復(fù)變函數(shù)工科第一講

1、 第一講第一講20122012年年. .秋學(xué)期秋學(xué)期課程簡介課程簡介 課程名稱課程名稱 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)教教 材材 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)( (第四版第四版) )對(duì)對(duì) 象象 復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）主要任務(wù)主要任務(wù) 研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系， 具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容主要內(nèi)容 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變 函數(shù)級(jí)數(shù)、留數(shù)等。函數(shù)級(jí)數(shù)、留數(shù)等。學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)方法 復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它是

2、實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處。但又有不同之處，們之間有許多相似之處。但又有不同之處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注意在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。比如：復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。比如： 1）負(fù)數(shù)不能開偶數(shù)次方；負(fù)數(shù)不能開偶數(shù)次方； 2）負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)； 3）正、余弦函數(shù)的絕對(duì)值不能超過正、余弦函數(shù)的絕對(duì)值不能超過1 ； 等在復(fù)變函數(shù)中已經(jīng)不復(fù)存在等在復(fù)變函數(shù)中已經(jīng)不復(fù)存在.準(zhǔn)備知識(shí)與參考書目準(zhǔn)備知識(shí)與參考書目1、準(zhǔn)備知識(shí)準(zhǔn)備知識(shí)復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)與多元函數(shù)知識(shí)多元函數(shù)知識(shí)廣義積分與曲線積分廣義積分與曲線積分微積分與級(jí)數(shù)知

3、識(shí)微積分與級(jí)數(shù)知識(shí)2、參考書目、參考書目復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)論 （第二版）鐘玉泉（第二版）鐘玉泉 高等教育出版社高等教育出版社復(fù)變函數(shù)教程復(fù)變函數(shù)教程 朱靜杭朱靜杭 高等教育出版社高等教育出版社復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)郭洪芝等郭洪芝等 天津大學(xué)出版社天津大學(xué)出版社 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)（第四版）西安交通大學(xué)（第四版）西安交通大學(xué) 高等教育出版社高等教育出版社復(fù)變函數(shù)典型習(xí)題復(fù)變函數(shù)典型習(xí)題龔東保龔東保 西安交通西安交通出版社出版社復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)李慶忠李慶忠 科學(xué)科學(xué)出版社出版社復(fù)數(shù)的起源與發(fā)展復(fù)數(shù)的起源與發(fā)展: 復(fù)數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展是數(shù)學(xué)史中的奇特一章。復(fù)數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展是數(shù)學(xué)史中的奇特一章。它不是按現(xiàn)在教科書

4、中所描述的邏輯順序建它不是按現(xiàn)在教科書中所描述的邏輯順序建立起來的，立起來的， 而是從求解方程的實(shí)踐過程中產(chǎn)而是從求解方程的實(shí)踐過程中產(chǎn)生的。生的?！?“ 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)” ” 術(shù)語由高斯于術(shù)語由高斯于 1 8 3 11 8 3 1年年首次給出，首次給出， 在這以前它被稱為在這以前它被稱為 “ “ 虛數(shù)虛數(shù)” ” 或或“ “ 不可能的數(shù)不可能的數(shù)”. .232333( )( )( )( )223223bbabbax “虛數(shù)虛數(shù)”這個(gè)名詞是由十七世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家笛這個(gè)名詞是由十七世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（卡兒（Descartes）1637年在年在幾何學(xué)幾何學(xué)中首創(chuàng)中首創(chuàng)的的. “虛數(shù)虛數(shù)”代表的意思是代

5、表的意思是“虛假的數(shù)虛假的數(shù)”，“實(shí)實(shí)際不存在的數(shù)際不存在的數(shù)”，后來還有人，后來還有人“論證論證”虛數(shù)應(yīng)虛數(shù)應(yīng)該被排除在數(shù)的世界之外該被排除在數(shù)的世界之外.由此給虛數(shù)披上了一由此給虛數(shù)披上了一層神秘的外衣層神秘的外衣.十八世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉十八世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler，1707-1783) 試圖進(jìn)一步解釋虛數(shù)到底是什么數(shù)，他試圖進(jìn)一步解釋虛數(shù)到底是什么數(shù)，他把虛數(shù)稱之為把虛數(shù)稱之為“幻想中的數(shù)幻想中的數(shù)”或或“不可能的不可能的數(shù)數(shù)”.他在他在對(duì)代數(shù)的完整性介紹一書中說：對(duì)代數(shù)的完整性介紹一書中說：因?yàn)樗锌梢韵胂蟮臄?shù)或者比零大，或者比零因?yàn)樗锌梢韵胂蟮臄?shù)或者比零大，或者比零小，或

