中南大學(xué)高等工程數(shù)學(xué)試題

1、.中南大學(xué)工程碩士“高等工程數(shù)學(xué)”考試試卷（開卷）考試日期： 2010 年 4 月日時(shí)間 110 分鐘注：解答全部寫在答題紙上一、 填空題 (本題 24 分，每小題3 分 )1.若函數(shù)( x)C1 a,b ,且x a,b 有( x)a,b和'( x) L 1, 則方程 x(x) 在 a, b 上的解存在唯一，對(duì)任意 x0a,b 為初值由迭代公式xn 1( xn ) 產(chǎn)生的序列xn 一定收斂于方程x( x) 在 a,b 上的解 x* ，且有誤差估計(jì)式x*xk1L；2.建立最優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的三要素是：確定決策變量、 建立適當(dāng)?shù)募s束條件、 建立目標(biāo)函數(shù) ；3求解無(wú)約束非線性最優(yōu)化問(wèn)題的最速

2、下降法會(huì)產(chǎn)生“鋸齒現(xiàn)象”，其原因是：最速下降法前后兩個(gè)搜索方向總是垂直的；4已知函數(shù) yf ( x) 過(guò)點(diǎn) ( xi , yi ), i0,1,2, n ， xi a,b ，設(shè)函數(shù) S( x) 是 f (x) 的三次樣條插值函數(shù)，則 S(x) 滿足的三個(gè)條件（1）在每個(gè)子區(qū)間xi1 ,xi（ i=1 ，2， ， n）上是不高于三次的多項(xiàng)式；（ 2 ）S（ x）， S（x）， S（x）在 a, b 上連續(xù)；（ 3）滿足插值條件S（ xi ）=y i（ i=1 ，2， ，n）；5隨機(jī)變量 X N (3, 4),( X1, X 2 , X10 ) 為樣本， X 是樣本均值，則 X N （3， 0.4

3、）；6正交表 LN ( n p mq ) 中各字母代表的含義為L(zhǎng) 表示正交表， N 表示試驗(yàn)次數(shù)， n、m 表示因子水平數(shù)， p、 q 表示試驗(yàn)至多可以安排因素的個(gè)數(shù)；7線性方程組 Ax b 其系數(shù)矩陣滿足A=LU ，且分解唯一時(shí)，可對(duì) A 進(jìn)行 LU 解，選主元素的 Gauss消元法是為了避免采用絕對(duì)值很小的主元素導(dǎo)致誤差傳播大，按列選取主元素時(shí)第k 步消元的主元akk 為nbiaij yiyij i1(i n 1,.,2,1)aii8取步長(zhǎng) h0.01，用 Euler 法解y'3xy0,1 的公式為yn 1 0.03xn0.09 yn n 0,1,2 100, x。y(0)1二、（

4、本題 6 分）某汽車廠三種汽車：微型轎車、中級(jí)轎車和高級(jí)轎車。每種轎車需要的資源和銷售的利潤(rùn)如下表。為達(dá)到經(jīng)濟(jì)規(guī)模，每種汽車的月產(chǎn)量必須達(dá)到一定數(shù)量時(shí)才可進(jìn)行生產(chǎn)。工廠規(guī)定的經(jīng)濟(jì)規(guī)模為微型車 1500 輛，中級(jí)車 1200 輛，高級(jí)車 1000 輛，請(qǐng)建立使該廠的利潤(rùn)最大的生產(chǎn)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型。微型車中級(jí)車高級(jí)車資源可用量鋼材（噸）1.522.56000（噸）人工（小時(shí)）30405055000（小時(shí)）利潤(rùn)234解：設(shè)微型車生產(chǎn)了 x1 輛，中級(jí)車生產(chǎn)了 x2 輛，高級(jí)車生產(chǎn)了 x3 輛，而鋼材、人工均有限制，所以應(yīng)滿足限制條件：鋼材： 1.5x 1+2x 2+2.5x 36000人工： 30 x1

5、+40 x2+50 x355000生產(chǎn)數(shù)量： x11500x2 1200x31000從而問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：;.Maxc1x1 +c 2 x2 +c 31.5x12x22.5x3600030 x140x250x355000x1 1500x2 1200 x3 1000三、（本題10 分） 已知 f (x) 的數(shù)據(jù)如表：x0125f ( x)-5306用 Newton 插值法求 f ( x) 的三次插值多項(xiàng)式N 3 (x) ，計(jì)算 f (6) 的近似值，給出誤差估計(jì)式。解：xiF(xi )一階差商二階差商三階差商四階差商0-513820-3-11/25625/427/20612.56.54.5/4-

