隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性課件

1、隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性2主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： v隨機(jī)過(guò)程的基本概念及其統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)過(guò)程的基本概念及其統(tǒng)計(jì)特性 v連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的微分和積分連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的微分和積分 v隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性和遍歷性隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性和遍歷性 v聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程v正態(tài)隨機(jī)過(guò)程正態(tài)隨機(jī)過(guò)程 v馬爾可夫鏈馬爾可夫鏈 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性3隨機(jī)變量隨機(jī)變量 與時(shí)間無(wú)關(guān)與時(shí)間無(wú)關(guān) 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 與時(shí)間相關(guān)與時(shí)間相關(guān) 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分

2、析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性41.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念及統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)過(guò)程的基本概念及統(tǒng)計(jì)特性 自然界事物的變化分為兩大類(lèi)：自然界事物的變化分為兩大類(lèi)：確定性確定性過(guò)程過(guò)程和和隨機(jī)隨機(jī)過(guò)程過(guò)程。確定性過(guò)程：確定性過(guò)程： 1 1）每次試驗(yàn)得到的觀測(cè)）每次試驗(yàn)得到的觀測(cè) 過(guò)程都相同。過(guò)程都相同。 2 2）具有確定形式的變化）具有確定形式的變化 過(guò)程，或可用一個(gè)時(shí)過(guò)程，或可用一個(gè)時(shí) 間間t的確定函數(shù)表示。的確定函數(shù)表示。隨機(jī)過(guò)程：隨機(jī)過(guò)程： 1 1）每次試驗(yàn)得到的觀測(cè)）每次試驗(yàn)得到的觀測(cè) 過(guò)程都不同。過(guò)程都不同。 2 2）沒(méi)有確定的變化形式）沒(méi)有確定的變化形式 或不能用一個(gè)時(shí)間或不能用

3、一個(gè)時(shí)間t 的確定函數(shù)表示。的確定函數(shù)表示。正弦信號(hào)正弦信號(hào)示波器的噪聲電壓示波器的噪聲電壓隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性5一一 定義定義 1.1.接收機(jī)噪聲電壓觀測(cè)方式：對(duì)相同接收機(jī)同時(shí)觀測(cè)接收機(jī)噪聲電壓觀測(cè)方式：對(duì)相同接收機(jī)同時(shí)觀測(cè)050100150200-505050100150200-505050100150200-505050100150200-505從試驗(yàn)可知，每次得到的結(jié)果不同，且變化的規(guī)律從試驗(yàn)可知，每次得到的結(jié)果不同，且變化的規(guī)律不能用不能用一個(gè)一個(gè)確定的函數(shù)來(lái)描述確定的函數(shù)來(lái)描述噪聲電壓的起伏波形噪聲電壓的起伏波形 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析

4、教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性62 2、觀察具有隨機(jī)振幅、觀察具有隨機(jī)振幅 或隨機(jī)相位或隨機(jī)相位 的電壓波形的電壓波形0( )cos()V tAtA若若A A和和 為常數(shù)，為常數(shù)， 是（是（0 0，2 2）的隨機(jī)取值的隨機(jī)變）的隨機(jī)取值的隨機(jī)變量，電壓波形為量，電壓波形為0隨機(jī)相位信號(hào)隨機(jī)相位信號(hào) 01020304050607080-10101020304050607080-10101020304050607080-10101020304050607080-101隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性70( )cos()V tAt若 和 為常數(shù)， 是隨機(jī)取值

5、的隨機(jī)變量，電壓波形為0A隨機(jī)振幅信號(hào)隨機(jī)振幅信號(hào) 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性8 樣本函數(shù)：樣本函數(shù)： ， ， ， ，都是，都是 時(shí)間的函數(shù)，稱(chēng)為樣本函數(shù)。時(shí)間的函數(shù)，稱(chēng)為樣本函數(shù)。 )(1tx)(2tx)(3tx)(txn 隨機(jī)性：一次試驗(yàn)，隨機(jī)過(guò)程必取一個(gè)樣隨機(jī)性：一次試驗(yàn)，隨機(jī)過(guò)程必取一個(gè)樣 本函數(shù)，但所取的樣本函數(shù)帶有本函數(shù)，但所取的樣本函數(shù)帶有 隨機(jī)性。因此，隨機(jī)過(guò)程不僅是隨機(jī)性。因此，隨機(jī)過(guò)程不僅是 時(shí)間時(shí)間t 的函數(shù)，還是可能結(jié)果的的函數(shù)，還是可能結(jié)果的 函數(shù)，記為函數(shù)，記為 ，簡(jiǎn)寫(xiě)成，簡(jiǎn)寫(xiě)成 。 ),( tX)(tX隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析