6、者等于零，即為有序數(shù)小，或者等于零，即為有序數(shù). 所以很清楚，所以很清楚，負(fù)數(shù)的平方根不能包括在可能的有序數(shù)中，就負(fù)數(shù)的平方根不能包括在可能的有序數(shù)中，就其概念而言它應(yīng)該是一種新的數(shù)，而就其本性其概念而言它應(yīng)該是一種新的數(shù)，而就其本性來說它是不可能的數(shù)來說它是不可能的數(shù). 因?yàn)樗鼈冎淮嬖谟谙胂笠驗(yàn)樗鼈冎淮嬖谟谙胂笾兄?因而通常叫做虛數(shù)或幻想中的數(shù)，于是因而通常叫做虛數(shù)或幻想中的數(shù)，于是 Euler 首先引入符號(hào)首先引入符號(hào)i作為虛數(shù)單位作為虛數(shù)單位. 十八世紀(jì)末十八世紀(jì)末至十九世紀(jì)初，至十九世紀(jì)初，挪威測(cè)量學(xué)挪威測(cè)量學(xué)家家Wessel(威塞爾威塞爾)、瑞士的工程師阿爾甘、瑞士的工程師阿爾甘

7、(Argand)以及德國的數(shù)學(xué)家高斯以及德國的數(shù)學(xué)家高斯(Gauss)等都等都對(duì)對(duì)“虛數(shù)虛數(shù)”(也稱為也稱為“復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)”)給出了幾何解給出了幾何解釋，并使復(fù)數(shù)得到了實(shí)際應(yīng)用。釋，并使復(fù)數(shù)得到了實(shí)際應(yīng)用。 特別地特別地, 在十九世紀(jì)，有三位代表性人物，在十九世紀(jì)，有三位代表性人物，即即柯西柯西(Cauchy，17891857)、維爾斯特拉維爾斯特拉斯斯(Weierstrass，18151897)、黎曼、黎曼(Rieman，18261866)?？挛骱途S爾斯特拉斯分別應(yīng)用柯西和維爾斯特拉斯分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，黎曼研究復(fù)變函積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，黎曼研究復(fù)變函數(shù)數(shù)的映像性質(zhì)，經(jīng)過他們的不

8、懈努力，終于的映像性質(zhì)，經(jīng)過他們的不懈努力，終于建立了系統(tǒng)的復(fù)變函數(shù)論建立了系統(tǒng)的復(fù)變函數(shù)論. 自從有了復(fù)變函數(shù)論，實(shí)數(shù)領(lǐng)域中自從有了復(fù)變函數(shù)論，實(shí)數(shù)領(lǐng)域中的禁區(qū)或不能解釋的問題，比如：的禁區(qū)或不能解釋的問題，比如： 1）負(fù)數(shù)不能開偶數(shù)次方；）負(fù)數(shù)不能開偶數(shù)次方； 2）負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；）負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)； 3）指數(shù)函數(shù)無周期性；）指數(shù)函數(shù)無周期性； 4）正、余弦函數(shù)的絕對(duì)值不能超過）正、余弦函數(shù)的絕對(duì)值不能超過1 ； 等已經(jīng)不復(fù)存在等已經(jīng)不復(fù)存在.本冊(cè)書主要內(nèi)容本冊(cè)書主要內(nèi)容 第一章、復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)第一章、復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù) 第二章、第二章、解析函數(shù)解析函數(shù) 第三章、復(fù)變函數(shù)的積分第三章、復(fù)變函數(shù)的積分

9、 第四章、級(jí)數(shù)第四章、級(jí)數(shù) 第五章、留數(shù)第五章、留數(shù) 第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù)數(shù)及其運(yùn)算 1 1、復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的概念 2 2、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算.,稱為虛數(shù)單位稱為虛數(shù)單位引入一個(gè)新數(shù)引入一個(gè)新數(shù)為了解方程的需要為了解方程的需要i.1 :2在實(shí)數(shù)集中無解在實(shí)數(shù)集中無解方程方程實(shí)例實(shí)例 x對(duì)虛數(shù)單位的規(guī)定對(duì)虛數(shù)單位的規(guī)定: :; 1)1(2 i.)2(四則運(yùn)算四則運(yùn)算樣的法則進(jìn)行樣的法則進(jìn)行可以與實(shí)數(shù)在一起按同可以與實(shí)數(shù)在一起按同i1.1 虛單位虛單位:一、復(fù)數(shù)的基本概念一、復(fù)數(shù)的基本概念虛數(shù)單位的特性虛數(shù)單位的特性:;1ii ;

