保險精算 第1章 利息理論基礎(chǔ)ppt課件

1、Actuarial Actuarial ScienceScience1保險精算保險精算Actuarial ScienceActuarial ScienceActuarial Actuarial ScienceScience2保險精算保險精算3利息 所謂利息Interest），是指在一定時期內(nèi)借款人向貸款人支付的使用資金的報酬。 利息的實質(zhì)是資金的使用者付給資金所有者的租金，用以補(bǔ)償所有者在資金租借期內(nèi)不能支配該筆資金而蒙受的損失。 利息 影響利息大小的要素： 本金：業(yè)務(wù)開始時投資的金額 時期長度：從投資日開始到收回的時間跨度 度量期、期：年 業(yè)務(wù)開始一定時間后回收的總金額稱為該時刻的積累值A(chǔ)c

2、cumulated value，或終值）。 為了在一定時間后得到某個積累值，而在開始時投入的本金金額稱為該積累值的現(xiàn)值Present Value）4利息t期積累函數(shù)因子）總量函數(shù)t期折現(xiàn)函數(shù)因子） 折現(xiàn)因子 ,記為 第n期利息)(ta)(tA)(1ta0t1- - - 1)(1ta)(ta)(tA( )(1)nIA nA nnIk) 1 (1avActuarial Actuarial ScienceScience6保險精算保險精算7實際利率與實際貼現(xiàn)率 某一度量期的實際利率Effective annual rate是指該度量期內(nèi)得到的利息金額與此度量期開始時投入的本金金額之比。通常用字母 表示

3、。 一個度量期的實際貼現(xiàn)率為該度量期內(nèi)取得到的利息金額與期末投資可回收金額之比。通常用字母 表示。 實際利率與實際貼現(xiàn)率的定義十分類似，都是用來度量利息的。id8實際利率與實際貼現(xiàn)率 某人以1本金開始一項業(yè)務(wù)，實際利率為 ，則在一度量期末可收回金額 ，而利息貼現(xiàn)金額為 ，若這筆業(yè)務(wù)的實際貼現(xiàn)率為 ，那么ii1idididddi1iid )1 (iid1iv11ivd1vd9實際利率與實際貼現(xiàn)率 用 表示從投資日算起的第 個度量期的實際利率，那么： 用 表示從投資日算起的第 個度量期的實際貼現(xiàn)率，那么：nind) 1() 1()(nAnAnAinn其中， 為大于等于1的整數(shù))() 1()(nAn

4、AnAdnnnn其中， 為大于等于1的整數(shù)應(yīng)用實例 例 某人存1000元進(jìn)入銀行，第1年末存款余額為1020元，第2年存款余額為1050元，求 、 、 、 分別等于多少？1i2d2i1d解1000)0(A1020) 1 (A1050)2(A1(1)(0)20IAA2(2)(1)50IAA那么%2100020)0(11AIi%941. 2102030) 1 (22AIi%961. 1102020) 1 (11AId%857. 2105030)2(22AId10Actuarial Actuarial ScienceScience11保險精算保險精算12單利與復(fù)利 考慮投資一單位本金。 如果其在 時

5、的積累值為 則該筆投資以每期單利計算，并將這樣產(chǎn)生的利息稱為單利Simple interest）。 如果其在 時的積累值為 則該筆投資以每期復(fù)利計算，并將這樣產(chǎn)生的利息稱為復(fù)利Compound interest）。ttita1)(ttita)1 ()(13單利與復(fù)利 單利計息時，第 期的實際利率為：) 1(11ni) 1() 1()(nananainn) 1(1)1(1 )1 (niniinnin 結(jié)論： 關(guān)于 單調(diào)遞減，即常數(shù)的單利意味著遞減的實際利率。14單利與復(fù)利 復(fù)利計息時，第 期的實際利率為：iiiinn11)1 ()1 () 1() 1()(nananainn11)1 ()1 ()

6、1 (nnniiinin 結(jié)論： 關(guān)于 為常數(shù)，即常數(shù)的復(fù)利意味著恒定的實際利率。單利與復(fù)利 對單利來講，利息并不作為投資資金而再賺取利息；對復(fù)利來講，在任何時候，本金和到該時為止得到的利息，總是用來投資以賺取更多的利息。 時，相同單復(fù)利場合，單利計息比復(fù)利計息產(chǎn)生更大的積累值，即 。所以短期業(yè)務(wù)一般單利計息。 時，相同單復(fù)利場合，復(fù)利計息比單利計息產(chǎn)生更大的積累值，即 。所以長期業(yè)務(wù)一般復(fù)利計息。1t1ttiti)1 (1titi)1 (115應(yīng)用實例 例 某銀行以單利計息，年息為2%，某人存入5000元，問5(0.5)年后的積累值是多少？若以復(fù)利計算，其他條件不變，問5(0.5)年后的積累

