自動(dòng)控制原理西安交通

1、1會(huì)計(jì)學(xué)自動(dòng)控制原理西安交通自動(dòng)控制原理西安交通3.1 典型輸入作用和時(shí)域性能指標(biāo) 時(shí)域分析 典型輸入作用及其拉氏變換 瞬態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程 瞬態(tài)過程的性能指標(biāo) 穩(wěn)態(tài)過程的性能指標(biāo) 對(duì)一個(gè)控制系統(tǒng)的要求指控制系統(tǒng)在一定的輸入信號(hào)作用下，根據(jù)輸出量的時(shí)域表達(dá)式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 時(shí)域分析是一種在時(shí)間域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法，具有直觀和準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。由于系統(tǒng)的輸出量的時(shí)域表達(dá)式是時(shí)間的函數(shù)，所以系統(tǒng)的輸出量的時(shí)域表達(dá)式又稱為系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。 系統(tǒng)輸出量的時(shí)域表示可由微分方程得到，也可由傳遞函數(shù)得到。在初值為零時(shí)，可利用傳遞函數(shù)進(jìn)行研究，用傳遞函數(shù)間接的評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。 控制系

2、統(tǒng)的性能指標(biāo)，可以通過在輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程來評(píng)價(jià)。系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，還與外加輸入信號(hào)的形式有關(guān)。 時(shí)域分析這表明，在外作用加入系統(tǒng)之前系統(tǒng)是相對(duì)靜止的，被控制量及其各階導(dǎo)數(shù)相對(duì)于平衡工作點(diǎn)的增量為零。典型初始狀態(tài):規(guī)定控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)均為零狀態(tài)，即在 時(shí) 0t0)0()0()0(.yyy時(shí)域分析 在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，需要確定一個(gè)對(duì)各種控制系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較的基礎(chǔ)，這個(gè)基礎(chǔ)就是預(yù)先規(guī)定一些具有特殊形式的測(cè)試信號(hào)作為系統(tǒng)的輸入信號(hào)，然后比較各種系統(tǒng)對(duì)這些輸入信號(hào)的響應(yīng)。 選取測(cè)試信號(hào)時(shí)必須考慮的原則：選取的輸入信號(hào)的典型形式應(yīng)反映系統(tǒng)工作時(shí)的大部分

3、實(shí)際情況。選取外加輸入信號(hào)的形式應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單，易于在實(shí)驗(yàn)室獲得，以便于數(shù)學(xué)分析和實(shí)驗(yàn)研究。應(yīng)選取那些能使系統(tǒng)工作在最不利情況下的輸入信號(hào)作為典型的測(cè)試信號(hào)。在控制工程中采用下列五種信號(hào)作為典型輸入信號(hào)典型輸入作用及其拉氏變換 脈沖函數(shù)：階躍函數(shù)：tA)(tx0,0, 0)(tAttxA階躍幅度，A=1稱為單位階躍函數(shù)，記為1（t）。 其拉氏變換后的像函數(shù)為：sAtxL)( 斜坡函數(shù)（速度階躍函數(shù)）：0,0, 0)(tBtttxB=1時(shí)稱為單位斜坡函數(shù)。t)(txBttx)( 其拉氏變換后的像函數(shù)為：2)(sBtxL典型輸入作用及其拉氏變換提示：上述幾種典型輸入信號(hào)的關(guān)系如下：21)( 1)(2

4、3322AtdtdAtdtdtAdtdtA拋物線函數(shù)（加速度階躍函數(shù)）：0,210, 0)(2tCtttxC=1時(shí)稱為單位拋物線函數(shù)。t)(tx221)(Cttx 其拉氏變換后的像函數(shù)為：3)(sCtxL正弦函數(shù)： ，式中，A為振幅， 為頻率。tASintx)( 其拉氏變換后的像函數(shù)為：22sinnnstAL典型輸入作用及其拉氏變換 分析系統(tǒng)特性究竟采用何種典型輸入信號(hào)，取決于實(shí)際系統(tǒng)在正常工作情況下最常見的輸入信號(hào)形式。 當(dāng)系統(tǒng)的輸入具有突變性質(zhì)時(shí)，可選擇階躍函數(shù)為典型輸入信號(hào)；當(dāng)系統(tǒng)的輸入是隨時(shí)間增長(zhǎng)變化時(shí)，可選擇斜坡函數(shù)為典型輸入信號(hào)。 討論系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)時(shí)，通常選擇單位階躍信號(hào)作為

5、典型輸入信號(hào)。典型輸入作用及其拉氏變換典型響應(yīng)： 單位脈沖函數(shù)響應(yīng)單位脈沖函數(shù)響應(yīng)：1)()(sGsY 單位階躍函數(shù)響應(yīng)單位階躍函數(shù)響應(yīng)：ssGsY1)()( 單位斜坡函數(shù)響應(yīng)單位斜坡函數(shù)響應(yīng)：21)()(ssGsY 單位拋物線函數(shù)響應(yīng)：?jiǎn)挝粧佄锞€函數(shù)響應(yīng)：31)()(ssGsY提示：上述幾種典型響應(yīng)有如下關(guān)系：?jiǎn)挝幻}沖單位脈沖函數(shù)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)單位階躍單位階躍函數(shù)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)單位斜坡單位斜坡函數(shù)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)單位拋物線單位拋物線函數(shù)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)積分積分積分積分積分積分微分微分微分微分微分微分典型輸入作用及其拉氏變換 在典型輸入信號(hào)的作用下，任何一個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)都由瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩部分組

6、成 。1瞬態(tài)響應(yīng)：又稱為瞬態(tài)過程或過渡過程。是指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)的作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。n 由于實(shí)際的控制系統(tǒng)存在慣性、阻尼及其它一些因素，系統(tǒng)的輸出量不可能完全復(fù)現(xiàn)輸入量的變化，瞬態(tài)過程曲線形態(tài)可表現(xiàn)為衰減振蕩、等幅振蕩和發(fā)散等形式。n 瞬態(tài)過程包含了輸出響應(yīng)的各種運(yùn)動(dòng)特性，這些特性稱為系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。n 一個(gè)可以實(shí)際運(yùn)行的控制系統(tǒng)，瞬態(tài)過程必須是衰減的。即系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。 瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 2穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：又稱為穩(wěn)態(tài)過程。是指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)的作用下，當(dāng)時(shí)間趨近于無窮大時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)狀態(tài)。n 穩(wěn)態(tài)過程反映了系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，包含了輸出響應(yīng)