10、12 i;23iiii ; 1224 iii;145iiii ; 1246 iii;347iiii ; 1448 iii則則是是正正整整數(shù)數(shù)一一般般地地，如如果果,n, 14 ni,14iin , 124 ni.34iin . , 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)稱稱對(duì)于對(duì)于yixzRyx , ; , xixzy我們把它看作實(shí)數(shù)我們把它看作實(shí)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0,0 .0 iyx00,0, 0特別時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)i-虛單位虛單位滿足：滿足：i2=-1虛部虛部記做：記做：Imz=x實(shí)部實(shí)部記做：記做：Rez=x ; , 0 , 0 稱為純虛數(shù)稱為純虛數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)iyzyx ;稱為為復(fù)數(shù),|RyxiyxzzC1.2 復(fù)數(shù)的定義復(fù)數(shù)的定

11、義:例例1 1復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)取取何何值值時(shí)時(shí)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù),m )43(2mm.)2(;)1(純虛數(shù)純虛數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)是是imm)65(2 解解令令, 432 mmx, 652 mmy, 0,)1( y則則如如果果復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù). 160652 mmmm或或知知由由, 00,)2( yx且且則則如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù). 140432 mmmm或或知知由由.10應(yīng)舍去應(yīng)舍去知知但由但由 my. 4 m即只有即只有 兩復(fù)數(shù)相等兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛它們的實(shí)部和虛部分別相等部分別相等. 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z 等于等于0當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部它的實(shí)部和虛部同時(shí)等于同時(shí)等于0.說明說明

12、 兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù)兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù),可以比較它們的可以比較它們的大小大小, 如果不全是實(shí)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù), 就不能比較大小就不能比較大小, 也就也就是說是說:121212z =z,xxyy設(shè)：設(shè)：z1=x1+iy1 z2=x2+iy2復(fù)數(shù)不能比較大小復(fù)數(shù)不能比較大小! 0, 和和觀察復(fù)數(shù)觀察復(fù)數(shù) i , 0 i由復(fù)數(shù)的定義可知由復(fù)數(shù)的定義可知 , 0 )1( i若若 ,0 iii 則則 ; , 01 矛盾矛盾即即 , 0 )2( i若若 ,0 iii 則則 . , 01 矛盾矛盾同樣有同樣有 由此可見由此可見, 在復(fù)數(shù)中在復(fù)數(shù)中無法定義大小關(guān)系無法定義大小關(guān)系., 222111iyxziy

13、xz 設(shè)兩復(fù)數(shù)設(shè)兩復(fù)數(shù)1. 兩復(fù)數(shù)的和兩復(fù)數(shù)的和:).()(212121yyixxzz 2. 兩復(fù)數(shù)的積兩復(fù)數(shù)的積:).()(2112212121yxyxiyyxxzz 3. 兩復(fù)數(shù)的商兩復(fù)數(shù)的商:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 全體復(fù)數(shù)關(guān)于上述運(yùn)算全體復(fù)數(shù)關(guān)于上述運(yùn)算( (對(duì)加、減、乘、除對(duì)加、減、乘、除運(yùn)算封閉），做成一個(gè)數(shù)域運(yùn)算封閉），做成一個(gè)數(shù)域. .稱為復(fù)數(shù)域，用稱為復(fù)數(shù)域，用C C表示表示. .定理定理: :二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算2.12.1復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算:定義定義 實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的實(shí)部相同而虛部絕

14、對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù)兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù). . , zz 共軛的復(fù)數(shù)記為共軛的復(fù)數(shù)記為與與. , iyxziyxz 則則若若例例.的積的積與與計(jì)算共軛復(fù)數(shù)計(jì)算共軛復(fù)數(shù)yixyix 解解)(yixyix 22)(yix .22yx .,的積是一個(gè)實(shí)數(shù)的積是一個(gè)實(shí)數(shù)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)zz結(jié)論：2.2共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù):共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):;)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 以上各式證明略以上各式證明略.28例例1 解解,43,55 21iz

