線性規(guī)劃目標函數及基本不等式常見類型梳理

1、學習必備歡迎下載授課提綱一、線性規(guī)劃問題中目標函數常見類型梳理1、基本類型直線的截距型（或截距的相反數）2、直線的斜率型3、平面內兩點間的距離型（或距離的平方型）4、點到直線的距離型5、變換問題研究目標函數二、基本不等式1、（ 1）基本不等式若a,bR ，則 a2b 22ab (2) 若 a,bR ，則 aba 2b 2（當且僅當 ab 時取“ =”）2(2) 若 a,bR* ，則 abab(2)若 a, bR * ，則 a b2 ab （當且僅當 a b時取“ =”）2a2(3) 若 a, b*b(當且僅當 ab 時取“ =”）R ，則 ab22、利用基本不等式求值技巧授課主要內容：一 基本

2、類型直線的截距型（或截距的相反數）例 1.已知實數 x、 y 滿足約束條件A5B -6xy0xy50，則 z2x4y 的最小值為（）x3C10D-10xy20變式練習一：若 x,y 滿足約束條件x2 y102xy20,則 z=3x+y 的最大值為變式練習二：設x，y滿足約束條件1x3,則z 2y的最大值為 _1 xy0,x二 直線的斜率型2 63,5例 2.已知實數 x、 y 滿足不等式組x2y24y3x0,求函數 zx的值域 .1學習必備歡迎下載變式練習一：若x， y 滿足約束條件x10，則 y的最大值為.xy0xxy4 0x2 y40y2變式練習二： 11.若實數 x, y 滿足 x0，則

3、 z）x的取值范圍為（y01A.( , 4 2, ) B.( , 2 2 ,)C. 2, 2D. 4, 23333三 平面內兩點間的距離型（或距離的平方型）xy10例 3. 已知實數x、y 滿足xy10 ，則 wx2y24x4 y8 的最值為 _.y1解析：目標函數 w x2y24x4 y8(x2)2( y2) 2，點 (2,2)到點 B 的距離為其到可行域內點的最大值，wmax(22) 2( 12)225；點 (2,2)到直線 x+y-1=0 的距離| 221|32為其到可行域內點的最小值，wmin2。2xy10,x ， y 滿足約束條件xy10, 則 x22變式練習一：設實數y 2 的取值

4、范圍是x1，（A） 1,17（B ）1,17（C） 1, 17（D ）2, 1722變式練習二：四 點到直線的距離型例 4.已知實數 x、 y 滿足 2xy 1,求 ux2y24x 2y 的最小值。學習必備歡迎下載解析：目標函數 u x2y24x 2 y (x 2)2( y 1)25 ，其含義是點 (-2,1) 與可行域內的點的最小距離的平方減5。由實數 x、y 所滿足的不等式組作可行域如圖所示（直線右上方）：y(-2,1) 1O 1x22x+y=1點(-2,1) 到可行域內的點的最小距離為其到直線2x+y=1 的距離，由點到直線的距離公式可求得 d|2(2) 11|4 5 ，故 d 2516

5、 5955552xy20同步訓練：已知實數x、 y 滿足 x2 y40 ,則目標函數 z x2y2 的最大值是 _。3xy30五 變換問題研究目標函數yx例 5.已知 xy 2 ，且 z2x y 的最大值是最小值的3 倍，則 a 等于（）xaA1或3B 1C2或2D 23355解析：求解有關線性規(guī)劃的最大值和最小值問題，準確畫圖找到可行域是關鍵.如圖所示，z2xy在A點和 B 點分別取得最小值和最大值. 由xa得A(a, a )，由xy 2得yx?xyB(1， 1). zmax3?,?z min3a . 由題意 B學習必備歡迎下載ab20變式練習一：如果實數a,b 滿足條件： ba10 ，則

6、a2b的最大值是a12ab基本不等式考點一：求最值例 1：求下列函數的值域（ 1） y3x 2 112x2（ 2） y x x技巧一：湊項例 1：已知 x51的最大值。，求函數 y 4 x 24x45技巧二：湊系數例 1.當時，求 yx(82x) 的最大值。技巧三：分離例 3. 求 yx27x 10 ( x 1) 的值域。x 1技巧四：換元解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x 1，化簡原式在分離求最值。y2）24t45(t 1) 7(t1 +10 = t5tttt當, 即 t=時 ,y 2t459 （當 t=2 即 x 1 時取“”號）。t技巧五：注意：在應用最值定理求最值時

7、，若遇等號取不到的情況，應結合函數f (x) x的單調性。 例：求函數yx25 的值域。x24ax學習必備歡迎下載x24t (t2)211解：令，則 yx5x244t(t 2)x24x2t因 t 0,t11，但 t1解得 t1不在區(qū)間2,，故等號不成立，考慮單調性。t1t5因為 yt單調遞增，所以在其子區(qū)間2,在區(qū)間 1,為單調遞增函數， 故 y。t2所以，所求函數的值域為5 ,。2考點二：條件求最值1. 若實數滿足 ab2 ，則 3a3b 的最小值是.2：已知 x 0, y191，求 xy 的最小值。0 ，且yx變式： （ 1）若 x, yR且 2 x y1，求 11 的最小值xy2技巧七

8、、已知 x， y 為正實數，且x 2y 1，求 x1 y2的最大值 .2分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式a 2 b 2ab。2同時還應化簡1 y 2 中 y2 前面的系數為1，x 1 y2 x2·1 y 2 222x·1y 22 2技巧八：已知a， b 為正實數， 2b ab a 30，求函數 y 1的最小值 .ab法一： a 30 2b，30 2b· b2 b 230bb 1b 1ab b 1由 a 0 得， 0 b 1學習必備歡迎下載 2t 2 34t 31161616令 tb+1，1 t 16， abt 2（ t t） 34 t t2 t · t 81 ab 18 y 18 當且僅當 t 4，即 b 3， a 6 時，等號成立。法二： 由已知得：30ab a 2b a 2b 2 2 ab 30ab 22 ab令 u ab則 u222 u 30 0， 5 2 u 3 21 ab 3 2 ， ab 18， y 18變式： 1.已知 a>0， b>0， ab (ab) 1，求 a b 的最小值。作業(yè)：1、 yx10求函數最小值 .xx2、 y1 x2x0 求函數最小值 .2