7、值是多少？解55001 . 15000%)251 (5000)5(5000)5(aA4 .5520%)21 (5000)5(5000)5(5aA元元單利復(fù)利16(0.5)5000(0.5)5000(10.52%)5000 1.015050Aa0.5(0.5)5000(0.5)5000 (12%)5024.9Aa元元Actuarial Actuarial ScienceScience17保險精算保險精算18名義利率與名義貼現(xiàn)率 “實際一詞的主要含義在于，利息為每個度量期支付一次，或在期初，或在期末，視具體情況而定。然而，實際上有很多在一個度量期中利息支付不止一次或在多個度量期利息才支付一次的情形

8、。這時，我們稱相應(yīng)的一個度量期的利率和貼現(xiàn)率為“名義的。19名義利率與名義貼現(xiàn)率 用 符號記每一度量期支付 次利息的名義利率。 所謂名義利率Nominal interest是指每 個度量期支付利息一次，而在每個度量的實際利率為 。 即每一個度量期 的名義利率等價于每 度量期 的實際利率。)(mimmim/)(m/ 1)(mim/ 1mim/)(mmmii)1 (1)(20名義利率與名義貼現(xiàn)率時間點時間點01/m2/m(m-1)/mm/m=1利息利息余額余額11)(mim2)()()1 (mmmmimimim)(11)()1 (mmmi)1 ()()(mimimm2)()1 (mimimimm1

9、)1 ()(1)()()1 (mmmmimiimimm1)1 ()( 1)1(1)(mmimi1)1 ()(mmmii21名義利率與名義貼現(xiàn)率 用 符號記每一度量期支付 次利息的名義貼現(xiàn)率。 所謂名義貼現(xiàn)率是指每 個度量期支付利息一次，而在每個度量的實際利率為 。 即每一個度量期 的名義利率等價于每 度量期 的實際利率。)(mdmmdm/)(m/ 1)(mdm/ 1mdm/)(mmmdd)1 (1)(22名義利率與名義貼現(xiàn)率時間點時間點01/m(m-2)/m(m-1)/mm/m=1貼現(xiàn)貼現(xiàn)余額余額11)(mdmmdm)(11)()1 (mmmd()(1)1mmddm ()(1)1mmddm )

10、1 ()1 (1 11)(mmmvmdmdmmmdd)1 (1)()1 ()()(mdmdmm2)()1 (mdm2)()()1 (mmmmdmd1)()()1 (mmmmdmd23名義利率與名義貼現(xiàn)率()(1)1mmddm ()(1)1mmiim 11 i()()1(1)(1)mmmmidimm ()()1(1)(1)mmidmm應(yīng)用實例 例 (1)求與實際利率8%等價的每年計息2次的年名義利率以及每年計息4次的年名義貼現(xiàn)率。（2已知每年計息12次的年名義貼現(xiàn)率為8%，求等價的實際利率。解(2)2(1)11 8%2ii (4)4(1)11 8%4di （1）24(2)1/2(1 8%)1 2

11、7.85%i(4)1/44 1 (1 8%)7.623%d（2）(12)12128%1(1)(1)44di 1.08368.36%i 應(yīng)用實例 例 求1萬元按每年計息4次的年名義利率6%投資3年的積累值。解3(3)10000 (3)10000 (1)Aai11956.225(4)3 410000 (1)4i3 46%10000 (1)41210000 (1.015)元26利息力 在很多情況下，需要度量在每一個時間點上的利息，也就是在無窮小時間區(qū)間上的利息。這種對利息在各個時間點上的度量稱為利息力或利息強(qiáng)度）。 假設(shè)在 時刻的資金總量由總量函數(shù) 給出，這筆資金完全由于利息而變化，即本金既不增加也

12、不撤回。 定義 式中， 為該投資額在 時的利息強(qiáng)度。 tt( )( )( )( )tA ta tA ta tt()At27利息力 復(fù)利計息時 (1) (1)ttii1lnlnvv ( )( )( )( )tA ta tA ta t(1) ln(1)(1)ttiiiln(1) iveActuarial Actuarial ScienceScience28保險精算保險精算29年金Actuarial Actuarial ScienceScience30保險精算保險精算31期末付年金 在每個付款期間末付款的年金為期末付年金。 假設(shè)一筆年金，付款期限為 期，每期期末付款額為1，每期利率為 ，各期付款如下

