圓錐曲線題型歸納2

1、華羅庚數(shù)學(xué)為全國學(xué)生提供優(yōu)質(zhì)教育圓錐曲線題型歸納題型八軌跡問題、直接法：如果動點(diǎn)運(yùn)動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，不需要特殊的 技巧，易于表述成含 x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法。例24.已知直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q( 2, 0)，圓C的方程為X? + =1 ,動點(diǎn)M到圓C的切線長與 MQ的比等于常數(shù)(O),求動點(diǎn)M的軌跡。2 2 2【解析】設(shè)MN切圓C于N,則MN =IMo - ON 。設(shè)M(x,y), 則 X2 y2 -1 - . (x -2)2 y2 ,化簡得2 2 2 2 2( -1)(xy 4 X (1 4 O5(1) 當(dāng)，=1時，方程為X，表示一條

2、直線。4聰明在于勤奮，天才在于積累5(2)當(dāng)，=1時，方程化為(x-2222:V1 32表示一個圓。例25.如圖，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2 =4.過動點(diǎn)P分別作圓O2、圓O2的切線PM ,PN(M ,N分別為切點(diǎn))，使得PM = 2PN 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點(diǎn)P的軌跡方程【解析】以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線為X軸, 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則01(-2,0)， O2(2,0).由已知 PM=J2PN ,得 PM 2 =2PN 2.因?yàn)閮蓤A半徑均為 1 ,所以PO12 -1 =2(PO： -1).設(shè) P(X,y),貝U (X 2)2 y2 1 =2(x 2)

3、2 y2 -1,2222即(X -6) y =33.(或 Xy 12x 3=0)方法總結(jié)：1、用直接法求動點(diǎn)軌跡一般有建系 ，設(shè)點(diǎn)，列式，化簡，證明五個步驟，最后的證明可以省略,但要注意“挖”與“補(bǔ)”。2、求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡卻不僅要求出方程而且要說明軌跡是什么。、定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。例26.已知動圓過定點(diǎn)2,0 ，且與直線X 一:相切，其中P . 0.求動圓圓心C的軌跡的方程;【解析】如圖，設(shè)M為動圓圓心，P ,0為記為F ,過點(diǎn)M作直線x = _P2I I

4、 I I的垂線，垂足為 N ,由題意知：MF = MN即動點(diǎn)M到定點(diǎn)F與定直線X=-P的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，其中2F P ,0為焦點(diǎn)，x = -P為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為 y2=2px（P0）。2 2例27.已知圓O的方程為x2+y2=100,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0），M為圓O上任一點(diǎn)，AM的垂直平分 線交OM于點(diǎn)P,求點(diǎn)IP的方程。II【解析】由中垂線知，PA=PM故PA Po = PM Po= OM -10，即P點(diǎn)的軌跡為以A、O為焦點(diǎn)的橢圓，中心為（-3，0），故P點(diǎn)的方程為2 2(X 3). y2516125 。ABCI可求得動點(diǎn)P的軌跡方程為:例28.已知A

5、、B、C是直線I上的三點(diǎn)，且IABFlBC=6 , O'切直線I于點(diǎn)A,又過B、C作O 0'異于I的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的軌跡方程.【解析】設(shè)過B、C異于I的兩切線分別切O 0'于D、E兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn) P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD| , |PDFIPEI , |CAFICEI ,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC| ,故由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以 B C為兩焦點(diǎn)的橢圓，以I所在的直線為X軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系,2

6、 2U18172方法總結(jié)：定義法的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化一一轉(zhuǎn)化成某一基本軌跡的定義條件。、相關(guān)點(diǎn)法（代入法）：動點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點(diǎn)P（x,y）卻隨另動點(diǎn)Q（X' y'）的運(yùn)動而有規(guī)律的運(yùn)動，且動點(diǎn)Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將X' ,y'表示為x,y的式子，再代入 Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法。幾何法：利用平面幾何或解析幾何的知識分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律和動點(diǎn)滿足的條件，然而得出動點(diǎn)的軌跡方程。2 2例29.如圖，從雙曲線 x-y =1上一點(diǎn)Q引直線+y=2的垂線，垂足為 N。求線段QN的中點(diǎn)P的軌