7、的穩(wěn)態(tài)性能。n 從理論上說，只有當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)，才進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過程，但這在工程應(yīng)用中是無法實(shí)現(xiàn)的。因此在工程上只討論典型輸入信號(hào)加入后一段時(shí)間里的瞬態(tài)過程，在這段時(shí)間里，反映了系統(tǒng)主要的瞬態(tài)性能指標(biāo)。而在這段時(shí)間之后，認(rèn)為進(jìn)入了穩(wěn)態(tài)過程。瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) n 控制系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)的作用下的性能指標(biāo)，由瞬態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)兩部分組成。n 由于穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的首要條件，因此只有當(dāng)瞬態(tài)過程收斂（衰減）時(shí)，研究系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能才有意義。n 在工程應(yīng)用上，通常使用單位階躍信號(hào)作為測(cè)試信號(hào)，來計(jì)算系統(tǒng)時(shí)間域的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。 瞬態(tài)過程的性能指標(biāo) 描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下

8、，瞬態(tài)過程隨時(shí)間t的變化狀況的性能指標(biāo)，稱為瞬態(tài)性能指標(biāo)，或稱為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。 為了便于分析和比較，假定系統(tǒng)在單位階躍輸入信號(hào)作用前處于靜止?fàn)顟B(tài)，而且輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均等于零。穩(wěn)定控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線有衰減振蕩和單調(diào)上升兩種類型。瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)（一）衰減振蕩：具有衰減振蕩的瞬態(tài)過程如圖所示： 延遲時(shí)間 ：dt輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時(shí)間。)(y 上升時(shí)間 ：rt輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值y()所需的時(shí)間?；蛑赣煞€(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時(shí)間。rt瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)（衰減振蕩） 最大超調(diào)量(簡(jiǎn)稱超調(diào)量) ：%100)()(%maxyyy式中： 輸出響應(yīng)的最大

9、值； maxy)(lim)(tyyt穩(wěn)態(tài)值；輸出響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個(gè)峰值ymax所需要的時(shí)間。 峰值時(shí)間 ：pt)(yptmaxy瞬態(tài)過程中輸出響應(yīng)的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)。 調(diào)節(jié)時(shí)間或過渡過程時(shí)間 ：st當(dāng) 和 之間的誤差達(dá)到規(guī)定的范圍之內(nèi)一般取 的5%或2%，稱允許誤差范圍，用D表示且以后不再超出此范圍的最小時(shí)間。即當(dāng) ，有：)(ty)(y)(ystt )52(%)(|)()(|或DDyyty)(02. 0)(05. 0yy或st瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)（衰減振蕩） 振蕩次數(shù)N：srpttt,在上述幾種性能指標(biāo)中， 表示瞬態(tài)過程進(jìn)行的快慢，是快速性指標(biāo)；而 反映瞬態(tài)過程的振蕩程度，是振蕩性

10、指標(biāo)。其中 和 是兩種最常用的性能指標(biāo)。N%,%st)(y在調(diào)節(jié)時(shí)間內(nèi)，y(t)偏離 的振蕩次數(shù)。或在0tts時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過程。穩(wěn)態(tài)過程的性能指標(biāo)主要是穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)，若系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，穩(wěn)態(tài)誤差是控制系統(tǒng)精度或抗干擾能力的一種度量。)(lim)(lim0ssEteestss穩(wěn)態(tài)過程的性能指標(biāo)式中：e(t)=給定輸入值-實(shí)際輸出值（單位反饋）；E(s)是系統(tǒng)的誤差。穩(wěn)態(tài)過程的性能指標(biāo) 系統(tǒng)應(yīng)該是穩(wěn)定的； 系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差的要求； 系統(tǒng)在瞬態(tài)過程中應(yīng)有好的快速性。 簡(jiǎn)稱為：穩(wěn)、準(zhǔn)、快對(duì)一個(gè)控制系統(tǒng)的要求小結(jié) 3.2 一階

11、系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo) 減小一階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的措施其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：11111)()()(TssRsYsKssKsK式中， ，稱為時(shí)間常數(shù)，開環(huán)放大系數(shù)越大，時(shí)間常數(shù)越小。KT1 由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。其傳遞函數(shù)是 s的一次有理分式。 一階系統(tǒng)的微分方程為：)(sY-sK)(sE)(sR典型的一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。)()()(trtydttdyT 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型當(dāng)一階系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位脈沖信號(hào)r(t)=(t)，其拉氏變換為R(s)=1，

12、則系統(tǒng)的輸出為:TsTTsTssRsY/1/1111)()(上式的拉氏反變換稱為一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) ：01)(teTtyTt，一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線 ：一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線為單調(diào)下降的指數(shù)曲線，時(shí)間常數(shù)T越大，響應(yīng)曲線下降越慢，表明系統(tǒng)受到脈沖輸入信號(hào)后，恢復(fù)到初始狀態(tài)的時(shí)間越長(zhǎng)。單位脈沖響應(yīng)的終值均為零 。 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 顯然一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條由零開始按指數(shù)規(guī)律單調(diào)上升并最終趨于1的曲線。ssR1)(,111)(sTssYTteTssLsTsLty1111111)(1111)()()(TssRsYs當(dāng) 時(shí)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 ：一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)n

13、 單位階躍響應(yīng)曲線是單調(diào)上升的指數(shù)曲線，為非周期響應(yīng)；n 時(shí)間常數(shù)T反映了系統(tǒng)的慣性，時(shí)間常數(shù)T越大，表示系統(tǒng)的慣性越大，響應(yīng)速度越慢，系統(tǒng)跟蹤單位階躍信號(hào)越慢，單位階躍響應(yīng)曲線上升越平緩。反之，慣性越小，響應(yīng)速度越快，系統(tǒng)跟蹤單位階躍信號(hào)越快，單位階躍響應(yīng)曲線上升越陡峭。由于一階系統(tǒng)具有這個(gè)特點(diǎn)，工程上常稱一階系統(tǒng)為慣性環(huán)節(jié)或非周期環(huán)節(jié)。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)-特點(diǎn)n 單位階躍響應(yīng)曲線的斜率為：1( )tTy teT0,1)(tetyTt顯然在t=0處的斜率為1/T，并且隨時(shí)間的增加斜率變小。下表表示了單位階躍響應(yīng)曲線上各點(diǎn)的值、斜率與時(shí)間常數(shù)T之間的關(guān)系。 根據(jù)這一特點(diǎn)，可用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定

14、一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，或測(cè)定系統(tǒng)是否屬于一階系統(tǒng)。 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)-特點(diǎn)n 一階系統(tǒng)跟蹤單位階躍信號(hào)時(shí)，輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時(shí)間減小，最后趨于零。 輸出量和輸入量之間的位置誤差： Ttetytte)()( 1)(穩(wěn)態(tài)位置誤差 ：0lim)(limTtttete一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)-特點(diǎn)當(dāng)一階系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位斜坡信號(hào)r(t)=t，其拉氏變換為R(s)=1/s2，則系統(tǒng)的輸出為:TsTsTssTsTssRsY/111111)()(22上式的拉氏反變換稱為一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) ：( )(1),0tTy ttTet 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線 ：曲線1表示輸入單位斜坡信號(hào)r(t