6、0.025-0.2292因此 N 3 ( x)0.510.7x9.55 x21.35x3，而 f (6)N3(6) 12.5R3 (6) fx0 x1x2x3x 4 ( x)0.22926(6 1) (6 2) (65)27.504四、（本題12 分） 為了研究小白鼠在接種不同菌型傷寒桿菌后的存活日數(shù)有沒(méi)有差異，現(xiàn)試驗(yàn)了在接種三種不同菌型傷寒桿菌（記為A1, A2, A3并假設(shè) Ai N (i , 2 ) ， i 1,2,3，）后的存活日數(shù)，得到的數(shù)據(jù)已匯總成方差分析表如下：方差來(lái)源平方和自由度樣本方差F 值組間 SSA662336.286組內(nèi) SSE63125.25總和 SST12914(1

7、) 試把上述方差分析表補(bǔ)充完整（請(qǐng)?jiān)诖鹁砩袭嫳硖钌夏愕拇鸢福?2) 小白鼠在接種不同菌型傷寒桿菌后的存活日數(shù)有無(wú)顯著差異？（取0.05， F0.05(2,12)3.89 ）解：（ 1）見表中紅色部分（ 2）設(shè) H0： 1= 2= 3= i選取統(tǒng)計(jì)量SSA1)(I(2,12) 3.89F， 由 于 顯 著 性 水 平 未 給 出 ， 設(shè) =0.05 ， 查 表 得 F0.05， 因 為SSE (N1);.F=6.286> F0 .05 (2,12) ，所以拒絕H 0，即小白鼠在接種不同型傷寒桿菌后存活日數(shù)有顯著差異。五、（本題12 分） 用表格形式單純形法求解max Z20 x18x2 6

8、 x38x1 3x22 x32502 x1x250st.3x34 x11501,x30x ,x2六、 （本題10 分） 試確定求積公式11 f ( x)dx A0 f ( 1) A1 f (0) A2 f (1) 中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。解：將 f ( x)1, x, x2 分別代入式中得2A0A1A20A0A2，因此得 A0A21, A15332A0A23七、（本題 12 分）（ 1）在多元線性回歸建模過(guò)程中，需要考慮自變量的選擇問(wèn)題。常用的方法有向前回歸法、向后回歸法、逐步回歸法。試解釋什么是逐步回歸法？（ 2）如果要考察因素A 、 B、 C 及交互作用A × B、A&

9、#215; C、B× C，如何用正交表L8 (27 ) 安排試驗(yàn)，交互作用見下表，試作表頭設(shè)計(jì)。表 L8 ( 27 )兩列間交互作用表列號(hào)1234567(列號(hào) )(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1解： (1) 逐步回歸法就是對(duì)全部因子按其對(duì)y 影響程度大?。ㄆ貧w平方的大小），從大到小地依次逐個(gè)地引入回歸方程，并隨時(shí)對(duì)回歸方程當(dāng)時(shí)所含的全部變量進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否仍然顯著，如不顯著就將其剔除，知道回歸方程中所含的所有變量對(duì)y 的作用都顯著是，才考慮引入新的變量。再在剩下的未選因子中，選出對(duì) y 作用最大者，檢驗(yàn)其顯著性，顯著著，引入方程，不顯

10、著，則不引入。直到最后再?zèng)]有顯著因子可以引入，也沒(méi)有不顯著的變量需要剔除為止。;.（ 2）如果因子A 放在第 1 列，因子 B放第 2 列，則 A × B 放在第 3 列。如 C 放在第 4 列，再查交互作用表，A× C 和 B×C 應(yīng)分別放在第5 列和第 6 列。表頭設(shè)計(jì)如下：列號(hào)1234567因子ABA×BCA×CB×C八、（本題14 分） 設(shè)方程組為025x195104x23010 20x314（ 1）對(duì)方程組進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，使得用Gauss-Seidel 迭代法求解時(shí)收斂；（ 2）取 x(0)0，用 Gauss-Seidel 迭