6、教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性9=3 3 、隨機(jī)過(guò)程的定義、隨機(jī)過(guò)程的定義( , )X t定義定義1 1：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E E的樣本空間為的樣本空間為S=S= ，對(duì)其每一個(gè)元素，對(duì)其每一個(gè)元素 都以某種法則確定一個(gè)樣本函數(shù)都以某種法則確定一個(gè)樣本函數(shù) ，由全部，由全部元素元素 所確定的所確定的一族樣本函數(shù)一族樣本函數(shù) 稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)記稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)記為為 。 )3 , 2 , 1(ii),(itX)(tXS隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性10S定義定義2 2 ：設(shè)有一個(gè)過(guò)程設(shè)有一個(gè)過(guò)程X(t) X(t) ，若對(duì)于每一個(gè)固定的時(shí)刻，若對(duì)于每一個(gè)

7、固定的時(shí)刻 ， 是一個(gè)隨機(jī)變量，則是一個(gè)隨機(jī)變量，則X(t)X(t) 稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程。稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程。 (1,2,3)jtj ( , )jX t隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性11隨機(jī)過(guò)程的一般表征隨機(jī)過(guò)程的一般表征 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程),(tX樣本函數(shù)集合樣本函數(shù)集合( ,),1, 2,iXti 為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，隨機(jī)過(guò)程常省略代表試驗(yàn)結(jié)果的為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，隨機(jī)過(guò)程常省略代表試驗(yàn)結(jié)果的參量參量。隨機(jī)過(guò)程常用大寫(xiě)字母。隨機(jī)過(guò)程常用大寫(xiě)字母 表示，樣表示，樣本函數(shù)常用小寫(xiě)字母本函數(shù)常用小寫(xiě)字母 表示，表示，k表表示第示第k個(gè)樣本函數(shù)。個(gè)樣本函數(shù)。12( ),( ),( )kx

8、 tx tx t)(),(tYtX樣本變量集合樣本變量集合 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程),(tX(,),1, 2,iXti隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性12 上面兩種隨機(jī)過(guò)程的定義，從兩個(gè)角度描述上面兩種隨機(jī)過(guò)程的定義，從兩個(gè)角度描述了隨機(jī)過(guò)程。具體的說(shuō)：了隨機(jī)過(guò)程。具體的說(shuō)： 作觀測(cè)時(shí)，常用作觀測(cè)時(shí)，常用定義定義1，這樣通過(guò)觀測(cè)的試驗(yàn)，這樣通過(guò)觀測(cè)的試驗(yàn)樣本來(lái)得到隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性；樣本來(lái)得到隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性； 對(duì)隨機(jī)過(guò)程作理論分析時(shí)，常用對(duì)隨機(jī)過(guò)程作理論分析時(shí)，常用定義定義2，這樣，這樣可以把隨機(jī)過(guò)程看成為可以把隨機(jī)過(guò)程看成為n維隨機(jī)變量，維隨機(jī)變量， n越大采樣

9、越大采樣時(shí)間越小，所得到的統(tǒng)計(jì)特性越準(zhǔn)確。時(shí)間越小，所得到的統(tǒng)計(jì)特性越準(zhǔn)確。 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性13隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 四種不同情況下的理解：四種不同情況下的理解： 一個(gè)隨機(jī)過(guò)程一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 一個(gè)確知的時(shí)間函數(shù)一個(gè)確知的時(shí)間函數(shù)一個(gè)隨機(jī)變量一個(gè)隨機(jī)變量一個(gè)確定值一個(gè)確定值t 1 和和 都是變量都是變量t2 是變量而是變量而 固定固定3 固定而固定而 是變量是變量 t4 和和 都固定都固定 t( , )X t隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性14二二 隨機(jī)過(guò)程的分類(lèi)隨機(jī)過(guò)程的分類(lèi) 1 按隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間和狀態(tài)來(lái)分類(lèi)按隨機(jī)過(guò)程