15、)=t，曲線2和曲線3分別表示系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)等于T和2T時(shí)的單位斜坡響應(yīng)曲線。一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)n 一階系統(tǒng)在跟蹤單位斜坡信號(hào)時(shí)，總是存在位置誤差，并且位置誤差的大小隨時(shí)間而增大，最后趨于常值T。位置誤差的大小與系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T也有關(guān)，T越大，位置誤差越大，跟蹤精度越低。反之，位置誤差越小，跟蹤精度越高。 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)特點(diǎn)系統(tǒng)的輸入量和輸出量之間的位置誤差為：)1 ()()()(TteTtytrte系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差為 ：TeTteTttt)1 (lim)(limn 單位斜坡響應(yīng)曲線的斜率為： ( )1tTy te 顯然在t=0時(shí)其斜率為零，并且隨時(shí)間的增加斜率變大，最大斜率為1。

16、 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)特點(diǎn)當(dāng)一階系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位加速度信號(hào)r(t)=t2/2，其拉氏變換為R(s)=1/s3，則系統(tǒng)的輸出為:上式的拉氏反變換稱為一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) ：TsTsTsTssTsTssRsY/111111)()(222330)1 (21)(22teTTtttyTt，一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)曲線 ：曲線1表示輸入單位加速度信號(hào)r(t)=t2/2 ，曲線2和曲線3分別表示系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)等于T和2T時(shí)的單位加速度響應(yīng)曲線。 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)n 一階系統(tǒng)在跟蹤單位加速度信號(hào)時(shí)，總是存在位置誤差，而且位置誤差的大小隨時(shí)間而增大，最后趨于無窮大。因此，一階系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)對(duì)單位加

17、速度信號(hào)的跟蹤。n 系統(tǒng)的輸入量和輸出量之間的位置誤差為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差為： )1 ()()()(2TteTTttytrte)1 (lim)(lim2TttteTTtte一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)特點(diǎn)n 單位脈沖信號(hào)與單位階躍信號(hào)的一階導(dǎo)數(shù)、單位斜坡信號(hào)的二階導(dǎo)數(shù)和單位加速度信號(hào)的三階導(dǎo)數(shù)相等。n 單位脈沖響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)、單位斜坡響應(yīng)的二階導(dǎo)數(shù)和單位加速度響應(yīng)的三階導(dǎo)數(shù)也相等。一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)線性系統(tǒng)的特點(diǎn)由：得：n 延遲時(shí)間td ：延遲時(shí)間定義為輸出響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時(shí)間。 Ttde15 . 0Ttd693. 0n 上升時(shí)間tr：設(shè)一階系統(tǒng)輸出響應(yīng)達(dá)到

18、10%穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間為t1，達(dá)到90%穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間為t2，則有: Tte111 . 0Tte219 . 0Tt10536. 01Tt30259. 22解得：所以上升時(shí)間tr為：Ttttr197. 212一階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)n 調(diào)整時(shí)間ts :假設(shè)系統(tǒng)的誤差帶寬度為D,則根據(jù)調(diào)整時(shí)間的定義有:TtseD1%1DDD5324%ln，TTTts得：n 峰值時(shí)間tp 和超調(diào)量%： 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線為單調(diào)上升的指數(shù)曲線，沒有振蕩，所以峰值時(shí)間和超調(diào)量不存在。 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)n 一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T對(duì)系統(tǒng)性能起著非常重要的作用，時(shí)間常數(shù)不僅影響一階系統(tǒng)的響應(yīng)速度，還影響系統(tǒng)跟蹤輸入信號(hào)的

19、精度。n 對(duì)于不同的輸入信號(hào)，時(shí)間常數(shù)越大，系統(tǒng)的響應(yīng)速度越慢，跟蹤精度越低。n 對(duì)于大多數(shù)的實(shí)際工程系統(tǒng)，通常希望有較小的時(shí)間常數(shù)。 方法一 通過負(fù)反饋減小時(shí)間常數(shù) :11)(TssG原系統(tǒng)為 : ，加入負(fù)反饋如下圖：反饋后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 1111( )11111KTssTT ssTs減小一階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的措施 方法二 在系統(tǒng)的前向通道上串聯(lián)一個(gè)比例環(huán)節(jié)。 原系統(tǒng)為： 傳遞函數(shù)為： 11)(0Tss改進(jìn)后系統(tǒng)為： 11111111)(sTsTsKsKsKsTT 減小一階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的措施 例：已知一階系統(tǒng)的方塊圖如圖所示。試求該系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)整時(shí)間ts；若要求ts0.1秒，求此

20、時(shí)的反饋系數(shù)。)(sC-s100)(sR0.1解：由系統(tǒng)方塊圖求出閉環(huán)傳遞函數(shù)：11 . 010101001 . 01001100)()()(sssssRsYs由閉環(huán)傳遞函數(shù)知時(shí)間常數(shù)T=0.1秒所以：ts=3T=0.3秒（D0.05）減小一階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的措施 若要求ts0.1秒，求此時(shí)的反饋系數(shù)。 可設(shè)反饋系數(shù)為k101. 011001100)()()(skkksssRsYs當(dāng) ，則 ，即 時(shí)ts0.1秒kT01. 01 . 003. 03kTts3 . 0k)(sC-s100)(sRk由此可知：對(duì)一階系統(tǒng)而言反饋加深可使調(diào)節(jié)時(shí)間減小。反饋加深對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)還有什么影響？)1 (310)(3

21、0tety由此可知：反饋加深還將使輸出幅值減小。)3011(31013010013 . 01001100)(ssssssssY減小一階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的措施 Step ResponseTime (sec)Amplitude00.10.20.30.40.50.60123456789101 . 0k3 . 0k減小一階系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)的措施 小結(jié) 3.3 典型二階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能 典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 典型二階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo) 二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能的改善開環(huán)傳遞函數(shù)為:sssGnn2)(22閉環(huán)傳遞函數(shù)為:2222)(1)()(nnnsssGsGs)2(2nnss)(sR)(sY

