利用“不動點”法巧解高考題精品資料

1、利用“不動點”法巧解高考題由遞推公式求其數(shù)列通項歷來是高考的重點和熱點題型，對那些已知遞推關(guān)系但又難求通項的數(shù)列綜合問題，充分運用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解決這類問題的著手點和關(guān)鍵與遞推關(guān)系對應(yīng)的函數(shù)的“不動點”決定著遞推數(shù)列的增減情況，因此我們可以利用對函數(shù)“不動點”問題的研究結(jié)果，來簡化對數(shù)列通項問題的探究。筆者在長期的教學(xué)實踐中，不斷總結(jié)探究反思，對那些難求通項的數(shù)列綜合問題，形成利用函數(shù)不動點知識探究的規(guī)律性總結(jié)，以期對同學(xué)們解題有所幫助1 不動點的定義一般的，設(shè) f (x) 的定義域為 D , 若存在 x0 D ，使 f ( x0 ) x0成立，則稱 x0 為f ( x) 的不動點，或稱 (

2、x0 , x0 ) 為 f ( x) 圖像的不動點。2 求線性遞推數(shù)列的通項定理 1 設(shè) f ( x)ax b( a 01)， ，且 x0 為 f ( x) 的不動點， an 滿足遞推關(guān)系anf ( an 1 ) ， n2,3,，證明 anx0 是公比為 a 的等比數(shù)列。證： x0是 f ( x) 的不動點，所以 ax0 bx0 ，所 以 bx0ax0 ， 所以anx0 (a·an1 b)x0 a· an 1ax0 a(an 1x0 ) ，數(shù)列 anx0 是公比為a 的等比數(shù)列。例 1（ 2010 上海文數(shù) 21 題）已知數(shù)列 an的前 n 項和為 Sn ，且 Sn n5a

3、 n85 ，n N *(1) 證明： an 1是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列 Sn的通項公式，并求出使得Sn 1Sn 成立的最小正整數(shù) n .； 當(dāng) n2時 ， 即證：(1)當(dāng) n1 時 ， a114n n 15an 5an 1 1an S S6an5an 11(n2 即) an5 an 11 (n 2) ，記 f ( x)5 x1 ，令 f (x)x ，求出6666不動點 x01 ，由定理 1 知： an 15 (an 11)(n 2) ，又 a11 15 0，所以數(shù)列6 an 1 是等比數(shù)列。 (2) 解略。3 求非線性遞推數(shù)列的通項定理 2設(shè) f ( x)axb (c 0，ad bc0) ，

4、且 x1 、 x2 是 f ( x) 的不動點，數(shù)列cxd an 滿足遞推關(guān)系 anfa1 )， n2,3,，（）若x1x2，則數(shù)列 anx1是公( nanx2比為 ax1 c 的等比數(shù)列；（） x1x2x0 ，則數(shù)列 an1 是公差為2c的等差ax2 cx0ad數(shù)列。證：（）由題設(shè)知 ax1bx1bdx1x1dx1b(acx1) x1 ；cx1dacx1同理 dx2b(a cx2 )x2.aanbx1an 1x1cand(a cx1 )anb dx1a cx 1a nx1，an 1x2aanb(a cx2 )anb dx2a cx 2a nx 2x2cand所以數(shù)列 anx1 是公比為 ac

5、x1 的等比數(shù)列。anx2acx 2（）由題設(shè)知axb x 的解為 x1x2x0 ， x0ad且bdx0 x0 。cxd2cacx0所以11candcandcandan 1x0aanbx0(a cx0 )anb dx0( a cx0 )(anbdx0 )( a cx0 )(anx0 )candacx0cancx0 dcx0cdcx01cdc ad12c(a cx0 )(anx0 )a cx0a cx0 anx0a cx0aa d anx0c2ccan11x02c，所以數(shù)列 1 是公差為2c的等差數(shù)列。a cx0x0ana danx0a d例2 （ 2006年全國卷 22題 ） 設(shè) 數(shù)列 an的

6、前 n 項 和 為 Sn，且方程x 2anxan0 有一根為 Sn1 (n N * ) 。求數(shù)列 an的通項公式。解：依題a11 ，且 (Sn1) 2an( Sn1)an0 ，將 anSnSn 1 代入上式，得2Sn1，記 fx1，令 f ( x)x ，求出不動點 x01 ，由定理 2（）知：2Sn 12x12Sn11，所以數(shù)列1是公差為1 的等差數(shù)列，所以Sn 1 1 Sn 1Sn 1Sn1Snn，因此數(shù)列an 的通項公式為 ann1。n11例 3（2010 年全國卷 22 題）已知數(shù)列 a中， a11,an 1c1 .nan（）設(shè) c5,bn1，求數(shù)列 bn 的通項公式 .（）求使不等式

7、anan132an2成立的 c 的取值范圍 .解：（）依題 an 1515an2 ，記 f ( x)5x2 ，令 f (x)x ，求出不動點2an2an2x111an1x1；由定理 2（）知：2，2, x2 2an 12an22anan 12111an2；2an2an兩式相除得到an 12 1 an 2，所以an2是以1為公比，a122為首141141an 1anana12222an2n 1324n 1項的等比數(shù)列，所以，21, an2, 從而 bn1424n133.（）an2解略。定理 3設(shè) f ( x)ax2b (a0) ，且 x1、 x2是 f ( x) 的不動點，數(shù)列 an 滿足2ax

8、d遞推關(guān)系 afan1)， n2,3,，則有 an1x1anx1)2 ；若 a1x10，則n(an 1x2(x 2a1x2anln anx1是公比為2的等比數(shù)列。anx2證 ： x1 、x2是 f ( x)的 不 動 點 ， dx1b ax12 ， dx2b ax22 。an 1x1a an2b(2a and) x1a an2b2a an x1ax12ban 1x2a an2b(2a and ) x2a an2b2a an x2ax22ba(an22anx1x12 )anx12，又a1x10，則anx10，a(an22anx2x22 )(x2)a1x2anx2an lnan 1x12lnanx

9、1，故lnanx1是公比為2的等比數(shù)列。an 1x2anx2anx2例 4 （2010 東城區(qū)二模試題）已知數(shù)列 xn 滿足 x14 ，xn 1xn232xn求證：xn 3 ；4求證： xn1xn ；求數(shù)列 xn 的通項公式證： 、證略；依題 xn1xn23，記 f (x)x23，令 f (x)x ，求出不2xn42x4動 點x11,x23；由定理3知 ：xn 11xn231( xn1)22xn42xn，4xn233( xn3)2xn 1 342xn，2xn4所以 xn 11xn12x11 41xn1xn1 ，又3，所以 log 312log 3xn 13xn3x13 4 3xn 13xn3又 log 3x111，令 aoglxn1 ，則數(shù)列 a是首項為 1 ，公比為 2 的等比數(shù)列所x13n3xn3n以 ann 1log 3xn1xn13an所以 xn3an 1132n 1 112由 anxn，得xn33an12 n 1331利用函數(shù)“不動點”法求解較復(fù)雜的遞推數(shù)列的通項問題，并不局限于以上三種類型，基于高考數(shù)列試題的難度，本文不再對更為復(fù)雜的遞推數(shù)列進行論述，以下兩個定理供有興趣的同學(xué)探究證明。定理 4 設(shè) f ( x)ax 2bxb22b (a0), 且 x0是 f ( x) 的最小不動點，數(shù)列4a an 滿足遞推關(guān)系