7、跡方程。【解析】設(shè)動點(diǎn) P的坐標(biāo)為（x,y）,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x,y）貝U N（ 2x-x1,2y-y）代入 x+y=2,得 2x-x1+2y-y =2又PQ垂直于直線x+y=2,故-一y =1,即卩x-y+y-x=0X-X13 113由解方程組得 x1X y-1,y1 X y1 ,代入雙曲線方程即可得 P點(diǎn)的軌跡方2222程是 2x2-2y2-2x+2y-1=02 2例30.已知橢圓 務(wù)+ y2=1（a Ab >0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1（c,0）、F2（c,0）,Q是橢圓外a b的動點(diǎn)，滿足IFIQI=2a點(diǎn)P是線段RQ與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn) T在線段F2Q上，并且滿足PT TF0,TF2

8、 F0求點(diǎn)T的軌跡C的方程；【解析】解法一：（相關(guān)點(diǎn)法）設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x, y）.當(dāng)| PT |=0時，點(diǎn)（a , 0）和點(diǎn)（一a , 0）在軌跡上.當(dāng) I PT 卜 0且 ITF2 卜 0 時，由 PT TF2 = 0 ,得 PT TF2 .又I PQ I=I PF2 I ,所以T為線段F2Q的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（XIy ),X +cX =2因此X=2x-c,Ly =2y由 IRQF2a得(X c)2 y 2 =4a2將代入，可得X2 ya2.綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是X2 ya2解法二：（幾何法）設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x, y）.當(dāng)ipti = 0時，點(diǎn)（a, 0）和點(diǎn)（a , 0）在軌跡

9、上為全國學(xué)生提供優(yōu)質(zhì)教育當(dāng)丨 PTl=O且 TF2 I=O時，由 IPTl TF2 卜0 ,得 PT _ TF2 又 IPQ I=I PF2 | ,所以 T為 線段F2Q的中點(diǎn)在厶QF1F2中，IOT I= 11 F1Q Ha ,所以有X2 y2 = a2.2綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是X2 y2 =a2方法總結(jié)：一般地：定比分點(diǎn)問題，對稱問題或能轉(zhuǎn)化為這兩類的軌跡問題，都可用相關(guān)點(diǎn)法。四、參數(shù)法：求軌跡方程有時很難直接找到動點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)），使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點(diǎn)的軌跡方程。例31.在平面直角坐標(biāo)系 XOy 中,拋

10、物線y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn) O的兩不同動點(diǎn) A、B滿足AO Bo（如圖所示）求厶AOB的重心G （即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；【解析】解法一：以 OA的斜率k為參數(shù)，由啊y二 kx2 二 X聰明在于勤奮，天才在于積累91ykx ,解得2設(shè)厶AOB的重心G（ X，y），則解法二：設(shè) AOB 的重心為 G(x,y),A(X1,y1),B(2,y2),則X1 +x2X =3 ( 1)1OAOB, OB： y X 由k i y = XXJ kJk丿2丄k22 2消去參數(shù)k,得重心G的軌跡方程為y =32 23°AOB koA koB一1 ,即 X1X2y”2 =T ,田華羅庚數(shù)學(xué)又點(diǎn)

11、A, B在拋物線上，有 y =xj,y2 =x；,代入(2)化簡得x1x2-1y1+y2l22l212 22 2y -(x1x2)(x1 x2) - 2x1x2(3x)3x33333322所以重心為G的軌跡方程為y=32-。3例32.如圖，設(shè)拋物線C : y =X2的焦點(diǎn)為F,動點(diǎn)P在直線丨：X 一 y 一 2 =O上運(yùn)動，過P作拋物線C的兩條切線PA PB,且與拋物線 C分別相切于 A、B兩點(diǎn)求 APB的重心G的軌跡方程【解析】設(shè)切點(diǎn) A、B坐標(biāo)分別為(X,X；)和,切線AP的方程為：2x0x - y-x2 =0;-切線BP的方程為：2x1X-y-X1 = 0;解得 P點(diǎn)的坐標(biāo)為： XP=X