10、的時(shí)間和狀態(tài)來(lái)分類(lèi) 連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程：對(duì)隨機(jī)過(guò)程任一時(shí)刻：對(duì)隨機(jī)過(guò)程任一時(shí)刻 的的取值取值 都是連續(xù)型隨機(jī)變量。都是連續(xù)型隨機(jī)變量。 1t)(1tX 離散型隨機(jī)過(guò)程離散型隨機(jī)過(guò)程：對(duì)隨機(jī)過(guò)程任一時(shí)刻：對(duì)隨機(jī)過(guò)程任一時(shí)刻 的的取值取值 都是離散型隨機(jī)變量。都是離散型隨機(jī)變量。 1t)(1tX隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性15 離散隨機(jī)序列：隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間離散隨機(jī)序列：隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間t只能取某只能取某些時(shí)刻，如些時(shí)刻，如 ， 2 ，.，n ，且這時(shí)，且這時(shí)得到的隨機(jī)變量得到的隨機(jī)變量 是離散型隨機(jī)變量，是離散型隨機(jī)變量，即時(shí)間和狀態(tài)是離散的。相當(dāng)于采樣

11、后再即時(shí)間和狀態(tài)是離散的。相當(dāng)于采樣后再量化。量化。 t t t )(tnX 連續(xù)隨機(jī)序列：隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間連續(xù)隨機(jī)序列：隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間t只能取某只能取某些時(shí)刻，如些時(shí)刻，如 ， 2 ，.，n ，且這時(shí)，且這時(shí)得到的隨機(jī)變量得到的隨機(jī)變量 是連續(xù)型隨機(jī)變量，是連續(xù)型隨機(jī)變量，即時(shí)間是離散的。相當(dāng)于對(duì)連續(xù)型隨機(jī)過(guò)即時(shí)間是離散的。相當(dāng)于對(duì)連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程的采樣。程的采樣。t t t )(tnX 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性16狀態(tài)狀態(tài)時(shí)刻時(shí)刻連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)隨機(jī)序列連續(xù)隨機(jī)序列連續(xù)連續(xù)離散離散離散型隨機(jī)過(guò)程離散型隨機(jī)過(guò)程離散離散連續(xù)連

12、續(xù)離散隨機(jī)序列離散隨機(jī)序列離散離散離散離散隨機(jī)過(guò)程按時(shí)間和狀態(tài)的分類(lèi)隨機(jī)過(guò)程按時(shí)間和狀態(tài)的分類(lèi)隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性172 按樣本函數(shù)的形式來(lái)分類(lèi)按樣本函數(shù)的形式來(lái)分類(lèi) 不確定的隨機(jī)過(guò)程：隨機(jī)過(guò)程的任意樣本不確定的隨機(jī)過(guò)程：隨機(jī)過(guò)程的任意樣本函數(shù)的值不能被預(yù)測(cè)。例如接收機(jī)噪聲電壓函數(shù)的值不能被預(yù)測(cè)。例如接收機(jī)噪聲電壓波形。波形。 確定的隨機(jī)過(guò)程：隨機(jī)過(guò)程的任意樣本函確定的隨機(jī)過(guò)程：隨機(jī)過(guò)程的任意樣本函數(shù)的值能被預(yù)測(cè)。例如，樣本函數(shù)為正弦信數(shù)的值能被預(yù)測(cè)。例如，樣本函數(shù)為正弦信號(hào)。號(hào)。 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性18

13、 3 按概率分布的特性來(lái)分類(lèi)按概率分布的特性來(lái)分類(lèi)高斯隨機(jī)過(guò)程高斯隨機(jī)過(guò)程瑞利隨機(jī)過(guò)程瑞利隨機(jī)過(guò)程對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程 4 按統(tǒng)計(jì)特性來(lái)分類(lèi)按統(tǒng)計(jì)特性來(lái)分類(lèi)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 5 按隨機(jī)過(guò)程在頻域的帶寬分類(lèi)按隨機(jī)過(guò)程在頻域的帶寬分類(lèi)寬帶隨機(jī)過(guò)程寬帶隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程白噪聲白噪聲有色噪聲有色噪聲隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性19三三 隨機(jī)過(guò)程的概率分布隨機(jī)過(guò)程的概率分布 隨機(jī)過(guò)程是一族時(shí)間函數(shù)，在一次具體試驗(yàn)中、隨機(jī)過(guò)程是一族時(shí)間函數(shù)，在一次具體試驗(yàn)中、函數(shù)族中哪一個(gè)函數(shù)

