分組分解法因式分解(5課時(shí))

1、.分組分解法（第一教時(shí)）（一）復(fù)習(xí)把下列多項(xiàng)式因式分解(1)2x 2+10x(2)a(m+n)+b(m+n)(3)2a(x-5y)+4b(5y-x)(4)(x+y)2-2(x+y)（二）新課講解1引入提問：如何將多項(xiàng)式am+an+bm+bn因式分解？分析：很顯然，多項(xiàng)式 am+an+bm+bn中既沒有公因式，也不好用公式法。怎么辦呢？由于 am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n), 而 a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b). 這樣就有：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)利用分組來分解因式的方法叫做分組分

2、解法 。說明：如果把一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組并提出公因式后，它們的另一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以用分組分解法來分解因式。練習(xí)：把下列各式分解因式(1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q)(3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n)2應(yīng)用舉例例 1把 a2-ab+ac-bc 分解因式分析 : 把這個(gè)多項(xiàng)式的四個(gè)項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，分別提出公因式a 與 c 后，另一個(gè)因式正好都是a-b ，這樣就可以繼續(xù)提公因式。解： a2-ab+ac-bc= （ a2-ab ） +（ ac-bc ） =a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)例 2：把 2ax-

3、10ay+5by-bx分解因式分析：把這個(gè)多項(xiàng)式的四個(gè)項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按x 的降冪排列， 然后從兩組中分別提出公因式2a 與 -b ，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是x-5y ，這樣就可繼續(xù)提公因式。解： 2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay ） +（ 5by-bx ）=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)提問：這兩個(gè)例題還有沒有其他分組解法？請你試一試。如果能， 請你看一下結(jié)果是否相同？練習(xí)：把下列各式分解因式(1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx(4)xy-y2-yz+xz(5)2x 3+x

4、2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n(9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb 2四、課外作業(yè)把下列各式分解因式1 a(m n) b(m n) xy(a b) x(a b)3 n(x y) x y a bq(a b)5 p(m n) mn 2a 4b m(a 2b)7 a2acab bc 3a 6bax 2bx9 2x3x2 6x 32ax 6bx 7ay21by xy x y 1 ax2 bx2 ay2 by2x3 2x2y 4xy 28y33m 3y ma ay

5、4x3 4x2y 9xy 29y3x3y3x2 2x2y2 6xy;.分組分解法（第二教時(shí)）（一）復(fù)習(xí)1提問：什么是分組分解法？分組時(shí)有什么要求？2用分組分解法因式分解：(1)ax+ay+bx+by (2)mx-my+nx-ny(3)ab+ac-b2-bc(4)2x-4y-xy+2y2(5)5am-a+b-5bm(6)x3-x 2-4x+4（二）新課講解1例題分析例 3：把 3ax+4by+4ay+3bx 分解因式分析：如果象上節(jié)課一樣，分別把前后兩項(xiàng)分別分成兩組，則無法繼續(xù)分解，但把一、三兩項(xiàng)和二、四兩項(xiàng)分別分成兩組，是可以分解下去的。解： 3ax+4by+4ay+3bx=3ax+4ay+3

6、bx+4by加法交換律=(3ax+4ay)+(3bx+4by)分組=a(3x+4y)+b(3x+4y)提公因式=(3x+4y)(a+b)再提公因式練習(xí) : 用分組分解法因式分解：(1)ac+2b+2a+bc(2)ad-bc+ab-cd(3)5ax+6by+5ay+6bx(4)ab-4xy+4ay-bx2例 4：把 m+5n-mn-5m 分解因式分析：如果把前后兩項(xiàng)分別分成兩組，雖然后兩項(xiàng)有公因式，但前后兩組之間卻沒有公因式，不好繼續(xù)分解。如果把一、四兩項(xiàng)和二、三兩項(xiàng)分成兩組，就可以繼續(xù)分解了。222解： m+5n-mn-5m=m-5m+5n-mn=(m -5m)+(5n-mn)=m(m-5)-

7、n(m-5)=(m-5)(m-n)練習(xí)：把下列各式分解因式(1)x2+y-xy-x(2)5ax2-b 2-b 2x+5ax(3)x2+yz-xy-xz(4)4x2+3z-3xz-4x(5)5am+b-a-5bm(6)x2-yz+xy-xz四、課外作業(yè)把下列各式分解因式1 mn m n12 3mx 4ny 4my 3nx3 m3 m2 m 14 m3 m2 m 15 a2 2bab 2a6 axby aybx7 xy z yxz8 a2 x by ay abx32 mx m2239 mx mx10a b a c a abc;.分組分解法（第三教時(shí)）（一）復(fù)習(xí)1什么是分組分解法？2把下列各式分解因