22、-典型結(jié)構(gòu)的二階系統(tǒng)如右圖所示： 由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。它在控制工程中的應(yīng)用極為廣泛。許多高階系統(tǒng)在一定的條件下，也可簡(jiǎn)化為二階系統(tǒng)來研究。典型二階系統(tǒng)的微分方程 ：0)()(2)(222ttrtydtdyTdttydT，典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)， 稱為阻尼系數(shù)， 稱為無阻尼振蕩圓頻率或自然頻率。這兩個(gè)參數(shù)稱為二階系統(tǒng)特征參數(shù)。T稱為二階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。 )(sn1212)(1)()(22222TssTsssGsGsnnn122, 1nnp其特征根為：二階系統(tǒng)的特征方程為：0222nnss典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型注意：當(dāng) 不同時(shí)，特征根有不同的形式，系統(tǒng)

23、的階躍響應(yīng)形式也不同。它的階躍響應(yīng)有振蕩和非振蕩兩種情況。 當(dāng) 時(shí)，特征方程有一對(duì)共軛的虛根，稱為零(無)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為持續(xù)的等幅振蕩。0 當(dāng) 時(shí)，特征方程有一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根，稱為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過程。10 當(dāng) 時(shí)，特征方程有一對(duì)相等的實(shí)根，稱為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。1 當(dāng) 時(shí)，特征方程有一對(duì)不等的實(shí)根，稱為過阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。1122, 1nnp典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)， ，有： ssR1)(ssssssYnnn121)()(222222221)()(nnnssssssY0cos1)(ttty

24、n當(dāng) 時(shí)，極點(diǎn)為：0njp2, 1 此時(shí)輸出將以頻率 做等幅振蕩，所以, 稱為無阻尼振蕩圓頻率。nn121)()(22211sssLssLtynnn典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)輸入階躍信號(hào)和階躍響應(yīng)之間的誤差 ：0cos)(1)()()(tttytytrten， 誤差曲線呈現(xiàn)等幅振蕩形式。即系統(tǒng)在無阻尼情況下，不能跟蹤輸入的單位階躍信號(hào)。 典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)2222222121)(nnnnnnssssssssY2222)()(221nnnnnssss222)1()(1nnnnsss222222)1()()1()(1nnnnnnssss 當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)極點(diǎn)為：1022, 11nnjp 稱為阻

25、尼振蕩頻率。 21nd典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)0,)1sin(1)1cos(1)(222tttetynntn22222222)1()(11)1()(1nnnnnnssss)sin()(22btebasbat)cos()(22btebasasat0, )11sin(11)(2122ttgtetyntn典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)0, )11sin(11)(2122ttgtetyntn典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)n 在欠阻尼(0-p2時(shí)，在兩個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng)中，后者衰減的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于前者，即此時(shí)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)主要由前者來決定，或者說主要由極點(diǎn)p1決定，因而過阻尼二階系統(tǒng)可以由具有極點(diǎn)-p1的一階系

26、統(tǒng)來近似表示。 典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根、極點(diǎn)分布和單位階躍響應(yīng)形式如下表所示：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)極點(diǎn)位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個(gè)互異負(fù)實(shí)根單調(diào)上升一對(duì)負(fù)實(shí)重根 衰減振蕩一對(duì)共軛復(fù)根(左半平面） 等幅周期振蕩一對(duì)共軛虛根 無阻尼, 0njs2, 1欠阻尼, 1o22, 11nnjs臨界阻尼，1)(2, 1重根ns過阻尼，1122, 1nns典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)可以看出：隨著 的增加，y(t)將從無衰減的周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)橛兴p的正弦運(yùn)動(dòng)，當(dāng) 時(shí)y(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運(yùn)動(dòng)(無振蕩)。可見 反映實(shí)際系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為

27、阻尼系數(shù)。1典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（一）衰減振蕩瞬態(tài)過程 ：) 10(0, )11sin(11)(2122ttgtetyntn 上升時(shí)間 ：根據(jù)定義，當(dāng) 時(shí)， 。rtt rt1)(rty1)11sin(112122tgterntrn0)11sin(212tgtrn，210211212kktgtrn典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（衰減振蕩瞬態(tài)過程）取 k=0，得： )1(111121212tgtgtdnr 稱為阻尼角，這是由于 。cos21)(tgtg而21ndrt)1(21tg2211nntgn21nj21njn典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（衰減振蕩瞬態(tài)過程） 峰值時(shí)間 ：當(dāng) 時(shí)，ptptt 0)(pt

28、y0)cos(1)sin(1)(22pddtpdtntetetypnpntgttgndpd21)(整理得：,.)2 , 1 , 0( nntpd由于 出現(xiàn)在第一次峰值時(shí)間，取n=1，有：dnpt21pt0, )sin(11)(2ttetydtn211tg其中0)cos()sin(pddpdntt典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（衰減振蕩瞬態(tài)過程）00.10.20.30.40.50.60.70.80.910510152025rnpnttdrtdpt典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（衰減振蕩瞬態(tài)過程）sin11)sin(11)(212122eetyp 最大超調(diào)量 ：%max)()(ytytyp得將峰值時(shí)間 代入dpt

29、0, )sin(11)(2ttetydtn21sinn21nj21njn211)(etyp%100) 1)(%100)()()(%pptyyyty故：%100%21e%100%10021ctgeenn典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（衰減振蕩瞬態(tài)過程）最大超調(diào)量?jī)H與阻尼系數(shù)有關(guān)。典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（衰減振蕩瞬態(tài)過程） 調(diào)節(jié)時(shí)間 ：st可見，寫出調(diào)節(jié)時(shí)間的表達(dá)式是困難的。由右圖可知響應(yīng)曲線總在一對(duì)包絡(luò)線之內(nèi)。包絡(luò)線為： 根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間的定義，當(dāng)tts時(shí) |y(t) - y()| y() %。%)1tgsin(1212Dtedtn211)(tbnety典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（衰減振蕩瞬態(tài)過程）nst%)1

30、ln(2D當(dāng)t=ts時(shí)，有： 由于實(shí)際響應(yīng)曲線的收斂速度比包絡(luò)線的收斂速度要快，因此可用包絡(luò)線代替實(shí)際響應(yīng)來估算調(diào)節(jié)時(shí)間。即認(rèn)為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線進(jìn)入誤差帶時(shí)，調(diào)整過程結(jié)束。當(dāng) 較小時(shí)，近似?。?，且1124912. 3)02. 0ln(3996. 2)05. 0ln(時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)52,3,4nnst所以%1112Dsnte典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（衰減振蕩瞬態(tài)過程）說明：n 調(diào)整時(shí)間與系統(tǒng)特征根的實(shí)部數(shù)值成反比。系統(tǒng)特征根距虛軸的距離越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間越短。 n 由于阻尼系數(shù)的選取主要是根據(jù)對(duì)系統(tǒng)超調(diào)量的要求來確定的，所以調(diào)整時(shí)間主要由無阻尼振蕩頻率n決定。n 若能保持阻尼系數(shù)不變而增加無阻尼振蕩