14、（樣本）出現(xiàn)時(shí)是服從某種概率函數(shù)族中哪一個(gè)函數(shù)（樣本）出現(xiàn)時(shí)是服從某種概率分布的，因而對(duì)隨機(jī)信號(hào)不能采用通常的對(duì)確定性信分布的，因而對(duì)隨機(jī)信號(hào)不能采用通常的對(duì)確定性信號(hào)的表述方法，而必須用概率統(tǒng)計(jì)，即統(tǒng)計(jì)特性的描號(hào)的表述方法，而必須用概率統(tǒng)計(jì)，即統(tǒng)計(jì)特性的描述方法。述方法。1、概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)或概率分布函數(shù)的描述方法是全面、或概率分布函數(shù)的描述方法是全面、 完整的描述方法。完整的描述方法。2、數(shù)字特征數(shù)字特征（期望、方差、相關(guān)函數(shù)）的描述方法（期望、方差、相關(guān)函數(shù)）的描述方法 是的宏觀、概括的描述方法。是的宏觀、概括的描述方法。 統(tǒng)計(jì)特性的描述方法分為兩個(gè)大類(lèi)：統(tǒng)計(jì)特性的描述方法分為兩

15、個(gè)大類(lèi)：隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性20 當(dāng)儀器記錄隨機(jī)過(guò)程當(dāng)儀器記錄隨機(jī)過(guò)程X(t)的變化過(guò)程時(shí)候，一般不可能的變化過(guò)程時(shí)候，一般不可能也沒(méi)有必要連續(xù)的記錄全部過(guò)程，而只要記下也沒(méi)有必要連續(xù)的記錄全部過(guò)程，而只要記下X(t)在確定時(shí)在確定時(shí)刻刻t1, t2, , tn上的量。上的量。 由隨機(jī)過(guò)程的定義可知，在確定由隨機(jī)過(guò)程的定義可知，在確定t值上，隨機(jī)過(guò)程變?yōu)殡S值上，隨機(jī)過(guò)程變?yōu)殡S機(jī)變量，儀器記錄的結(jié)果是機(jī)變量，儀器記錄的結(jié)果是n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量X(t1),X(t2),X(tn)，如果說(shuō)記錄時(shí)間間隔如果說(shuō)記錄時(shí)間間隔t= ti-ti-1相當(dāng)小相當(dāng)小(

16、(n足夠大足夠大) )時(shí)，多維隨時(shí)，多維隨機(jī)變量機(jī)變量 X(t1), X(t2) , X(tn) 可以足夠完整表示出隨機(jī)過(guò)程可以足夠完整表示出隨機(jī)過(guò)程X(t)。 在一定近似程度上，可以通過(guò)研究多維隨機(jī)變量來(lái)代替在一定近似程度上，可以通過(guò)研究多維隨機(jī)變量來(lái)代替對(duì)隨機(jī)過(guò)程的研究，且對(duì)隨機(jī)過(guò)程的研究，且n取值越大，代替的越精確。當(dāng)取值越大，代替的越精確。當(dāng)n時(shí)，隨機(jī)過(guò)程的概念可以作為多維隨機(jī)變量的概念在維數(shù)無(wú)時(shí)，隨機(jī)過(guò)程的概念可以作為多維隨機(jī)變量的概念在維數(shù)無(wú)窮大情況的自然推廣。窮大情況的自然推廣。隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性21一維概率分布函數(shù)一維概率分布函數(shù)

17、隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)在任意在任意t ti i T T的取值的取值X(tX(t1 1) )是一維隨機(jī)變量。是一維隨機(jī)變量。概率概率PX(tPX(t1 1)x)x1 1 是取值是取值x x1 1，時(shí)刻，時(shí)刻t t1 1的函數(shù)，記為的函數(shù)，記為F Fx x(x(x1 1;t;t1 1) ) =PX(t=PX(t1 1)x)x1 1 ，稱(chēng)作隨機(jī)過(guò)程，稱(chēng)作隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的一維分布函數(shù)。的一維分布函數(shù)。 隨機(jī)變量：隨機(jī)變量：( )XFxP Xx隨機(jī)過(guò)程：隨機(jī)過(guò)程：( , )( )XFx tP X tx若若 的偏導(dǎo)數(shù)存在，連續(xù)隨機(jī)過(guò)程概率密度函的偏導(dǎo)數(shù)存在，連續(xù)隨機(jī)過(guò)程概率密度函數(shù)為數(shù)