11、代法計(jì)算兩步迭代值 x(1)， x(2) ；（ 3）取 x(0)0，估計(jì)用 Jacobi 迭代求解 x(100) 與準(zhǔn)確解 x* 的誤差。解：（ 1）將原矩陣變換為如下：1020x1145104x230 ，經(jīng)變換后的矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，因此在用 Gauss-Seidel 迭代法求解時(shí)收斂。025x39（ 2）由 G S 迭代公式得：x1( k 1)1 (142x2( k ) )10x2( k 1)1 (30 5x1(k 1)4x3(k) ) ，又由于 x(0)0 ，因此經(jīng)兩步迭代后得x(1)1.4 2.3 0.88 ，10x3(k 1)1 (92x2(k1) )5x(2)0.942.1780

12、.9288（ 3）由 Jacobi 迭代公式得：x1( k 1)1 (142x2( k ) )10x2( k 1)1(30 5x1(k )4x3( k ) )10x3(k 1)1 (92x2(k ) )5因此 x(100)1(142x2(99) )1(30 5x1(99)4x3(99) )1(9 2x2(99) )10105;.中南大學(xué)工程碩士“高等工程數(shù)學(xué)”考試試卷考試日期： 2011 年月日時(shí)間 110 分鐘注：解答全部寫在答題紙上一、 填空題 (本題 24 分，每小題 3分 )xk 12xk（ 1） 對(duì)方程 f ( x)x32x 22xk4xk 1x，寫出其 Newton 迭代公式，使得

13、由迭代公式產(chǎn)生的序列xn可以 2 階收斂于方程的唯一正根x*；解：由牛頓迭代公式得xk 1x1kxk32xk 2xk 2 1 112xk24xk 15321U24因其存在 2 重跟，故需對(duì)其進(jìn)行修正得2113xk 12 5 x1k32xk2xk20 xk111Txk24xk12 xk 24xk12xk 2（ 2）在 a, b 上，設(shè) f ( x)0 與 x(x) 等價(jià)，則當(dāng)(x) 滿足 (x) 于 a,b一階導(dǎo)數(shù)存在，當(dāng) x a,b時(shí)，有 (x)a,b和 |g(x)|L1，x a,b時(shí)，由 xk 1( xk ) （ k0,1,2, L ）產(chǎn)生的序列 xk 收斂于方程 x( x) 的根；211x

14、14（ 3）用 Doolittle分解法求方程： 132x26122x35則： L =， U =，解 x =；解：;.1u11u12u13u11a112L l 211， Uu22u23， u12a121 ，l 31l321u33u13a131a211l 212u11a32l31u123a311l323l 31u225 u23a23l21u13l22u23u112 ，, u23u22a22l21u125，42211211u33a33 l 31u13l32u23,因此 L11, U53,x 1 1 1T202241312125202114（4）已知A 132, x6， 則 ：Ama x4 6 5

15、=6 ； A 11225max 465 =6 ； x14+6+5=15。（ 5）已知 yf ( x) 在區(qū)間 a,b 上通過(guò)點(diǎn) ( xi, yi ), i0,1,2, , n ，則其三次樣條插值函數(shù)S( x) 是滿足在每個(gè)子區(qū)間 xi1, xi (i1,2n) 上不高于三次的多項(xiàng)式，S(x），S（x），S（x）在 a,b上連續(xù) ， 滿足插值條件 S( xi)yi (i1,2n) ；y111（ 6）設(shè)有線性回歸模型y22122 ，其中i N (0,2 )(i1,2,3)且相互獨(dú)立，寫出參數(shù)y312231y12 y2y32y22 y31,652 的最小二乘估計(jì)，。1y113222解：2y22 12

16、 ，211212312Qi)( y2)( y2)y312 2i1( y3Q2 y14 y22 y31211y12 y2y361因此得，故Qy22 y24y310222 y352（ 7）在多元線性回歸建模過(guò)程中，需要考慮自變量的選擇問(wèn)題。寫出三種常用的自變量的選取方法向后回歸法、向前回歸法、逐步回歸法。;.（ 8）影響數(shù)學(xué)模型數(shù)值求解結(jié)果的誤差有：截?cái)嗾`差， 舍入誤差， 觀測(cè)誤差。二、（本題8 分） 已知 f ( x) 的數(shù)據(jù)如表：x-2026f ( x)04-210試求三次 Newton 插值多項(xiàng)式 N3 (x) ，求 f (5)的近似值，并給出相應(yīng)的誤差估計(jì)式。xF(x)一階差商二階差商三階