12、0 £ X1 , yP二x0x1X + X + X所以 APB的重心G的坐標(biāo)為 XG01 P=XP ,3yG2X0X12X0X1(X。Xj2 -X°X134xp2 - yp所以yp =-3yG 4xG ,由點(diǎn)P在直線上運(yùn)動，從而得到重心 G的軌跡方程為: X -(-3y 4x2) -2 =0,即y gx2 -x 2).五、交軌法：求兩動曲線交點(diǎn)軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點(diǎn)時常用此法, 也可以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程。交軌法實(shí)際上是參數(shù)法中 的一種特殊情況。2例33.過拋物線y ' 4px(p O)的頂點(diǎn)作互相垂直

13、的兩弦OA、OB,求拋物線的頂點(diǎn) O在直線AB上的射影M的軌跡。2解1 (交軌法)：點(diǎn)A、B在拋物線y2 = 4p( P 0)上，設(shè)A(注 4pYa)，B(y旦，Yb),所以 k°A=424pYakoB=4P，由 OA 垂直 OB 得 koA koB = -1,得 yAyB= -16p2，又 AB 方程可求得 Yb2y yA = (X- YA)，即(yA+yB)y-4px-yAyB=0，把 yAyB= -16p2代入得 AB方程Ya Yb 4p4p 4p2Y a + Yb（Ya+yb） y-4px+16p =0 又 OM 的方程為 y -X -4P由消去得 Ya+yb 即得 2 y2

14、 -4p = 0，即得（x 2p）2 y2 = 4 p2。所以點(diǎn)M的軌跡方程為（X-2p）2 y2 =4p2 ,其軌跡是以（2p,0）為圓心，半徑為2p的圓， 除去點(diǎn)（0，0）。解2 （幾何法）：由解1中AB方程（ya+yb） y-4px+16p2 =0可得AB過定點(diǎn)（4p,0）而OM垂直AB, 所以由圓的幾法性質(zhì)可知：M點(diǎn)的軌跡是以（2p,0）為圓心，半徑為2p的圓。所以方程為2 2 2（x-2 P） y = 4p ，除去點(diǎn)（0，0）。方法總結(jié)：用交軌法求交點(diǎn)的軌跡方程時，不一定非要求出交點(diǎn)坐標(biāo)，只要能消去參數(shù)，得到交點(diǎn) 的兩個坐標(biāo)間的關(guān)系即可。例34.已知定點(diǎn)F（ 1，0），動點(diǎn)P在y軸上

15、運(yùn)動，過點(diǎn) P作PM交X軸于點(diǎn)M ,并延長MP到點(diǎn)N，且 PM PF= 0, PM 冃 PN |.（1）動點(diǎn)N的軌跡方程;（2）線I與動點(diǎn)N的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，若 OA OB = -4,且4 6 <| AB F 4 30 ,求直線 l的斜率k的取值范圍.解：（1）設(shè)動點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x,y），則M (-x,0),P(0,PF=（1,y）,由 PM PF = 0得X+L24（2）設(shè)I與拋物線交于點(diǎn) A（ X1,y1）,B（X2,y2），當(dāng)I與X軸垂直時，則由=0，因此，動點(diǎn)的軌跡方程為2y =4X(X 0).OA OB =-4,得 =2 2,y2 =-22, AB=4 24 6 ,不合題意

16、，故與l與X軸不垂直，可設(shè)直線華羅庚數(shù)學(xué)為全國學(xué)生提供優(yōu)質(zhì)教育I的方程為y=kx+b(k 0)則由OA OB- -4,得X1X2 12 -4 ,由點(diǎn)A, B在拋物線y2 =4x(x 0)上,有 y1 =4x1,yj =4x2,故y1y2 = -8.又 y2=4x, y=kx+b 得 ky2- 4y+4b=0,所以因?yàn)?b = -8,b = -2k . : =16(1 2k2), AB 2 = 1 (1t 32)， kk k4 .6 AB 氏4.30,所以 96 <32480聰明在于勤奮，天才在于積累31解得直線I的斜率的取值范圍是一1,一$1,1 2 2題型九對稱問題2 2XV例35.若