18、為( , )( , )XXFx tfx tx( , )XFx t一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù) 一維概率分布和概率密度只描述了任意一個(gè)時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)一維概率分布和概率密度只描述了任意一個(gè)時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特征，僅僅描述了各個(gè)孤立點(diǎn)時(shí)刻統(tǒng)計(jì)特性，不能反映特征，僅僅描述了各個(gè)孤立點(diǎn)時(shí)刻統(tǒng)計(jì)特性，不能反映隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻狀態(tài)之間的聯(lián)系。隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻狀態(tài)之間的聯(lián)系。隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性：概率分布函數(shù)隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性：概率分布函數(shù) 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性22二維概率分布函數(shù)二維概率分布函數(shù) FX(x1,x2;t1,t2)=PX(t1)x1, X

19、(t2)x2 為了描述在任意兩個(gè)時(shí)刻為了描述在任意兩個(gè)時(shí)刻t t1 1和和t t2 2的狀態(tài)間的內(nèi)在聯(lián)系的狀態(tài)間的內(nèi)在聯(lián)系, ,可以引入二維隨機(jī)變量可以引入二維隨機(jī)變量X(tX(t1 1),X(t),X(t2 2)的分布函數(shù)的分布函數(shù)F FX X(x(x1 1,x,x2 2；t t1 1,t,t2 2) )，它是二隨機(jī)事件，它是二隨機(jī)事件X(tX(t1 1)x)x1 1 和和X(tX(t2 2)x)x2 2 同時(shí)出同時(shí)出現(xiàn)的概率，即現(xiàn)的概率，即稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的二維分布函數(shù)。的二維分布函數(shù)。 若若F FX X(x(x1 1,x,x2 2;t;t1 1,t,t2 2) )

20、對(duì)對(duì)x x1 1，x x2 2的二階混合偏導(dǎo)存在，即的二階混合偏導(dǎo)存在，即 21212122121),;,(),;,(xxttxxFttxxfXX為隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)過(guò)程X(X(t) )的二維概率密度。的二維概率密度。 二維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)注意：注意：X(X(t1 1) )及及X(X(t2 2) )為同一隨機(jī)過(guò)程上的隨機(jī)變量。為同一隨機(jī)過(guò)程上的隨機(jī)變量。 二維分布比一維分布包含可更多的信息，但仍不二維分布比一維分布包含可更多的信息，但仍不 能完整的反應(yīng)出隨機(jī)過(guò)程的全部統(tǒng)計(jì)特性。能完整的反應(yīng)出隨機(jī)過(guò)程的全部統(tǒng)計(jì)特性。隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性23n

21、維概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)維概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)12121122( ,; , , )( ),( ),( )XnnnnFx xx t ttP X tx X txX txnnnXnnnXxxxtttxxxFtttxxxf2121212121),;,(),;,( 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 在任意在任意n個(gè)時(shí)刻個(gè)時(shí)刻 的取值的取值)(tXnttt,21)(,),(),(21ntXtXtX)(,),(),(21ntXtXtX)(tX 構(gòu)成構(gòu)成n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量 即為即為n維空間的隨機(jī)矢量維空間的隨機(jī)矢量X。類(lèi)似的，可以定義隨。類(lèi)似的，可以定義隨 機(jī)過(guò)程機(jī)過(guò)程 的的n維分布函數(shù)和維分布函數(shù)和n維概率密

22、度函數(shù)為維概率密度函數(shù)為 顯然，顯然，n越大隨機(jī)過(guò)程的越大隨機(jī)過(guò)程的n n維分布律描述的特性維分布律描述的特性也越趨完善，理論上說(shuō)，可以無(wú)限增加也越趨完善，理論上說(shuō)，可以無(wú)限增加n ，使，使 n 維維分布律更加全面地反應(yīng)分布律更加全面地反應(yīng)X(X(t) )的統(tǒng)計(jì)特性，但實(shí)際上，的統(tǒng)計(jì)特性，但實(shí)際上，n 越大分析處理會(huì)變得越復(fù)雜。越大分析處理會(huì)變得越復(fù)雜。隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性24性質(zhì)：性質(zhì)： 1212( ,; , , ,)0XninFx xx t ttt12( ,; , ,)1XnFt tt 1212( ,; , , )0Xnnfx xx t tt12

23、1212n( ,; , ,)1Xnnnfx xx t tt dx dxdx重121212nm1212( ,; , , )( ,; , ,)XnnmmnXmmfx xx t tt dxdxdxfx xxt tt 重若若 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則有 )(,),(),(21ntXtXtX12121122( ,; , , )( ; )(; )(; )XnnXXXnnfx xx t ttfx tfx tfx t隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性25四四 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)隨機(jī)變量變量的數(shù)字特征的數(shù)字特征（期望、方差、相關(guān)系數(shù)）（期望、方差、相關(guān)系數(shù)）