15、iz 設(shè)設(shè). 2121 zzzz與與求求iizz435521 )43)(43()43)(55(iiii 25)2015()2015(i .5157i 21 zz.5157i 29例例2 解解,131 iiiz 設(shè)設(shè).)Im(),Re(zzzz 與與求求iiiz 131 )1)(1()1(3 iiiiiii ,2123i ,21)Im(,23)Re( zz 22)Im()Re(zzzz 222123 .25 30例例3 證證, 222111iyxziyxz 設(shè)兩復(fù)數(shù)設(shè)兩復(fù)數(shù)).Re(2 212121zzzzzz 證明證明 2121zzzz)()( )( 22112211iyxiyxiyxiyx

16、)()(21122121yxyxiyyxx )()(21122121yxyxiyyxx )(22121yyxx ).Re(221zz ).Re(2 2121212121zzzzzzzzzz 或或第二節(jié)第二節(jié) 復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)平面二、復(fù)球面三、小結(jié)與思考32一、復(fù)平面1. 1. 復(fù)平面的定義復(fù)平面的定義. . , , , . ),( 面面面叫復(fù)平面叫復(fù)平這種用來表示復(fù)數(shù)的平這種用來表示復(fù)數(shù)的平軸軸叫虛軸或叫虛軸或縱軸縱軸軸軸通常把橫軸叫實(shí)軸或通常把橫軸叫實(shí)軸或用來表示復(fù)數(shù)用來表示復(fù)數(shù)的平面可以的平面可以一個(gè)建立了直角坐標(biāo)系一個(gè)建立了直角坐標(biāo)系因此因此對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)成一一成一一與有序?qū)?/p>

17、數(shù)對(duì)與有序?qū)崝?shù)對(duì)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)yxyxiyxz . ),( 表示表示面上的點(diǎn)面上的點(diǎn)可以用復(fù)平可以用復(fù)平復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)yxiyxz ),(yx xyxyoiyxz 332. 復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的模(或絕對(duì)值或絕對(duì)值) , 的?；蚪^對(duì)值的?；蚪^對(duì)值向量的長度稱為向量的長度稱為 z , 表示表示可以用復(fù)平面上的向量可以用復(fù)平面上的向量復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)OPiyxz . 22yxrz 記為記為xyxyoiyxz Pr顯然下列各式成立顯然下列各式成立, zx , zy ,yxz .22zzzz 343. 復(fù)數(shù)的輻角復(fù)數(shù)的輻角 . Arg , , , 0 zzOPzz記作記作的輻角的輻角稱為稱為為終邊的角的弧度數(shù)為終邊的角的弧度數(shù)

18、的向量的向量以表示以表示以正實(shí)軸為始邊以正實(shí)軸為始邊的情況下的情況下在在說明說明,0有無窮多個(gè)輻角有無窮多個(gè)輻角任何一個(gè)復(fù)數(shù)任何一個(gè)復(fù)數(shù) z , 1是其中一個(gè)輻角是其中一個(gè)輻角如果如果 ).( 2Arg1為任意整數(shù)為任意整數(shù)kkz , 0 , 0 , zz時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)特殊地特殊地的全部輻角為的全部輻角為那么那么 z輻角不確定輻角不確定. .oxy(z)P(x,y)rz xy 35輻角主值的定義輻角主值的定義:.arg , Arg , )0( 000zzz 記作記作的主值的主值稱為稱為的的把滿足把滿足的輻角中的輻角中在在, 0 x)2arctan2( xy其中其中輻角的主值輻角的主值0 z zarg

19、, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy,364. 4. 利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 2z 兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致加減法運(yùn)算一致. .375. 5. 復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì);)1(2121zzzz .)2(2121zzzz , 2121故故之間的距離之間的距離和和表示點(diǎn)表示點(diǎn)因?yàn)橐驗(yàn)閦zzz 1z2z21zz xyo1z2z. 實(shí)軸對(duì)稱的實(shí)軸對(duì)稱的復(fù)平面內(nèi)的位置是關(guān)于復(fù)平面內(nèi)的位置是關(guān)于在