17、差商四階差商-200422-2-3-5/4610319/325-0.2187510.218752.406250.281250因此 N3 ( x)2( x2)5 (x2)x9 (x 2)x( x 2)432而 f (5)N3(5)0.21875R3(5)f x0 x1x2x3x ( x x0 )( x x1 )( x x2 )( x x3 ) 0三、（本題10 分） 引入人工變量利用大M 法求解下面的線性規(guī)劃（要求寫出計(jì)算過(guò)程）：maxZ3x14x2st.2x1x24x10.5x21x10,x20解：將約束條件加上松弛變量x3，剩余變量x4 和人工變量x5 后得到一個(gè)有基可行解的典型方程如下：2

18、x1x2x34x10.5x2x4x5 1xi0, (i15)相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為max z(3x14 x2 )Mx 5列出初始單純形表，并進(jìn)行迭代得：基變量CBX BX 1X 2X 3X 4X 53400-MX 304211002X 5-M11-0.50-111;.Zj-M0.5M0M-M-M-30.5M-40M0X 3020212-21X 1311-0.50-11Zj3-1.50-330-5.50-33+MX 241010.51-1X 131.5100.25-0.50.53Zj342.752.5-2.5002.752.5-2.5+M這時(shí)的檢驗(yàn)數(shù)已全部非負(fù)。得最優(yōu)解X(1.51 0 00)T；人工

19、變量 X5=0 ，去掉人工變量部分，得原線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解為X1.51 00T，最優(yōu)值 Z8.5四、 （本題 8 分） 某廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，都分別經(jīng)A,B 兩道工序加工， A 工序在設(shè)備 A1或 A2 上完成， B 工序在 B1 ， B2 ， B3 三種設(shè)備上完成。已知產(chǎn)品甲可在A，B 任何一種設(shè)備上加工；產(chǎn)品乙可在任何規(guī)格的 A設(shè)備上加工，但完成B 工序時(shí)，只能在B1 設(shè)備上加工；產(chǎn)品丙只能在A2 與 B2 設(shè)備上加工。加工單位產(chǎn)品所需要工序時(shí)間及其他數(shù)據(jù)見下表。設(shè)備產(chǎn)品設(shè)備有效設(shè)備加工費(fèi)乙丙臺(tái)時(shí)（元 / 小時(shí)）甲A151060000.05A27912100000.03B16840

20、000.06B241170000.11B3740000.05原料費(fèi)（元 / 件）0.250.350.50售價(jià)（元 / 件）1.252.002.80（ 1）建立線性優(yōu)化模型，安排使該廠獲利最大的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃（不要求計(jì)算出結(jié)果）；（ 2）寫出所建立的模型的對(duì)偶形式。解：（ 1）設(shè)在 A1 設(shè)備上生產(chǎn)甲x11 件，乙 x12 件，在 A2 設(shè)備上生產(chǎn)甲x21 件，乙 x22 件，丙 x23 件，在 B1 設(shè)備上生產(chǎn)甲x31 件，乙 x32 件，在 B2 設(shè)備上生產(chǎn)甲x41 件，丙 x43 件，在 B3 設(shè)備上生產(chǎn)甲x51件由已知條件得max0.75 x110.79 x211.15x121.38x22

21、1.94x23(0.36 x310.48x320.44x411.21x430.05x51 );.5x1110x1260007 x219x22 12x2 3 100006x318x3240004x4111x437000s.t 7 x514000x11x21x31x41x51 0x12x22x32 0x23x430xij0(i15, j1,2,3)（ 2）因目標(biāo)函數(shù)為最大值，而線性規(guī)劃方程符合要求，故不需轉(zhuǎn)換形式，由此得：min6000 y1 10000 y2 4000 y3 7000 y4 4000 y55 y1y60.757 y2y60.7910y1y71.159 y2y71.3812y2y8