24、 通常是通常是確定值確定值。隨機(jī)隨機(jī)過(guò)程過(guò)程的數(shù)字特征的數(shù)字特征（期望、方差、相關(guān)函數(shù)期望、方差、相關(guān)函數(shù)） 通常是通常是確定性函數(shù)確定性函數(shù)。 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征的計(jì)算方法隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征的計(jì)算方法:先把時(shí)間先把時(shí)間t固定，然后用隨機(jī)變量的分析方法固定，然后用隨機(jī)變量的分析方法來(lái)計(jì)算。來(lái)計(jì)算。 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性261 數(shù)學(xué)期望（均值函數(shù)）數(shù)學(xué)期望（均值函數(shù)） ( )( )( , )XmtE X txf x t dx 顯然，顯然， 是某一個(gè)是某一個(gè)平均函數(shù)平均函數(shù)，隨機(jī)過(guò)，隨機(jī)過(guò)程的諸樣本在它的附近起伏變化，如圖所示：程的諸樣本在它的附近起伏變

25、化，如圖所示： )(tmX隨機(jī)過(guò)程的均值是時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的均值是時(shí)間t的函的函數(shù)，稱(chēng)為數(shù)，稱(chēng)為均值函數(shù)。均值函數(shù)。物理意義物理意義：如果隨機(jī)過(guò)程表示：如果隨機(jī)過(guò)程表示接收機(jī)的輸出電壓，那么它的接收機(jī)的輸出電壓，那么它的數(shù)學(xué)期望就是輸出電壓的瞬時(shí)數(shù)學(xué)期望就是輸出電壓的瞬時(shí)統(tǒng)計(jì)平均值。統(tǒng)計(jì)平均值。 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性27 統(tǒng)計(jì)均值是對(duì)隨機(jī)過(guò)程中統(tǒng)計(jì)均值是對(duì)隨機(jī)過(guò)程中所有樣本函數(shù)所有樣本函數(shù)在時(shí)間在時(shí)間t的所的所有取值進(jìn)行概率加權(quán)平均，所以又稱(chēng)為有取值進(jìn)行概率加權(quán)平均，所以又稱(chēng)為集合平均集合平均。它反。它反映了樣本函數(shù)統(tǒng)計(jì)意義下的平均變化規(guī)律，映了樣本函數(shù)

26、統(tǒng)計(jì)意義下的平均變化規(guī)律，是所有樣本是所有樣本函數(shù)在各個(gè)時(shí)刻擺動(dòng)的中心。函數(shù)在各個(gè)時(shí)刻擺動(dòng)的中心。隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性282 2 均方值和方差均方值和方差 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 在任一時(shí)刻在任一時(shí)刻t的取值是一個(gè)隨的取值是一個(gè)隨機(jī)變量機(jī)變量 。我們把。我們把 二階原點(diǎn)矩稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)二階原點(diǎn)矩稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的程的均方值均方值，把二階中心矩記作隨機(jī)過(guò)程的，把二階中心矩記作隨機(jī)過(guò)程的方差方差。即即： )(tX)(tX22222( )( )( ; )( )( )( )( ) XXXXtE Xtx fx t dxtD X tE X tmt222( )( )( )XXt

27、E Xtmt且且 方差、均方值都是時(shí)間方差、均方值都是時(shí)間t的函數(shù)，描述了隨的函數(shù)，描述了隨機(jī)過(guò)程諸樣本函數(shù)圍繞數(shù)學(xué)期望的分散程度。機(jī)過(guò)程諸樣本函數(shù)圍繞數(shù)學(xué)期望的分散程度。)(tX隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性29物理意義：物理意義：如果如果 表示噪聲電壓，則表示噪聲電壓，則均方值均方值 表示消耗在單位電阻上的瞬表示消耗在單位電阻上的瞬時(shí)功率統(tǒng)計(jì)平均值。時(shí)功率統(tǒng)計(jì)平均值。方差方差 表示消耗在單位電阻上的瞬時(shí)交表示消耗在單位電阻上的瞬時(shí)交流功率統(tǒng)計(jì)平均值。流功率統(tǒng)計(jì)平均值。 )(tX)(2tXE)(tXD標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差： 2( )( )( )XXD X ttt=