17、橢圓1上存在兩點(diǎn)A,B關(guān)于I : y =4x m對稱，求m的取值范圍。23221解法（1）設(shè)直線AB的方程為y = X + n ,二由4X-23 消去y得1 +y = 一 X + n42 225x -8nx 16n -48 =O,由題意知該方程有兩個不等實(shí)根，故225n8設(shè) A Xi, y ,b X2, y ,則X1X2設(shè)AB中點(diǎn)M xo, yo ,則4nXo258n25 ,124nV0X0 n =425又點(diǎn)M在直線y = 4x m上，.24 n2516nm . n2525m25< 一82/2 m5解法(2):設(shè)A x1,y1 ,B X2, y2 , AB M X0, y , K AB1

18、Ki 4丫2 - V1X2 -X13x12 +2v2 =6J ZJZ又A,B在橢圓上,22,兩式相減得 3(x1 +2 Ix1 -X2 )+2(y1 + V2 I V1 - V2 )= 0 ,3x2 2v2 =6即 3 *2x0 2 *2y0 定 y1 = 0 ,也即 y0 = 6x0X2-X1二二中點(diǎn)M在I上丫0 = 4x0 m由(1徉求得M Ifm,m ),又二I必在橢圓內(nèi)部.3x0 2y0 ： 6< 6 ,解得一空2 ：m ：乙2。5例36.已知實(shí)軸長為2a,虛軸長為2b的雙曲線S的焦點(diǎn)在X軸上，直線y -3x是雙曲線S的一條漸近線，而且原點(diǎn)0,點(diǎn) A(a，0)和點(diǎn)B (0, -b

19、)使等式 IOA 2 |OB |4 |0A|2 0b2 成3(I)求雙曲線S的方程;(II)若雙曲線S上存在兩個點(diǎn)關(guān)于直線I : y = kx 4對稱，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.2解：(I)根據(jù)題意設(shè)雙曲線 S的方程為Xia2計1,b = 3 且 a2 丄 1 242. 2a +b =-a bJ3解方程組得a =1,b =3.所求雙曲線的方程為2y IX1.3(II)解法一(設(shè)而不求法)：當(dāng)k=0時，雙曲線S上顯然不存在兩個點(diǎn)關(guān)于直線l : y =kx 4對稱;當(dāng)k=0時，設(shè)雙曲線S上的兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線I對稱，由I_ MN ,直線MN的方程為y = -x m,則M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 k-X

20、m) k ,2 23x - y - 3.消去y得2 2 2 2 2(3k -1)x2kmx-(m 3)k = 0.顯然 3k -1-0,2 2 2 2 ： =(2km)2 4(3k21)(m2 3)k2 0.即 k2m23k2-1 0.設(shè)線段MN中點(diǎn)為D(x0,y0),貝U-kmx° ：3k2 -13k2my。：3k2 -1D(x0, y°)在直線 l : y = kx 4上,2 23k m km,4.即 k m =3k T.3k -1 3k -1k2m =3k2 -1k2m2 3k2 -102 2 2km mk 0,解得 m O或 m ： -1.3 .0 或k亠 3k2

21、-12 12 1'31.k 或 k .即 | k | 或 |k|：,且 k = 0.3432了311?3.k 的取值范圍是(-二， -)(-一,0) (0, ) (：)3223解法二(點(diǎn)差法)：當(dāng)k=0時，雙曲線S上顯然不存在兩個點(diǎn)關(guān)于直線丨：y =kx 4對稱;當(dāng)k =0時，設(shè)M(x1,y1)N(x2,y2)且MN的中點(diǎn)P(x, y)則M、N在雙曲線上，有22y1X1=132兩式相減整理得2y2X2=13«-紡3（1X2）又 yY21X1-X2y1y2X1 -血kx1 x2 =2xy1 y2 =2y1所以y - -3kx代入y =kx 4得P（_ ,3）又P在雙曲線的內(nèi)部，

22、故）2 3 1 或（- 一）" 3 ： 0解得 | k |或 | k | ：,且k - 0.kk32/-/-3113.k 的取值范圍是（-：，）（-一,0）（0-） C。3223題型十存在性問題2X 例37.設(shè)橢圓E: a2 _ _y2=1( a,b>0)過 M (2，J2)，N(J6,1)兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn), b(I)求橢圓E的方程;(II)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn) A,B,且OA OB ?若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解：(1)因?yàn)闄E圓E:22Xy22=1 （ a,b>0）ab過 M (