31、頻率n值，則可以在不改變超調(diào)量的情況下縮短調(diào)整時(shí)間。 52當(dāng)當(dāng),3,4nnst22, 11nnjp典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（衰減振蕩瞬態(tài)過程）5. 振蕩次數(shù)N：振蕩次數(shù)定義為在0=t1，其單位階躍響應(yīng)為： 01)11(1211)(21222121212)1(2)1(2teTTTeTTTeetyTtTtttnn，同樣可以根據(jù)確定的阻尼系數(shù) 值，由牛頓迭代法求得系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間。比如： 當(dāng)1.25時(shí)： DD5/6 . 62/4 . 8，nnst典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（單調(diào)上升瞬態(tài)過程）過阻尼二階系統(tǒng)的無因次調(diào)整時(shí)間曲線典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（單調(diào)上升瞬態(tài)過程）通常，都希望控制系統(tǒng)有較快的響應(yīng)時(shí)間，即希

32、望系統(tǒng)的阻尼系數(shù)在01之間。而不希望處于過阻尼情況(1)，因?yàn)檎{(diào)節(jié)時(shí)間過長(zhǎng)。但對(duì)于一些特殊的系統(tǒng)不希望出現(xiàn)超調(diào)系統(tǒng)（如液位控制）和大慣性系統(tǒng)（如加熱裝置），則可以處于(1)的情況。 需要說明的是，在所有非振蕩過程中，臨界阻尼系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間最小。典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（單調(diào)上升瞬態(tài)過程）極點(diǎn)位置與階躍響應(yīng)形式的關(guān)系單位階躍響應(yīng)極點(diǎn)位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個(gè)互異負(fù)實(shí)根單調(diào)上升一對(duì)負(fù)實(shí)重根 衰減振蕩一對(duì)共軛復(fù)根(左半平面） 等幅周期振蕩一對(duì)共軛虛根 無阻尼, 0njs2,1欠阻尼, 1o22, 11nnjs臨界阻尼，1)(2, 1重根ns過阻尼，1122, 1nns 典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（小結(jié)

33、） =cos-1 % =cos-1 %0.184.2672.90.6946.3750.278.4652.70.745.574.60.372.5437.230.707454.30.466.4225.380.7838.7420.56016.30.836.871.50.653.139.840.925.840.15極點(diǎn)位置與特征參數(shù)、n及性能指標(biāo)的關(guān)系典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（小結(jié)） n是極點(diǎn)到原點(diǎn)的直線距離，距離越大振蕩頻率越高。對(duì)于臨界阻尼和過阻尼情況，此規(guī)律也存在。典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)（小結(jié)）二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生過程1.0,t1誤差信號(hào)為正，產(chǎn)生正向修正作用，以使誤差減小，但因系統(tǒng)阻尼系數(shù)小，正向速

34、度大，造成響應(yīng)出現(xiàn)正向超調(diào)。2.t1,t2誤差信號(hào)為負(fù)，產(chǎn)生反向修正作用，但開始反向修正作用不夠大，經(jīng)過一段時(shí)間才使正向速度為零，此時(shí)輸出達(dá)到最大值。3.t2,t3誤差信號(hào)為負(fù)，此時(shí)反向修正作用大，使輸出返回過程中又穿過穩(wěn)態(tài)值，出現(xiàn)反向超調(diào)。4.t3,t4誤差信號(hào)為正，產(chǎn)生正向修正作用，但開始正向修正作用不夠大，經(jīng)過一段時(shí)間才使反向速度為零，此時(shí)輸出達(dá)到反向最大值。改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生原因1.0,t1 正向修正作用太大，特別在靠近t1 點(diǎn)時(shí)。2.t1,t2 反向修正作用不足。減小二階系統(tǒng)超調(diào)的思路1.0,t1 減小正向修正作用。附加與原誤差信號(hào)相反的信號(hào)。2.t1,t2

35、加大反向修正作用。附加與原誤差信號(hào)同向的信號(hào)。 3.t2,t3減小反向修正作用。附加與原誤差信號(hào)相反的信號(hào)。4.t3,t4 加大正向修正作用。附加與原誤差信號(hào)同向的信號(hào)。 即在0,t2 內(nèi)附加一個(gè)負(fù)信號(hào)，在t2,t4內(nèi)附加一個(gè)正信號(hào)。減去輸出的微分或加上誤差的微分都具有這種效果。改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施為了改善系統(tǒng)性能而改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)或附加具有一定功能的環(huán)節(jié)的方法稱為對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。附加環(huán)節(jié)稱為校正環(huán)節(jié)。比例微分控制和速度反饋是較常用的校正方法。1比例微分控制：比例微分控制，通常是在系統(tǒng)的前向通道上加入比例微分控制環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)由比例環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)并聯(lián)而成，其傳遞函數(shù)為： skksGdp

36、c)(式中，和kp和kd分別稱為比例和微分系數(shù)。 改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施-比例微分控制具有比例微分校正的二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為: pndnndpnksksskksRsYs2222)2()()()()(改寫為: 2222)(1)(kdkdkdkdsszszs2dnkdnpkdkk，,dpkkz 其中: 二階系統(tǒng)引進(jìn)比例微分校正后，當(dāng)比例系數(shù)kp1時(shí)，系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率kd和阻尼系數(shù)kd都增大了，這是否表明系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間都將減小，從而使系統(tǒng)的瞬態(tài)性能得到改善呢？ 現(xiàn)在還不能下結(jié)論 。改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施-比例微分控制具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的零、極點(diǎn)位置： 2222)(1)(nnn

37、sszszs22212211nnnnzzlztgtg，1-改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施-比例微分控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為： )()()2(1)2(1)()(21222222sYsYsssszssssssYnnnnnn)2(1)(,)2()(22222221nnnnnnsssszsYssssY01sin11)11sin(11)()()(22212221tteztgtetytytyntnntnn，分別為典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和附加零點(diǎn)引起的分量。 2222)(1)(nnnsszszs改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施-比例微分控制)2(1)(,)2()(22222221nnnnnnsssszsYssss

38、Y)(1)(12ssYzsY又：即：dttdyzty)(1)(12因此，具有附加零點(diǎn)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)還可以寫為：dttdyztyty)(1)()(11由圖看出：由于y2的影響，使得具有附加零點(diǎn)的二階系統(tǒng)比典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)具有更快的響應(yīng)速度和更大的超調(diào)量 。 改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施-比例微分控制為了更加清楚地說明附加零點(diǎn)對(duì)二階系統(tǒng)的影響，用表示附加零點(diǎn)與典型二階系統(tǒng)復(fù)數(shù)特征根的實(shí)部之比，即：nz附加零點(diǎn)位置對(duì)y(t)的影響 隨著的減小，即附加零點(diǎn)越趨向于虛軸，y(t)的超調(diào)量將明顯增大，附加零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響愈加顯著。 改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施-比例微分控制具有附加零點(diǎn)的二階

