上海交大數(shù)值分析數(shù)值分析課件

1、主講教師：經(jīng)玲主講教師：經(jīng)玲 教授教授教教 材材參考書目參考書目預(yù)備知識預(yù)備知識成成 績績在科學(xué)計算中常要遇到求解各種方程，在科學(xué)計算中常要遇到求解各種方程，例如：例如：高次代數(shù)方程高次代數(shù)方程 x53x7003cosxex超越方程超越方程 高次線性方程和超越方程看似簡高次線性方程和超越方程看似簡單，但難于求其精確解。對于高次單，但難于求其精確解。對于高次代數(shù)方程，由代數(shù)基本定理知多項代數(shù)方程，由代數(shù)基本定理知多項式根的數(shù)目和方程的階相同，但對式根的數(shù)目和方程的階相同，但對超越方程就復(fù)雜的多，如果有解，超越方程就復(fù)雜的多，如果有解，其解可能是一個或幾個，也可能是其解可能是一個或幾個，也可能是無

2、窮多個。無窮多個。線性方程組的一般形式線性方程組的一般形式 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.22112222212111212111(1)當(dāng)當(dāng)b0時稱為非齊次線性方程組，時稱為非齊次線性方程組，其可能有唯一解、無解或者無窮多個其可能有唯一解、無解或者無窮多個解。當(dāng)解。當(dāng)b=0時稱為線性齊次方程組，時稱為線性齊次方程組，必有零解。必有零解。 (2)由由線性代數(shù)知識線性代數(shù)知識可知：可知：當(dāng)系數(shù)矩當(dāng)系數(shù)矩陣陣A非奇異非奇異(即即detA0)時，方程組有時，方程組有唯一解，可用克萊默法則求解，但它唯一解，可用克萊默法則求解，但它只適合于只適合于n很小的情況，而完全不適

3、很小的情況，而完全不適合于高次方程組。合于高次方程組。克萊默法則克萊默法則DDxDDxDDxnn ,2211其中其中nnnnaaaaD1111 nnnnababD111 例如例如 用克萊默法則求解一個用克萊默法則求解一個n階方階方程組，要算程組，要算n+1個個n階行列式的值，階行列式的值，總共需要總共需要 n!(n-1)(n+1)次乘法。次乘法。當(dāng)當(dāng)n充分大時，計算量是相當(dāng)驚人的。充分大時，計算量是相當(dāng)驚人的。比如一個比如一個20階不算太大的方程組，階不算太大的方程組，大約要做大約要做1021次乘法，這項計算即次乘法，這項計算即使每秒使每秒1萬億次浮點(diǎn)數(shù)乘法計算的計萬億次浮點(diǎn)數(shù)乘法計算的計算機(jī)

4、去做，也要連續(xù)工作算機(jī)去做，也要連續(xù)工作2000萬億萬億年年才能完成。當(dāng)然這是完全沒有實才能完成。當(dāng)然這是完全沒有實際意義的，故際意義的，故需要尋找有效算法需要尋找有效算法)()()(aFbFdxxfba 對于積分對于積分 badxxfI)(由由微積分知識微積分知識可知：只要找到被積函可知：只要找到被積函數(shù)數(shù)f(x)f(x)的原函數(shù)的原函數(shù)F(x)F(x)，便有下列牛頓，便有下列牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式為何要進(jìn)行數(shù)值積分？為何要進(jìn)行數(shù)值積分？原因之一：原因之一：許多形式上很簡單的函數(shù)，許多形式上很簡單的函數(shù)，例如例如等等babadxxxdxxsin,sin2已證明它們的原函數(shù)不能用初等函數(shù)

5、表已證明它們的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示成有限形式。示成有限形式。原因之二：原因之二：有些被積函數(shù)的原函數(shù)過有些被積函數(shù)的原函數(shù)過于復(fù)雜，例如于復(fù)雜，例如32)(22 xxxf的一個原函數(shù)是的一個原函數(shù)是)322ln(216916323432)(2223 xxxxxxxF要計算要計算f(x)定積分的近似值，上式就定積分的近似值，上式就不見得方便。不見得方便。原因之三：原因之三：f (x)以離散數(shù)據(jù)點(diǎn)形式給以離散數(shù)據(jù)點(diǎn)形式給出出一階常微分方程的初值問題，即一階常微分方程的初值問題，即 00)(),(yxyyxfy例例0)0(2yxy0)0(21yxyy思考：思考：常微分方程中的未知什么？常微分方程

6、中的未知什么？常微分方程的一般解常微分方程的一般解(解析解解析解) 對一些典型的微分方程對一些典型的微分方程(可分離變可分離變量方程，一階線性方程等等量方程，一階線性方程等等)，有可，有可能找出它們的一般解表達(dá)式，然后能找出它們的一般解表達(dá)式，然后用初始條件確定表達(dá)式中的任意常用初始條件確定表達(dá)式中的任意常數(shù)，這樣解即能確定。數(shù)，這樣解即能確定。 例如例如 求解求解0)0(2yxy解：解：分離變量得分離變量得 dy=2xdx 積分得積分得y=x2+c 由初值得由初值得c=0 故解為故解為y=x2 但是對于但是對于求解求解無法求出一般解！無法求出一般解！ 0)0(2yxyy1.注意掌握各種方法的基本原理注意掌握各種方法的基本原理2.注意各種方法的構(gòu)造手法注意各種方法的構(gòu)造手法3.重視各種方法的誤差分析重視各種方法的誤差分析4.做一定量的習(xí)題做一定量的習(xí)題5.注意與實際問題相聯(lián)系注意與實際問題相聯(lián)系一、數(shù)值分析研究的對象一、數(shù)值分析研究的對象二、數(shù)值分析研究的