與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的最值

1、。難點(diǎn)突破專題 與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的最值與路徑一、構(gòu)造全等，結(jié)合三邊關(guān)系求最值1. 如圖，等腰之間 ABC中， AC=BC= 5 , 等腰直角 CDP中， CD=CP且 PB= 2 ，將 CDP繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)（ C、P、D 三點(diǎn)按順時(shí)針方向排列）（ 1）當(dāng) PBC=時(shí)， BD有最小值，最小值為多少？（ 2）當(dāng)角 PBC=時(shí)， BD有最大值。最大值為多少？解：連接 AD. CDP、 ACB都是等腰直角三角形， CD=CP，AC=BC， PCD=BCA=90°. PCD=BCP+BCD=90°， BCA= BCD+ DCA=90°， BCP=DCA. BCP=ACD，BC=AC

2、， CP=CD， CPB CDA（SAS）， PB=AD= 2 . AB-ADBDAB+AD， 10 -2 BD 10 +2.（ 1）當(dāng) PBC=45°時(shí)， A、D、B 共線， BD有最小值10 -2；（ 2）當(dāng) PBC=135°時(shí)， A、 D、 B 共線， BD有最大值10 +2.二、遇等邊三角形，旋轉(zhuǎn)60 求最值2. 如圖， ABC中， AB=2，AC=4，以 BC為邊在 BC的下方作等邊 PBC，求 AP 的最大值。1。解：如圖2， ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到 ABC， A BA=60°， A B=AB，AP=A C A BA是等邊三角形，A A=

3、AB=BA =2，在 AA C中， A C AA +AC，即 AP6，則當(dāng)點(diǎn) AA、 C 三點(diǎn)共線時(shí)，A C=AA +AC，即 AP=6，即 AP的最大值是：6；故答案是： 6三、遇等邊三角形，旋轉(zhuǎn)60 求最值3. 如圖， ABC中， AB= 2 ， AC=3，以 C 為直角頂點(diǎn)， BC為直角邊，向下作等腰直角 BCD，求 AD的最大值。解：將 ACD繞點(diǎn) C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得 ACB，連結(jié) AA，則 AAC為等腰直角三角形，AA= 2 ， AC=3 2 ， AD=AB.AB AB+AA，當(dāng)點(diǎn) B、A、 A三點(diǎn)共線時(shí)，AB最大，此時(shí)AB=AB+AA=2 +32 =42 ,AD的最大值

4、為42四、遇中點(diǎn)，構(gòu)造中位線求最值4. 如圖，在等腰直角 ABC中， AB=AC=3，在等腰直角 BEF中， BE=EF=1,O為CF的中點(diǎn)。當(dāng) BEF繞點(diǎn) B 旋轉(zhuǎn)時(shí)， AO的最大值為。2。五、運(yùn)動(dòng)路徑為線段長5. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) C 沿著某條路徑運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn) C 為旋轉(zhuǎn)中心，將點(diǎn) A（ 0， 4）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 到點(diǎn) B（m，1）若5m5 ，則點(diǎn) C 的運(yùn)動(dòng)路徑長為。解：如圖 1 所示，在 y 軸上取點(diǎn) P（ 0， 1），過 P 作直線 l x 軸，B（ m， 1）， B 在直線 l 上， C 為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角為 90°，BC=AC， ACB=90°， APB

5、=90°， 1=2，作 CM OA于 M，作 CN l 于 N，則 Rt BCN Rt ACM，CN=CM，若連接 CP，則點(diǎn) C在 BPO的平分線上，動(dòng)點(diǎn) C 在直線 CP上運(yùn)動(dòng)；如圖 2 所示， B（ m， 1）且 -5 m 5，分兩種情況討論C的路徑端點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng) m=-5 時(shí)， B（ -5 ， 1）， PB=5，作 CM y 軸于 M，作 CN l 于 N，同理可得 BCN ACM，CM=CN， BN=AM，可設(shè) PN=PM=CN=CM=a，P（ 0， 1）， A（ 0， 4），AP=3， AM=BN=3+a，PB=a+3+a=5，a=1，C（ -1 ， 0）；當(dāng) m=5時(shí)， B（ 5，1），如圖 2 中的 B1，此時(shí)的動(dòng)點(diǎn) C是圖 2 中的 C1，同理可得 C1（ 4， 5），C 的運(yùn)動(dòng)路徑長就是 CC1 的