8、式(1)ac-ad+bc-bd(2)ay22-ax+bx-by(3)5ax+6by+10ay+3bx(4)5x2+7a-7ax-5x3. 填空 (1)a 2-b 2=_ (2)a2+2ab+b2=_ (3)a2-2ab+b 2 =_（二）新課講解1例題與練習(xí)例 5：把 x2-y 2 +ax+ay 分解因式分析：顯然無論如何分組都無法用前面的知識(shí)來分解，是不是無法分解呢？不是。由于第一、二兩項(xiàng)滿足平方差公式x2-y 2=(x+y)(x-y),而三、四兩項(xiàng)有公因式a, 而 ax+ay=a(x+y).這時(shí)可以看出 (x+y)(x-y) 與 a(x+y) 有公因式 (x+y) 。解： x2-y 2+a

9、x+ay=(x 2-y2)+(ax+ay ） =(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)+(x-y)+a=(x+y)(x-y+a)練習(xí)：把下列各式分解因式(1)4a 2-b 2+6a-3b(2)9m2-6m+2n-n 2(3)x 2y2-4+xy 2-2y(4)a2b2-c 2+abd+cd例 6：把 a2-2ab+b 2-c 2 分解因式分析：用剛才的方法不能見效。我們發(fā)現(xiàn)a2-2ab+b 2 是完全平方式 (a-b)2, 此時(shí)，原式就變?yōu)?a-b) 2- c 2，再用平方差公式。解： a2-2ab+b 2-c 2=( a 2-2ab+b 2)- c2分組22運(yùn)用完全平方公式=( a-

10、b) - c=(a-b)+c(a-b)-c運(yùn)用平方差公式=(a-b+c)(a-b-c)練習(xí)：把下列各式分解因式(1)4a 2+4ab+b2-1(2)c2-a 2-2ab-b 2(3)x2-4y 2+12yz-9z 2(4)a 2b2-c 2+2ab+1四、課外作業(yè)把下列各式分解因式4x2 y2 4x 2y b2 a2 axbxm2n m2 4n2 p3q 9q2 p2s2 t2 3s 3t x2 2x 2y y24a2b2 2a b 9a2 6a 2b b2x22x 1 y2 m2 2mn n2 p24x2 4xy y2 16z2 a2b2 2bc c2x24y2 4y1 x2 y2 z2 2

11、yz;.分組分解法（第四教時(shí)）（一）復(fù)習(xí)把下列各式分解因式(1)a 2-2a+2b-b 2(2)4m2-9n 2+3n-2m(3)m2-2mn+n2-4c 2 (4)a2-b 2+2bc- c 2提問：什么樣的多項(xiàng)式可以用分組后運(yùn)用公式法？（二）新課講解1例題與練習(xí)例 7 把下列各式分解因式(1)(x 2-4y 2)+(4y-1)(2)(x2+y 2-z 2) 2-4x 2y2分析：在第（1）題分好的兩組中，雖然第一組可用平方差公式，但與第二組卻無公因式，因此無法分解。如果將括號(hào)去掉，再重新分組，得 x2- （ 4y2-4y+1) , 此題可用分組后直接用公式法分解因式。在第（ 2）題中，先用

12、平方差公式分解，再用分組分解法。注意：必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式不能再分解為止。解： (1)(x222222-4y)+(4y-1)= x-4y+4y-1= x- （ 4y -4y+1)= x2 (2y-1)2=x+(2y-1)x-(2y-1)=(x+2y-1)(x-2y+1)(2) (x2+y2-z 2) 2-4x 2y2=(x 2+y2-z 2) 2-(2xy)2=(x2+y 2-z 2)+2xy(x2+y2-z 2)-2xy=(x2+y2-z 2+2xy)(x2+y2-z 2-2xy)=(x2+y 2 +2xy)-z2(x2+y2-2xy)-z 2=(x+y)2222-z (x-y)-z

13、=(x+y)+z(x+y)-z(x-y)+z(x-y)-z=(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)練習(xí)：把下列各式分解因式(1) (2ab-a2)+(c 2-b 2)(2) (ax+by)2+(bx-ay) 2(3) 4a 2b2-(a 2+b2-c 2) 2例 8：把下列多項(xiàng)式分解因式(1) x3+x 2y-xy 2-y 3 (2)a3-ab 2+4abc-4ac 2解： (1)x 3+x2y-xy 2-y 3=(x 3+x2y)-(xy 2+y 3)分組=x2(x+y)-y2(x+y)分別提公因式=(x+y)(x22)提公因式-y=(x+y)(x+y)(x-y)運(yùn)用平方差