20、在和和一對(duì)共軛復(fù)數(shù)一對(duì)共軛復(fù)數(shù)zzxyoiyxz iyxz 38利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系 ,sin,cos ryrx復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)可以表示成)sin(cos irz 復(fù)數(shù)的三角表示式復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式再利用歐拉公式,sincos iei 復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)可以表示成 irez 復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式6.復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示39例例1 1 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:;5cos5sin)2(;212)1( iziz解：解：zr )1(, 4412 , 在第三象限在第三象限因?yàn)橐驗(yàn)?z122ar

21、ctan 所以所以 33arctan,65 故三角表示式為故三角表示式為,65sin65cos4 iz解題步驟：解題步驟： 1、求出復(fù)數(shù)的模求出復(fù)數(shù)的模 r 2、求出輻角主值求出輻角主值3(cossin )zri、代入指數(shù)表示式為指數(shù)表示式為.465iez 405cos5sin)2( iz, 1 zr顯然顯然 52cos5sin,103cos 52sin5cos,103sin 故三角表示式為故三角表示式為,103sin103cos iz指數(shù)表示式為指數(shù)表示式為.103iez 41例例2 2. , 0 ,sincos1 的輻角的主值的輻角的主值并求并求式式三角表示式與指數(shù)表示三角表示式與指數(shù)表示

22、化為化為把復(fù)數(shù)把復(fù)數(shù)ziz 解解 sincos1iz 2cos2sin22sin22 i 2cos2sin2sin2 i 2sin2cos2sin2 i.2sin22ie (三角式三角式)(指數(shù)式指數(shù)式).2arg z42例例3 3.(2);(1) : , , 2121212121zzzzzzzzzz 證明證明為兩個(gè)任意復(fù)數(shù)為兩個(gè)任意復(fù)數(shù)設(shè)設(shè)證證21(1)zz)( )(2121zzzz )(2121zzzz )(2211zzzz .21zz 221(2)zz )( )(2121zzzz )(2121zzzz 21212211zzzzzzzz 21212221zzzzzz 43 221zz 22

23、21zz )Re(221zz2122212zzzz 2122212zzzz ,)(221zz , )Re(2 212121zzzzzz 因?yàn)橐驗(yàn)閮蛇呁瑫r(shí)開方得兩邊同時(shí)開方得.2121zzzz 44 下面例子表明下面例子表明, 很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程式的方程(或不等式或不等式)來表示來表示; 也可以由給定的也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式或不等式)來確定它所表示的來確定它所表示的平面圖形平面圖形.45例例5 5求下列方程所表示的曲線求下列方程所表示的曲線:. 4)Im()3(;22)2(; 2)1( ziziziz解解.2 2 )1(的點(diǎn)的軌跡的

24、點(diǎn)的軌跡為為距離距離表示所有與點(diǎn)表示所有與點(diǎn)方程方程iiz .2 ,的圓的圓半徑為半徑為即表示中心為即表示中心為i , iyxz 設(shè)設(shè), 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圓方程圓方程4622)2( ziz.22距離相等的點(diǎn)的軌跡距離相等的點(diǎn)的軌跡和和表示所有與點(diǎn)表示所有與點(diǎn) i. 22段的垂直平分線段的垂直平分線的線的線和和連接點(diǎn)連接點(diǎn)故方程表示的曲線就是故方程表示的曲線就是 i , iyxz 設(shè)設(shè),22 yixiyix化簡后得化簡后得.xy 4)Im()3( zi , iyxz 設(shè)設(shè),)1(iyxzi , 41)Im( yzi. 3 y所求曲線方程為所求曲線方程

25、為47二、復(fù)球面1. 1. 南極、北極的定義南極、北極的定義 , 0 的球面的球面點(diǎn)點(diǎn)取一個(gè)與復(fù)平面切于原取一個(gè)與復(fù)平面切于原 z , 與原點(diǎn)重合與原點(diǎn)重合球面上一點(diǎn)球面上一點(diǎn) S , NS點(diǎn)點(diǎn)直線與球面相交于另一直線與球面相交于另一作垂直于復(fù)平面的作垂直于復(fù)平面的通過通過 . , 為南極為南極為北極為北極我們稱我們稱SNxyPNOS48 球面上的點(diǎn)球面上的點(diǎn), 除去北極除去北極 N 外外, 與復(fù)平面內(nèi)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 我們可以用我們可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).我們規(guī)定我們規(guī)定: 復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無窮大無窮大”與與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng), 記作記作 . 因而球面因而球面上的北極上的北極 N 就是復(fù)數(shù)無窮大就是復(fù)數(shù)無窮大 的幾何表示的幾何表示.