22、1.94s.t6 y3y60.368y3y70.484 y4y60.4411y4y81.217 y5y60.05yi0(i1,2 5), y6 , y7 , y8無(wú) 約 束五、 （本題12 分） 一種生產(chǎn)降血壓藥品的生產(chǎn)廠家聲稱，他們生產(chǎn)的一種降壓藥服用一周后能使血壓明顯降低的效率可以達(dá)到80%，今在高血壓的人群中隨機(jī)抽取了200 人服用此藥品，一周后有148 人血壓有明顯降低，試問(wèn)生產(chǎn)廠家的說(shuō)法是否真實(shí)(0.01) ？解： 設(shè)降壓效率為 p，作假設(shè)H0：p80%H1：p80%?1 nX im， m 為血壓明顯降低的人數(shù)，抽取的樣本為大樣本，因此選取統(tǒng)由點(diǎn)估計(jì)， pnn i 1mnp，對(duì) =0

23、.01，拒絕域 WU Z0 .01 。由已知得 m=148， n=200,因此統(tǒng)計(jì)量為 Um(1m)n;.1480.820012，查表得 Z0.01=2.33，從而，樣本觀測(cè)值未落入拒計(jì)量 u4.0269148(1148 )2.9799200絕域中，不能拒絕H0，即生產(chǎn)廠家說(shuō)法是真實(shí)的。3六、（本題 10 分） 設(shè)有數(shù)值求積公式f (x)dx A0 f ( 2) A1 f (0) A2f (2)012，使，試確定3A,A,A該數(shù)值積分公式有盡量高的代數(shù)精度，并確定其代數(shù)精度為多少。解：將 f ( x)1, x, x2 分別代入式中得A0 A1A262 A02A20 ，因此 A 0=2.25，

24、A 1=1.5， A 2=2.252 A0 2A29將 f (x)x3代入式中是成立的，但f (x) x4卻不成立 ，因此代數(shù)精度為3。七、（本題12 分） 影響水稻產(chǎn)量的因素有秧齡、每畝基本苗數(shù)和氮肥，其水平如下表因素秧齡苗數(shù)氮肥1 水平小苗15 萬(wàn)株 /畝8 斤/畝2 水平大畝25 萬(wàn)株 /畝12 斤/畝若考慮之間的交互作用，采用 L8 (27 ) 安排試驗(yàn)，并按秧齡、每畝基本苗數(shù)、氮肥分別放在表的第一、二、四列，解答下列問(wèn)題：（ 1）它們的交互作用分別位于哪一列？（2）若按這種表頭作試驗(yàn)并測(cè)得產(chǎn)量為83.4,84.0,87.3,84.8,87.3, 88.0, 92.3, 90.4，試尋

25、找較好的生產(chǎn)條件。解：列表如下：123456產(chǎn)量（秧齡 A）（苗數(shù) B）（A ×B）（氮肥 C）（ A×C）（B×C）斤 /畝111111183.4211122284.0312211287.3412222184.8521212187.3621221288.0722112292.3822121190.4;.K 1i339.5342.7350.1350.3349.1345.9K 2i358354.8347.4347.2348.4351.6k 1 i84.87585.67587.52587.57587.27586.475k 2 i89.588.786.8586.887.

26、187.9R4.6253.0250.6750.7750.1751.425由表計(jì)算數(shù)據(jù)及直觀分析可知，因子B ×C、 A、 B 是重要的。顯然A 取水平 A 2，B 取水平 B 2，而 B×C 由B2×C1 ： 87.3 92.389.75， B2 ×C2： 84.8 90.487.622故C取C1水平。從而最優(yōu)水平為 A 2 2C1。B八、（本題16 分） 設(shè)方程組為291x112125x28832x313（ 1）對(duì)方程組進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，使得用雅可比迭代方法和高斯塞德爾迭代法求解時(shí)都收斂；（ 2）寫出對(duì)應(yīng)的高斯塞德爾迭代格式的分量形式；（ 3 ） 取 初

27、始 向 量 x(0)(0,0,0) T， 用 雅 可 比 迭 代 方 法 求 準(zhǔn) 確 解 x*的 近 似 解 x(k1)， 使x(k 1)x*10 3 至少需要迭代多少次？832x113解：（ 1） 291x212，經(jīng)變換后的矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，因此在用Gauss-Seidel 迭代法求解125x38時(shí)收斂。x1( k1)1 (133x2(k )2x3( k ) )8x2( k1)1 (122 x1(k 1)x3( k) )（ 2）9( k 1)1( k 1)( k 1)x3(8x12x25（ 3）解方程組可知x1( k1)1 (133x2(k )2x3( k ) )8雅克比迭代法形式為x2