28、實(shí)際應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)差用它作為描述隨機(jī)過(guò)實(shí)際應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)差用它作為描述隨機(jī)過(guò)程散布程度的指標(biāo)。程散布程度的指標(biāo)。隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性30方差方差22( )( ( )( ) XXtE X tm t22( )( )XE X tm t)(tx-單位電阻上的電壓?jiǎn)挝浑娮枭系碾妷?( ) 1x t-消耗在單位電阻上的瞬時(shí)功率消耗在單位電阻上的瞬時(shí)功率-消耗在單位電阻上的瞬時(shí)交流功率消耗在單位電阻上的瞬時(shí)交流功率2 ( )( )1xx tm t-消耗在單位電阻上的瞬交流功率的消耗在單位電阻上的瞬交流功率的 統(tǒng)計(jì)平均值統(tǒng)計(jì)平均值2( ( )( )1xE x tm t消

29、耗在單位電消耗在單位電阻上的總的平阻上的總的平均功率均功率平均交流平均交流功率功率平均直流平均直流功率功率222( )( )( )XXE Xttmt 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性313 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 數(shù)學(xué)期望和方差是描述隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)孤立點(diǎn)數(shù)學(xué)期望和方差是描述隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)孤立點(diǎn)時(shí)刻的重要數(shù)字特征。它們反應(yīng)不出來(lái)整個(gè)隨機(jī)過(guò)時(shí)刻的重要數(shù)字特征。它們反應(yīng)不出來(lái)整個(gè)隨機(jī)過(guò)程不同時(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。程不同時(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。 比較具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程。比較具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程。 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以

30、統(tǒng)計(jì)特性32 自相關(guān)函數(shù)用來(lái)描述自相關(guān)函數(shù)用來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程任意兩個(gè)時(shí)刻狀隨機(jī)過(guò)程任意兩個(gè)時(shí)刻狀態(tài)之間的內(nèi)在聯(lián)系，通常態(tài)之間的內(nèi)在聯(lián)系，通常用用 描述。描述。 ),(21ttRX121212121212( , )( )( )( ,; , )XXRt tE X t X tx x fx x t t dx dx 描述了整個(gè)隨機(jī)過(guò)程描述了整個(gè)隨機(jī)過(guò)程任任意兩個(gè)不同時(shí)刻意兩個(gè)不同時(shí)刻的內(nèi)在關(guān)的內(nèi)在關(guān)系：線性相關(guān)性系：線性相關(guān)性若若 則則12ttt212( , )( , )( )( )( )XXRt tRt tE X t X tE Xt隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性33自相

31、關(guān)函數(shù)的物理意義自相關(guān)函數(shù)的物理意義1212( , )( )( )XRt tE X t X t自相關(guān)函數(shù)可正可負(fù)，其絕對(duì)值越大，表示相關(guān)性越自相關(guān)函數(shù)可正可負(fù)，其絕對(duì)值越大，表示相關(guān)性越 強(qiáng)。一般說(shuō)來(lái)，時(shí)間相隔越遠(yuǎn)，相關(guān)性越弱，自相關(guān)強(qiáng)。一般說(shuō)來(lái)，時(shí)間相隔越遠(yuǎn)，相關(guān)性越弱，自相關(guān) 函數(shù)的絕對(duì)值也越弱，當(dāng)兩個(gè)時(shí)刻重合時(shí)，其相關(guān)性函數(shù)的絕對(duì)值也越弱，當(dāng)兩個(gè)時(shí)刻重合時(shí)，其相關(guān)性 應(yīng)是最強(qiáng)的，所以應(yīng)是最強(qiáng)的，所以 最大。最大。( , )XRt t反映不同隨機(jī)過(guò)程的波形變化反映不同隨機(jī)過(guò)程的波形變化隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性344 自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù) 若用隨機(jī)

32、過(guò)程的兩個(gè)不同時(shí)刻之間的二階若用隨機(jī)過(guò)程的兩個(gè)不同時(shí)刻之間的二階混合中心矩來(lái)定義相關(guān)函數(shù)，我們稱(chēng)之為混合中心矩來(lái)定義相關(guān)函數(shù)，我們稱(chēng)之為自協(xié)自協(xié)方差函數(shù)方差函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng)協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)。用。用 表表示，它反映了任意兩個(gè)時(shí)刻的起伏值之間相關(guān)示，它反映了任意兩個(gè)時(shí)刻的起伏值之間相關(guān)程度。程度。 ),(21ttKX)()(),(2121tXtXEttKX1122( )( )( )( )XXE X tmtX tmt112212( )( )( )( )XXX tmtX tmtdx dx 中中心心化化自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性35自協(xié)方差和