39、系統(tǒng)主要性能指標(biāo) y(t)緊湊形式： )1sin(11)(22tzletyntn2超調(diào)量%： %,1002%21)(222errzrn/21)(nrt1上升時(shí)間tr 3調(diào)整時(shí)間ts ：)5(1)ln3()2(1)ln4(DD，nsnszltzlt改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施-比例微分控制-主要性能指標(biāo) 與超調(diào)量%的關(guān)系 超調(diào)量%與的關(guān)系: 例如：當(dāng)=0.3，=7或=0.5，=4時(shí)，附加零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)超調(diào)量的影響可以忽略。 改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施-比例微分控制l 典型二階系統(tǒng)引入比例微分校正后，系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率n和阻尼系數(shù)都可以增加。從這個(gè)角度說，系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間可以減小。l 同時(shí)系統(tǒng)的

40、表現(xiàn)形式變?yōu)楦郊恿艘粋€(gè)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，附加一個(gè)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)相對(duì)典型二階系統(tǒng)（在無阻尼振蕩頻率n和阻尼系數(shù)不變的情況下 ）來說，超調(diào)量增大，響應(yīng)速度加快。l 綜合起來，典型二階系統(tǒng)引入比例微分校正后，只要比例系數(shù)kp和微分系數(shù)kd選擇恰當(dāng)，其瞬態(tài)性能指標(biāo)能得到較好的改善。 討論：改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施-比例微分控制引進(jìn)比例微分校正前后，二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線的一個(gè)例子 曲線1、2分別為未引入和引入比例微分校正后的單位階躍響應(yīng)曲線。很顯然，引入比例微分校正后，系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快，超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間減小。參閱例改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施-比例微分控制2速度反饋校正： 利用系統(tǒng)輸出信號(hào)y(t)的

41、微分作為反饋信號(hào)，與輸出信號(hào)一起同時(shí)加到系統(tǒng)的輸入端，以產(chǎn)生誤差信號(hào)，起到增加系統(tǒng)阻尼的目的。 改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施-速度反饋校正具有速度反饋校正的二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 2222)2()()()(nnnnsssRsYs0)2(222nnnss具有速度反饋校正的二階系統(tǒng)的特征方程 速度反饋校正具有增大系統(tǒng)阻尼的作用。 2nv速度反饋校正不影響系統(tǒng)的無阻尼振蕩頻率 。系統(tǒng)對(duì)單位階躍信號(hào)響應(yīng)的超調(diào)量可以通過改變阻尼系數(shù)v的值加以控制。通過調(diào)整速度反饋系數(shù)，使阻尼系數(shù)v落在0.40.8之間，從而減小超調(diào)量。 改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施-速度反饋校正引進(jìn)速度反饋校正前后，二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線

42、的一個(gè)例子 曲線1、2分別為未引入和引入速度反饋校正后的單位階躍響應(yīng)曲線。由圖可知，二階系統(tǒng)引入速度反饋校正以后，可以減小系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間，但有時(shí)會(huì)增大系統(tǒng)的上升時(shí)間。參閱例 改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施-速度反饋校正二階系統(tǒng)響應(yīng)特性-小結(jié) 3.4 高階系統(tǒng)的時(shí)域分析 三階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)n 在控制工程中，幾乎所有的控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)，即用高階微分方程描述的系統(tǒng)。n 對(duì)于不能用一、二階系統(tǒng)近似的高階系統(tǒng)來說，確定其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)是比較復(fù)雜的。n 工程上常采用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析從而得到高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的估算公式。n 對(duì)于不能簡(jiǎn)化為低階

43、系統(tǒng)的高階系統(tǒng)，可采用數(shù)值計(jì)算的方法進(jìn)行仿真，得出系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。 三階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)傳遞函數(shù)：)2)(1()()()(222nnnssTssRsYs221nnjp當(dāng) 0 1 時(shí)，極點(diǎn)分布如下：211nnjpTp13這相當(dāng)于在典型二階系統(tǒng)的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，或增加了一個(gè)實(shí)極點(diǎn)。 典型三階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的表達(dá)式：33222103223221)(2()(psAssAsAsAspssspsYnnnnn式中：1|)(00sssYA由22121122| )(| )2)(nnjsjsnnAsAsssY同理：1)2(1|)()(2333pssYpsA可得：1)2()2(22

44、1A1)2( 1)2(2222nAnp3表示實(shí)極點(diǎn)和共軛復(fù)極點(diǎn)的相對(duì)位置。三階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)-單位階躍響應(yīng)三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如下：0sin1 1)2(cos)2(1)2(1)2(1)(222223ttteetyddttpn，三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的緊湊形式如下：0),sin(1)2(11)2(1)(2223tteetydttpn式中：21nd1)2(1)2(221tg三階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)-單位階躍響應(yīng)為參變量時(shí)三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 當(dāng)無窮大時(shí)，即負(fù)實(shí)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸時(shí)，三階系統(tǒng)即為典型二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)曲線。在一般情況下，01時(shí)，表示實(shí)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，共軛復(fù)極點(diǎn)離虛軸近，系統(tǒng)的瞬態(tài)特性主要由

45、共軛復(fù)極點(diǎn)決定，呈二階系統(tǒng)的特性，即系統(tǒng)的特性由二階系統(tǒng)的特征參數(shù)和n決定。當(dāng)0,Tf0，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)放大系數(shù)K的取值范圍。 解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：32( )()oimfmfKsT T sTTssK特征方程為：0)(23KssTTsTTfmfm代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用勞斯陣：列出對(duì)應(yīng)的勞斯陣列如下：0010123KTTKTTTTKTTTTssssfmfmfmfmfm整理后可得開環(huán)放大系數(shù)K的取值范圍是： fmTTK110要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須：0fmfmfmTTKTTTT0K及代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用0)(23KssTTsTTfmfmq 確定系統(tǒng)的相對(duì)