28、( k 1)1 (122x1( k)x3(k) )9x3( k 1)1 (8 x1( k )2x2( k) )5x1.01827360.93687251.0215961 T;.kX1(k)X 2(k)X 3(k)11.6251.33333331.620.7250.79444440.741666731.14166681.08981481.137222240.93201390.95327160.935740751.03358801.02224791.0322886中南大學(xué)工程碩士“高等工程數(shù)學(xué)”考試試卷考試日期： 2010 年 4 月日時(shí)間 110 分鐘注：解答全部寫在答題紙上;.一、 填空題 (

29、本題 24 分，每小題3 分 )1.若方程f ( x)0 可表成 x( x) ，且在 a,b 內(nèi)有唯一根 x* ，那么(x) 滿足，則由迭代公式xn 1(xn ) 產(chǎn)生的序列xn 一定收斂于 x* 。（( x) 滿足：(x)C1a,b ,且xa, b 有( x) a, b ,' ( x)L1；）2. 已知二元非線性函數(shù)f (x)x12x1 x2x222x14x2 , X 0(2, 2)T ，該函數(shù)從 X0出發(fā)的最速下降方向?yàn)椋ㄗ钏傧陆捣较驗(yàn)椋簆4, 2T）；3已知二元非線性函數(shù)f ( x) x12x1x2x222x14x2 , X 0(2, 2)T ，該函數(shù)從 X0出發(fā)的 Newton

30、方向?yàn)椋?Newton 方向?yàn)椋簆2,0 T）；4已知 y f ( x)在區(qū)間 a,b 上通過(guò)點(diǎn)( i ,i ),i0,1,2, ,n，則其三次樣條插值函數(shù)S(x) 是滿足xy（ 1）在每個(gè)小區(qū)間是次數(shù)不超過(guò) 3 次的多項(xiàng)式， （ 2）在區(qū)間 a, b 上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)， （ 3）滿足插值條件 S( xi ) yi ,i 0,1,2, , n ）；5設(shè)某個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域?yàn)閃，且當(dāng)原假設(shè) H 0 成立時(shí)，樣本值 ( X1, X 2 , X n ) 落入 W 的概率為0.15 ，則犯第一類錯(cuò)誤的概率為_（ 0.15） ；6在實(shí)際問(wèn)題中求某參數(shù)的置信區(qū)間時(shí)，總是希望置信水平愈大愈好，而置信區(qū)間的

31、長(zhǎng)度愈短愈好。但當(dāng)增大置信水平時(shí)，則相應(yīng)的置信區(qū)間長(zhǎng)度總是變長(zhǎng)；7 取步 長(zhǎng)h0.2，y 'x2y 0,1 的Euler法公式為：解y(0), x1（ yn 1ynh( xn2 yn )0.6 yn0.2xn , n0,1,2,5）；8對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行建模求解時(shí)可能出現(xiàn)的誤差有：（模型誤差，觀測(cè)誤差，方法誤差，舍入誤差 。）。二、（本題 8 分）某鋼鐵公司生產(chǎn)一種合金，要求的成分是：錫不少于28%，鋅不多于15%，鉛恰好 10%，;.鎳介于 35% 到 55%之間，不允許有其他成分。鋼鐵公司擬從五種不同級(jí)別的礦石中進(jìn)行冶煉，每種礦物的成分含量和價(jià)格如下表。礦石雜質(zhì)在冶煉中廢棄，并假設(shè)礦石在冶煉過(guò)程中金屬含量沒(méi)有發(fā)生變化。合金錫（ %）鋅（ %）鉛（ %）鎳（ %）雜質(zhì)（ %）費(fèi)用（元 /噸）礦石125101025303402400030302603015520601804202004020230585151715190（ 1）建立線性優(yōu)化模型，安排最優(yōu)礦物冶煉方案，使每噸合金產(chǎn)品成本最低。（不要求計(jì)算出結(jié)果） ；（ 2）寫出所建立的模型的對(duì)偶形式。（ 1）設(shè) xj（,j 1