33、自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 112212111212211212( )( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( , )( , )( )( )XXXXXXXXXXE X tmtX tmtE X t X tmt E X tmKt tRt ttE X tmt mtmt mt自協(xié)方差和方差的關(guān)系自協(xié)方差和方差的關(guān)系 221( , )( )(,) )XXXKt tKt tE X tmt2( )( )XXtDtttt21令令則則自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù) 121212112212( ,)( ,)(,)( , )(,)( )()XXXXXXXKt tKt tttKt tK

34、tttt隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性36隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)過(guò)程的不相關(guān)不相關(guān)和和獨(dú)立獨(dú)立以及以及正交正交的關(guān)系：的關(guān)系：121212( ,)( ,)( )( )XXXXKt tRt tmt mt如果如果 , 則稱(chēng)則稱(chēng) 和和 是是不相關(guān)不相關(guān)的。的。如果如果 , 則稱(chēng)則稱(chēng) 和和 是是正交正交的。的。)(2tX0),(21ttKX1( )X t0),(21ttRX1( )X t)(2tX如果如果 則稱(chēng)隨機(jī)則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程在過(guò)程在 和和 時(shí)刻的狀態(tài)是相互時(shí)刻的狀態(tài)是相互獨(dú)立獨(dú)立的。的。),(),(),(22112121txftxfttxxfXXX1t2t正交正交獨(dú)立獨(dú)立不

35、相關(guān)不相關(guān)充分條件充分條件正態(tài)隨機(jī)過(guò)程正態(tài)隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性37例：求隨機(jī)相位正弦波例：求隨機(jī)相位正弦波 的數(shù)字期的數(shù)字期望，方差及自相關(guān)函數(shù)。式中，望，方差及自相關(guān)函數(shù)。式中， 為常數(shù)，是為常數(shù)，是區(qū)間區(qū)間0， 上均勻分布的隨機(jī)變量。上均勻分布的隨機(jī)變量。 0( )sin()x tt02解：由題可知：解：由題可知： 000( ) ( )sin()sincoscossin xm tE x tEtEtt數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望0000sincos cossin sincos cossin EtEtt Et E22001cos cos( )cos02E

36、fddsin 0E同理( )0 xm t隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性38方差方差22222( )( )( )( )( )xxxxttm ttE x t 200011sin ()1 cos(22 )1 cos(22 )22EtEtEt0011cos(2)cos2 sin2sin2 2EtEt0011cos2cos2 sin 2sin 2 2t Et Esin2 cos2 0EE21( )2xt隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性3912120 10 20 10 20 20 10 20 1012( , )( )( )sin()sin(

37、)1cos(2 )cos()211cos()cos()22XRt tE X t X tEttEtttttttt自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性40( )X tVt例例 設(shè)隨機(jī)過(guò)程設(shè)隨機(jī)過(guò)程 ，其中，其中V V是在（是在（0 0，1 1）是均）是均 勻分布的隨機(jī)變量，求過(guò)程勻分布的隨機(jī)變量，求過(guò)程X X（t t）的均值和自相）的均值和自相 關(guān)函數(shù)。關(guān)函數(shù)。隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性41 ( )( )( )XE g xg x fx dx10( )( )( )2XVtE X xxfx dxvtfv dvvtdv

38、1212121 21 201( , )( )3VR t tvt vt fv dvv t t dvt t解解 由于由于X和和V之間有確定的函數(shù)關(guān)系之間有確定的函數(shù)關(guān)系x=vt，使用求隨機(jī)變，使用求隨機(jī)變 量函數(shù)的期望值運(yùn)算的規(guī)則：量函數(shù)的期望值運(yùn)算的規(guī)則：有有相關(guān)函數(shù)：相關(guān)函數(shù)：隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性42例例 設(shè)隨機(jī)振幅信號(hào)為設(shè)隨機(jī)振幅信號(hào)為 其中其中 為常數(shù)，為常數(shù)，V是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量。是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量。 求該隨機(jī)信號(hào)的均值、方差、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方求該隨機(jī)信號(hào)的均值、方差、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方 差函數(shù)。差函數(shù)。tVtX0sin)(0隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析教學(xué)教學(xué)組組隨機(jī)過(guò)程的基本概念以統(tǒng)計(jì)特性4300( )( ) sinsin 0XmtE X tE VttE V解解tVtDtXDtX02022sin)(sin)()(212120 10 20 10 2( , )( )( )sinsinsinsinXRt tE X t X ttt E Vtt2010221121sinsin)()()()(),(tttmtXtmtXEttKXXX