46、穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕度） 利用勞斯和胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)確定的是系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，即絕對(duì)穩(wěn)定性。在實(shí)際系統(tǒng)中，往往需要知道系統(tǒng)離臨界穩(wěn)定有多少裕量，這就是相對(duì)穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量問題。 利用實(shí)部最大的特征方程的根 p（若穩(wěn)定的話，它離虛軸最近）和虛軸的距離 表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕量。若p處于虛軸上，則 ，表示穩(wěn)定裕量為0。0 作 的垂線，若系統(tǒng)的極點(diǎn)都在該線的左邊，則稱該系統(tǒng)具有 的穩(wěn)定裕度。一般說， 越大，穩(wěn)定程度越高。可用 代入特征方程，得以z為變量的新的特征方程，用勞斯-胡爾維茨判據(jù)進(jìn)行判穩(wěn)。若穩(wěn)定，則稱原系統(tǒng)具有 的穩(wěn)定裕度。s zs代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用例已知系統(tǒng)的方塊圖，為使系

47、統(tǒng)特征方程的根都位于s=-1的左邊，試確定k值的取值范圍。)5)(3(sssk解：閉環(huán)特征方程為： 現(xiàn)以 s=x-1代入上式，得015823ksss082523kxxx勞斯陣：8051885210123kkkxxxx要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須系數(shù)皆大于0，8k勞斯陣第一列皆大于01888180518有kkkk188 k所以，此時(shí)k的取值范圍為代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用 討論相對(duì)穩(wěn)定性除了考慮極點(diǎn)離虛軸遠(yuǎn)近外，還要考慮共軛極點(diǎn)的振蕩情況。對(duì)于共軛極點(diǎn)，其實(shí)部反映響應(yīng)的衰減快慢，虛部反映響應(yīng)的振蕩情況。對(duì)于極點(diǎn) ，對(duì)應(yīng)的時(shí)域響應(yīng)為 。所以， 越小，衰減越慢， 越大，振蕩越激烈。如下圖示

48、意：dj)sin(tedtddj可用共軛極點(diǎn)對(duì)負(fù)實(shí)軸的張角 來表示系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。當(dāng) 時(shí)，表示極點(diǎn)在虛軸上，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。 越小，穩(wěn)定性越高。相對(duì)穩(wěn)定性越好。90代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用例 控制系統(tǒng)的方塊圖如下圖所示，圖中，前向通道中的環(huán)節(jié)：sKsKKdip為比例積分微分控制器，簡(jiǎn)稱PID控制器，Kp、Ki和Kd分別為比例、積分和微分系數(shù)。(1)當(dāng)Kd=0時(shí)，試確定Kp和Ki的值，使系統(tǒng)穩(wěn)定。(2) 當(dāng)Ki=0時(shí)，試確定Kp和Kd的值，使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均位于垂線s=-1的左邊。 解： (1)當(dāng)Kd=0時(shí)，控制器簡(jiǎn)化為比例積分控制器。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：ipipKsK

49、ssKsKs232)(代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用ipipKsKssKsKs232)(閉環(huán)特征方程為 0223ipKsKss勞斯陣列如下 0022210123iipipKKKKKssss20ipiKKK ，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，勞斯陣列第一列元素應(yīng)無符號(hào)變化，于是有 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用(2) 當(dāng)Ki=0時(shí)，控制器簡(jiǎn)化為比例微分控制器。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為pddpKsKssKKs)2()(2閉環(huán)特征方程為 0)2(2pdKsKs可令zs1，代入上式得： 012pddKKzKz勞斯陣列如下 01011012pddpdKKKKKzzz根據(jù)勞斯穩(wěn)定性判據(jù)，可得 d

50、pdKKK10，代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進(jìn)措施僅僅調(diào)節(jié)參數(shù)無法穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。0HaU1Q1K3K) 1(2TssKsK4H2Q-杠桿和放大器的傳遞函數(shù)執(zhí)行電機(jī)的傳遞函數(shù)進(jìn)水閥門的傳遞函數(shù)控制對(duì)象水箱的傳遞函數(shù)放大器電動(dòng)機(jī)減速器進(jìn)水閥門電位器連桿浮子實(shí)際水位水池出水+-例：如圖所示的液位控制系統(tǒng)代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 432124321) 1()(KKKKTssKKKKs4321KKKKK 令： 0) 1(2KTss閉環(huán)特征方程為： 023KsTs展開為： KaaaTa0123,0, 1,方程系數(shù)：

51、 由于 ，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。這也可從勞斯表看出。01a勞斯陣：KKTKTssss100123 由于無論怎樣調(diào)節(jié)參數(shù)K和T都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定，所以是一個(gè)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須改變?cè)到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)。 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用 由圖可看出，造成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的原因是前向通路中有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)，而傳遞函數(shù)的分子只有增益K。這樣，造成系統(tǒng)閉環(huán)特征方程缺項(xiàng)，即s一次項(xiàng)系數(shù)為零。 因此，消除結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的措施可以有兩種，一是改變積分性質(zhì)；二是引入開環(huán)零點(diǎn)，補(bǔ)上特征方程中的缺項(xiàng)。0HaU1Q1K3K) 1(2TssKsK4H2Q-代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯-

52、胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用 改變積分性質(zhì)：用反饋包圍積分環(huán)節(jié)，破壞其積分性質(zhì)。0HaU1Q1K3K) 1(2TssKsK4H2Q5K0HaU1Q1K3K) 1(2TssKsK4H2Q5K積分性質(zhì)的破壞將改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但有時(shí)會(huì)使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度下降。代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用 引入開環(huán)零點(diǎn)0H1Q1s) 1(321TssKKKsK4H2Q0H1Q) 1(321TssKKKsK4H2Qs 速度反饋 比例+微分代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用引入比例微分環(huán)節(jié)后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： ) 1() 1() 1()(2sKTsssKs閉環(huán)特征方程為： 023KsKsTsK

53、aKaaTa0123, 1,方程系數(shù)： 勞斯陣：KTKKKTssss)(10123引入比例+微分控制后，補(bǔ)上了特征方程中s一次項(xiàng)系數(shù)。故只要適當(dāng)匹配參數(shù)，滿足上述條件，系統(tǒng)就可穩(wěn)定。穩(wěn)定的充分必要條件為： 即0ia0,0,0KT0)(TKT 即代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)-勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用q線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定義和穩(wěn)定的充要條件q勞斯代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)（勞斯陣，各種特殊情況下勞斯陣的排列和判穩(wěn)方法）q胡爾維茨代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)q勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用 判穩(wěn) 系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響 系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進(jìn)措施小結(jié)3.6 線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析 控制系統(tǒng)的誤差和穩(wěn)態(tài)誤差 穩(wěn)態(tài)