13、ni0 1 2 3 2n1nn 1 1 1 1 1 1 時時 間間付付 款款 額額期末付年金0 1 2 3 2n1nn 1 1 1 1 1 1 時時 間間付付 款款 額額1nvviv 11nvvv 1nvi21.nnvvvv0 1 2 3 2n1nn1時時 間間每年所得每年所得iiiiii32na1nniav期末付年金0 1 2 3 2n1nn 1 1 1 1 1 1 時時 間間付付 款款 額額1 (1)11 (1)nii 211 (1).(1)(1)nniii (1)1nii(1)1nniis 12(1)(1).(1) 1nniii33ns0 1 2 3 2n1nn1時時 間間每年所得每年所

14、得iiiiii期末付年金na21.nnvvvvns12(1)(1).(1) 1nniii121(1)(1).(1)(1)nniiii(1)ni等式兩側(cè)同時乘以等式兩側(cè)同時乘以12(1)(1).(1) 1nniii(1)nnia34期末付年金(1)nnnsia 經(jīng)濟(jì)含義：各期期末投資本金為1的年金積累制有兩種算法。 一種是各期期末投資本金為1，直接積累到期期末，求和即為 （公式左邊）； 一種是先求出各期期末投資本金為1的年金現(xiàn)值，即 ，作為時刻0的一次性投資，以復(fù)利 計算，求出 期期末的積累值，即 。 兩種計算結(jié)果相同。nsnna(1)nnaiin35應(yīng)用實例 例 計算年利率為6%的條件下，每年

15、年末投資1000元，投資10年的現(xiàn)值及積累值。解1010 0.0611()16%1000100010007.360097360.096%a1010 0.06(16%)1100010001000 13.1808013180.806%s元元年金現(xiàn)值年金積累值36應(yīng)用實例 例 某銀行客戶想通過零存整取方式在1年后得到10000元，在月復(fù)利為0.5%的情況下，問每月末需存入多少錢才能達(dá)到其目的。解12 0.00510000D s 1212 0.005(10.5%)110000/10000/ ()0.5%Ds元設(shè)每月需存入D元，有那么：3710000/12.3356810.66Actuarial Act

16、uarial ScienceScience38保險精算保險精算39期初付年金 在每個付款期間開始時付款的年金為期初付年金。 假設(shè)一筆年金，付款期限為 期，每期期初付款額為1，每期利率為 ，各期付款如下ni0 1 2 3 2n1nn 1 1 1 1 1 1 時時 間間付付 款款 額額期初付年金na 1nviv11nvv1nvd1nndav211.nvvv 0 1 2 3 2n1nn1時時 間間每年所得每年所得dddddd400 1 2 3 2n1nn 1 1 1 1 1 1 時時 間間付付 款款 額額期初付年金0 1 2 3 2n1nn1 1 1 1 1 1時時 間間付付 款款 額額1 (1)(

17、1)1 (1)niii21(1)(1).(1)(1)nniiii(1)1nid(1)1nnids 12(1)(1).(1)(1)nniiii410 1 2 3 2n1nn1時時 間間每年所得每年所得ddddddns 期初付年金na 211.nvvv ns 12(1)(1).(1)(1)nniiii1211(1)(1).(1)niii (1)ni等式兩側(cè)同時乘以等式兩側(cè)同時乘以12(1)(1).(1)(1)nniiii(1)nnia42期初付年金43na 211.nvvv na21.nnvvvvnnava (1)nnaaina 211.nvvv 11na 期初付年金44ns 12(1)(1).(

18、1)(1)nniiiins12(1)(1).(1) 1nniiinnsvs (1)nnssins 12(1)(1).(1)(1)nniiii12(1)(1).(1)(1) 1 1nniiii 11ns應(yīng)用實例 例 某銀行客戶想通過零存整取方式在1年后得到10000元，在月復(fù)利為0.5%的情況下，問每月初需存入多少錢才能達(dá)到其目的。解12 0.00510000D s 1212 0.005(10.5%)110000 /10000 /0.5% / (10.5%)Ds元元設(shè)每月需存入D元，有那么：4510000/12.3972806.63Actuarial Actuarial ScienceScience46保險精算保險精算47連續(xù)年金 付款頻率無限大即連續(xù)付款的年金稱為連續(xù)年金。 連續(xù)付款 個計息期，每個計息期的付款額之和為1。 n0 1 2 3 2n1nn1 1 1 1 1 時時 間間付付 款款 額額連續(xù)年金480 1 2 3 2n1nn1 1 1 1 1 時時 間間付付 款款 額額na0lntnvv1lnnvv1nv年金現(xiàn)值1ne0ntv dt 式中， 為時刻 到時刻0的折現(xiàn)因子； 為時刻 的付款額