23、2，)，N( 76 ,1)兩點(diǎn)，芻1所以a2 b2A丄=1a2 b21解得a28 所以丄Ub242ab2_8 2 2 橢圓E的方程為X 乞=1=484 O（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A, B,且O_OB，設(shè)該圓的切線方程為y = kx+m 解方程組.匚 y = kx mx2 y2 得 X +2(kx+m) =8 即 一 + =1 ' 84,2 2(1 2k )x2 2 2 2 24kmx 2m -8=0 ,則 = 16k m -4(1 2k )(2m -8)=8(8k2 2- m 4) 0即8k24km-m2 4 .0 oX1 X221+2k

24、 ,2m2 _8X1X2牙1 2k2 2y1y2 =(kx1 m)(kx2 m) =k x1x2 km(x1 x2) mk2(2m2 -8) 4k2m21 2k22 +m1 2k222m - 8k1 2k2要使OA-OB ,需使住"。，即52 2m -8k+1 2k所以3m2_8k2_8=0 所以/二吟一0。又8k2一m2 4 0，所以2m23m_82所以m23即2、62 6即m或m _ -33因?yàn)橹本€y =kx m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為Jk222 m,r 21 +k22mI 3m2 -888,r二亠6 ,所求的圓為X2 V8333此時圓的切線y = kx m都滿

25、足2、6亠.2用m 或 m - 一33而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為X =2 2X V與橢圓1的兩個84交點(diǎn)為（乙2 _二）或（3332 6 2 6、-V)滿足Q-QB O綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓因?yàn)? 2 8X V = _34km_ 21 2k2 ,2m-8X1X2牙1 2kXiX2 口所以(x1 -X2)2 = (x1 X2)2 -4x1x2 =(,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn) A,B,4km、2, 2m2 -88(8k2E 4 7 _m24)(1 2k2)2I AB I= (XI -X2) ' y1 -y2 - (I k )(X x2)=(1.k2)8(8k2 - 亦

26、 4)(V 2k2)232 4k4 5k2 13 4k4 4k2 1k23 1 4k4 4k2 1,當(dāng) k"時 |ABH 321：34k2®43232_所以1乞12,332133 4k 2 4k當(dāng) k =0時,AB = 4 632 1 1 1因?yàn)?4k22 4 _ 8 所以 0 ： -k2“2 亠 Iyl8，4+4k2所以4：| AB2'3當(dāng)且僅當(dāng)k 2時取”=”32 當(dāng)AB的斜率不存在時，兩個交點(diǎn)為(癥,一衛(wèi))或(-遼,一題),所以此時|AB|=,33333綜上,|AB | 的取值范圍為 4_| AB |_2、,3 即:| ABp .6,2,333O2例38.在平

27、面直角坐標(biāo)系 XOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0, 2)且斜率為k的直線I與橢圓 y2 = 1有兩個不同2(I)求k的取值范圍;(II)設(shè)橢圓與X軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A B ,是否存在常數(shù)k ,使得向量T T TOP OQ與AB共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由._ 2解: (I)由已知條件，直線l的方程為k,代入橢圓方程得行(kXT)T.整理得1 k2 2 +2 JJkX +1 = 0 直線I與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)P和Q等價于l2J=Bk2 -4 I1 k2 '=4k2-20 ,解得k -或k - 即k的取值范圍為12丿 2 2()設(shè) P(X, yj, Q(X2,y2),則

28、 OP OQ= (Xi X2,yi y2),由方程,X1X2 =4. 2k1 2k2又 y1 y2 = k(x1 x2) 22 .而 A( 2,0, B(0,),AB = ( _、, 2，).所以 OP OQ 與 AB 共線等價于 X1 X2 - -2(yr y2),將代入上式，解得k詩.由 (I) 知 kV或k與，故沒有符合題意的常數(shù)X2y2例39.設(shè)Fi、F2分別是橢圓+= 1的左、右焦點(diǎn)54(I)若P是該橢圓上的一個動點(diǎn)，求PF1 PF2的最大值和最小值；()是否存在過點(diǎn)A ( 5,0)的直線I與橢圓交于不同的兩點(diǎn)CD,使得F2C=F2D?若存在，求直線I的方程；若不存在，請說明理由.解

