)()32()()1(2 zfzzfz0)(2)()54()()1(2 zfzfzzfz由此可得由此可得,)0()0(eff ,3)0(ef ,13)0(ef 故故.! 313! 2313211 zzzeez)1( z例例6 6. 0 )1)(3(785)( 2234的泰勒展開式的泰勒展開式在點在點求求 zzzzzzzzf分析分析:利用部分分式與幾何級數結合法利用部分分式與幾何級數結合法. 即把函數即把函數分成部分分式后分成部分分式后, 應用等比級數求和公式應用等比級數求和公式.解解2)1(1322)( zzzzf1313131 zznnnz 0131)3( z)(1111zz nnnz 0) 1()1( z 1112)1()1(1 nnnnzz即即nnnzn)1()1