14、公式=(x+y)2(x-y)相同因式寫成冪的形式提問：還有其他解法嗎？(2) a3-ab 2+4abc-4ac 2=a(a 2-b 2+4bc-4c 2)先提公因式=aa2-(b 2-4bc+4c 2)分組=aa2-(b-2c) 2運(yùn)用完全平方公式=aa+(b-2c)a-(b-2c)運(yùn)用平方差公式=a(a+b-2c)(a-b+2c)整理;.練習(xí)：把下列各式分解因式(1)a 2b2+x2 y2-a 2x2-b 2y2(2)x3-x 2y-xy 2+y3(3)x 2y-y 3-2xyz+yz 2(4)a3+a2-a-13作業(yè)：把下列各式分解因式(1)x 3y3-x 2y2-xy+1(2)(2xy-

15、a2)+(x 2+y 2) (3)(x2-y 2+z2) 2-4x 2z2四、課外作業(yè)把下列各式分解因式 3ax 5ay 6bx 10by 4 x2 2xy y2 a2b2 a2 2abb210（ m2 4n2 ）（ 4n1）a2b24a 4bm2 4mn4n2 42222322ax aya x a ya 2a b ab a x3 x2y xy2 y39.（ax by）2 （ bx ay）211（ a2 m2 n2） 2 4m2n2分組分解法（第五教時(shí)）（一）復(fù)習(xí)1. 什么是分組分解法？怎樣才是正確的分組？2. 把下列多項(xiàng)式分解因式22222(1)x+2x+nx+2n(2)x-y +2yz-z

16、(3)x+px+qx+pq1. 引入2（ 1）把 x +(p+q)x+pq分解因式分析此式不好直接用已學(xué)的知識(shí)來分解因式，可以把式子展開為x2+px+qx+pq。這時(shí)，可以用分組分解法。x2+(p+q)x+pq=x 2+px+qx+pq=(x 2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)另外：我們知道(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2 +(p+q)x+pq, 于是有x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)（ 2）特點(diǎn)式子 x2+(p+q)x+pq 的特點(diǎn)為：（ 1）二次項(xiàng)的系數(shù)是 1。（ 2）常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積。（ 3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的

17、兩個(gè)因數(shù)之和。說明：根據(jù)上面的結(jié)果，可以直接將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1 的二次三項(xiàng)式分解因式。2. 應(yīng)用舉例例：把下列各式分解因式(1)x 2+3x+2(2)x2-7x+6(3)x2+x-2(4)x2-2x-15分析 （:1）x2+3x+2 的二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng) 2=1×2，一次項(xiàng)系數(shù)3=1+2。這是一個(gè) x2+(p+q)x+pq型式子。;.（ 2） x2-7x+6 的二次項(xiàng)系數(shù)是 1，常數(shù)項(xiàng) 6=(-1) × (-6) ，一次項(xiàng)系數(shù) -7=(-1)+(-6) 。這也是一個(gè) x2+(p+q)x+pq 型式子。（ 3） x2+x-2 的二次項(xiàng)系數(shù)是 1，常數(shù)項(xiàng) -2=(-1)

18、× 2，一次項(xiàng)系數(shù) 1=(-1)+2 。這也是一個(gè) x2+(p+q)x+pq 型式子。（ 4）x2-2x-15的二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng) -15=(-5)× 3，一次項(xiàng)系數(shù) -2=(-5)+3，這也是2型式子。一個(gè) x +(p+q)x+pq解： (1)因?yàn)?2=1×2，并且 3=1+2，所以x2+3x+2=(x+1)(x+2)(2)因?yàn)?6=(-1) × (-6) ，并且 -7=(-1)+(-6)，所以x2-7x+6=(x-1)(x-6)（ 3）因?yàn)?-2=(-1) ×2，并且 1=(-1)+2 ，所以x2+x-2=(x-1)(x+2)（ 4）因?yàn)?-15=(-5) × 3，并且 -2=(-5)+3 ，所以 x 2-2x-15=(x-5)(x+3)3. 歸納與小結(jié)(1) 常數(shù)項(xiàng)是正數(shù)時(shí)，它分解成兩個(gè)_號(hào)因數(shù)，它們和一次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)_。(2) 常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)時(shí)，它分解成兩個(gè) _號(hào)因數(shù)，其中絕對值較 _的因數(shù)的符號(hào)和一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同。思考題把 x4-5x 2+4 因式分解四、課外作業(yè)一、根據(jù)公式x2（ p q） x pq（ x p）（x q），填空：若 x2 ax 6 (x