54、誤差分析 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度的一種度量，通常稱為穩(wěn)態(tài)性能。在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項(xiàng)重要的技術(shù)指標(biāo)。 對(duì)于一個(gè)實(shí)際的控制系統(tǒng)，由于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、輸入作用的類型(給定量或擾動(dòng)量)、輸入函數(shù)的形式(階躍、斜坡或加速度)不同，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出不可能在任何情況下都與輸入量一致或相當(dāng)，也不可能在任何形式的擾動(dòng)作用下都能準(zhǔn)確地恢復(fù)到原平衡位置。這類由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入作用形式和類型所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差稱為原理性穩(wěn)態(tài)誤差。 此外，控制系統(tǒng)中不可避免地存在摩擦、間隙、不靈敏區(qū)等非線性因素，都會(huì)造成附加的穩(wěn)態(tài)誤差。這類由于非線性因素所引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差稱為附加穩(wěn)態(tài)誤差或結(jié)構(gòu)性穩(wěn)態(tài)誤差?？刂葡到y(tǒng)的

55、誤差和穩(wěn)態(tài)誤差 可以說控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是不可避免的，控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的任務(wù)之一，是盡量消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，或者使穩(wěn)態(tài)誤差小于某一允許值。 顯然，只有當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義；對(duì)于不穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，研究穩(wěn)態(tài)誤差是沒有意義的。 有時(shí)，把在階躍函數(shù)作用下沒有穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)，稱為無差系統(tǒng)；而把具有穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)，稱為有差系統(tǒng)?？刂葡到y(tǒng)的誤差和穩(wěn)態(tài)誤差一、控制系統(tǒng)的誤差: )(sR)(sY)(sE定義:參考輸入信號(hào) 與被控量輸出信號(hào) 間的差為控制系統(tǒng)的誤差信號(hào)。記做 ，即：)()()(sYsRsE假設(shè)反饋控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖如右圖所示。)(sR)(sY)(sR)(sY)(sY)(sR)(s 但是

56、系統(tǒng)的參考輸入信號(hào) 與被控量輸出信號(hào) 有時(shí)為不同量綱或量程的物理量，在這種情況下，系統(tǒng)的誤差不能直接用它們之間的差值來表示，應(yīng)該將 和 轉(zhuǎn)換為相同量綱或量程后方能進(jìn)行相減。假設(shè)將 轉(zhuǎn)換為與 相同的量綱或量程的轉(zhuǎn)換系數(shù)為 ，則系統(tǒng)的誤差有下列兩種定義方式：從輸入端定義：)()()()(1sYssRsE從輸出端定義：)()()()(2sYssRsE控制系統(tǒng)的誤差和穩(wěn)態(tài)誤差 當(dāng) 和 的量綱相同時(shí)，即在單位反饋的情況下，轉(zhuǎn)換系數(shù) 。在一般情況下，轉(zhuǎn)換系數(shù) 與系統(tǒng)反饋通路傳遞函數(shù) 相等。則系統(tǒng)誤差可以定義為：)(sR)(sY1)(s)(s)(sH)()()()()()(1sBsRsYsHsRsE)()(

57、)()(2sYsHsRsE)()()(12sHsEsE 系統(tǒng)誤差這兩種定義的本質(zhì)是相同的，只是表現(xiàn)形式不同，兩者之間的關(guān)系為： )()()()(11sYsHsRLte)()()()(12sYsHsRLte系統(tǒng)誤差信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式為： 控制系統(tǒng)的誤差和穩(wěn)態(tài)誤差例如圖所示系統(tǒng)為一調(diào)速系統(tǒng)，輸入電壓 范圍05V，對(duì)應(yīng)輸出轉(zhuǎn)速 范圍05000rpm，檢測(cè)裝置選擇量程轉(zhuǎn)速為05000rpm（對(duì)應(yīng)輸出電壓05V）的線性轉(zhuǎn)速傳感器。則每一個(gè)給定的輸入電壓 都將對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的希望輸出轉(zhuǎn)速 ，這時(shí)，用以說明輸入電壓 與輸出轉(zhuǎn)速 之間比例關(guān)系的系數(shù) 便是轉(zhuǎn)換系數(shù) 。在某一時(shí)刻，輸入電壓 ，理想的輸出轉(zhuǎn)速應(yīng)是 ，若

58、實(shí)際轉(zhuǎn)速為 ，則其誤差為 (從輸入端定義），或?yàn)?（從輸出端定義）。)(tr)(ty)(tr)(ty)(tr)(ty)/(10001rpmVk )(2)(Vtr)(2000)(rpmty)(1900 rpm)( 1 . 0)(1Vte)(100)(2rpmte控制系統(tǒng)的誤差和穩(wěn)態(tài)誤差 在本課以后的敘述中，均采用從輸入端定義系統(tǒng)的誤差，則如圖系統(tǒng)的誤差信號(hào)為：)(1)()()(1)()()()()(sGsRsHsGsRsYsHsRsEk)()(1sELte控制系統(tǒng)的誤差和穩(wěn)態(tài)誤差參考輸入信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)同時(shí)作用的線性控制系統(tǒng)的誤差 誤差為E(s)=E1(s)+E2(s)，為由參考輸入信號(hào)引起的誤差

59、，為由擾動(dòng)信號(hào)引起的誤差。誤差同樣定義在輸入端，即定義在圖中的A點(diǎn)處。 令N(s)=0，E1(s)對(duì)R(s)的傳遞函數(shù) ： )()()(11)()()(211sHsGsGsRsEsR)()()(1)()(211sHsGsGsRsE控制系統(tǒng)的誤差和穩(wěn)態(tài)誤差令R(s)=0，E2(s)對(duì)R(s)的傳遞函數(shù) ： )()()(1)()()()()(2122sHsGsGsHsGsNsEsN)()()(1)()()()(2122sHsGsGsNsHsGsE根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可求得該系統(tǒng)的總誤差為)()()(1)()()()()()(1)()()()(2122121sHsGsGsNsHsGsHsGsGs

60、RsEsEsE)()(1sELte控制系統(tǒng)的誤差和穩(wěn)態(tài)誤差二、控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差： 定義：誤差信號(hào) 在時(shí)間 趨于無窮大時(shí)的數(shù)值定義為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，記為 。即：)(tetsse)(limteetss 由系統(tǒng)誤差的討論和穩(wěn)態(tài)誤差的定義，可知穩(wěn)態(tài)誤差不僅和系統(tǒng)的特性（系統(tǒng)的類型和結(jié)構(gòu)）有關(guān)，而且和系統(tǒng)的輸入(參考輸入和擾動(dòng)輸入)信號(hào)的特性有關(guān)。由系統(tǒng)的類型、結(jié)構(gòu)或輸入信號(hào)形式所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差稱為原理性穩(wěn)態(tài)誤差，而由非線性因素所引起的穩(wěn)態(tài)誤差稱為附加穩(wěn)態(tài)誤差。本節(jié)不涉及附加穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算，只討論原理性穩(wěn)態(tài)誤差。 需要指出的是，只有當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義。因此，在計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差之前，必