29、：易知 a -5,b = 2,c = 1, F1 = (-1,0), F2(1,0),設(shè) P (x, y),則 PFI PF2 = (-1 X, y) (1 - X, y) = X2 y2 -1, 24 -4 2 -1 = 1 2355；X -'、5, 5, 當(dāng)X = 0 ,即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時，PF1卩F2有最小值3;當(dāng)X= . 5 ,即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時，PF1 PF2有最大值4 。()假設(shè)存在滿足條件的直線l ,易知點(diǎn)A ( 5, 0)在橢圓的外部，當(dāng)直線I的斜率不存在時，直線I與橢圓無交點(diǎn)，所在直線I斜率存在，設(shè)為k,直線l的方程為y =k(x-5),'2 211

30、2 2 2 2由方程組 54 ,得(5k4)x -50k X 125k -20=0y k(x-5)依題意 A. =20(16 -80k2)0,得2k5當(dāng)*亠時，設(shè)交點(diǎn)55c(x1,yj、D(X2,y2) , CD 的中點(diǎn)為 R(X0,y°),則 X1X250k25k24X0X1X 2225k25k24=k(xo -5) =k(25k25k24-5)-20k5k24又 F2C=F2Du F2RJ = k Rf2R=T ,0-(kkF2R20k )5k24)25k225k 4220k24 -20k2 20k2=20k2- 4,而 20k2=20k2- 4 不成立,所以不存在直線I ,使得

31、F2C=F2D。綜上所述，不存在直線l,使得F2C=F2D2 2例40.橢圓G:X-y-=1(a b . 0)的兩個焦點(diǎn)為F1'F2,短軸兩端點(diǎn)Bi、B2,已知FvF2、Bra bB2四點(diǎn)共圓，且點(diǎn) N ( 0, 3)到橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離為 5.、2.(1) 求此時橢圓G的方程；(2) 設(shè)斜率為k ( k0的直線m與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn) E F, Q為EF的中點(diǎn)，問E、F<3兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn) P (0, 3 )、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由.3解：(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，線段F1F2與線段B1B2互相垂直平分，故橢圓中心即為該四點(diǎn)外接圓的圓心，故該

32、橢圓中a =、一2b = . 2c,即橢圓方程可為X2 2y2 =2b2 , H (x,y)為橢圓上一點(diǎn)，則 IHN I2 = X2 (y 一3)2 =-(y - 3)2 2b2 18,其中b 乞 b , 0 . b .： 3 ,貝U 目=b時,| HN |2有最大值 b2 6b 9 , b2 6b 9 = 50得b_5、2 (舍去)，2 2 2 2b_3,當(dāng)目=T時,|HN |2 有最大值 2b218 , 2b 18=50得b -16 ,2 2所求橢圓方程為-y 132162 23216(2)設(shè) E(X1 ,yI), F(X2, y2), Q(X0,yO),則由彳 22兩式相減得 x

33、6; + 2ky° = 0 區(qū)+ =13216又直線PQ丄直線 m,直線PQ方程為將點(diǎn)Q ( X0,y°)代入上式得,1y。 X0k由得Q( Uk 亠33),Q點(diǎn)必在橢圓內(nèi)部I，由此得k2弓又k7 -仝4*0或0 *.942P、Q的直線對稱。3 ,過右焦點(diǎn)F的直線I與C相交于A、B兩4v'94故當(dāng)k (=,0)(。,)時，BF兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)22X yC : + -T =1(a a b >0)例41.已知橢圓 a b的離心率為點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時，坐標(biāo)原點(diǎn)o到l的距離為2。(I)求a , b的值;T T T(Il) C上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)I繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有

34、OP =OA OB成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與I的方程；若不存在，說明理由。解：(I)設(shè)F c,0 ,當(dāng)I的斜率為時，其方程為x-y-c=0,O到I的距離為0 -0 -c2,故,得() C上存在點(diǎn)P ,使得當(dāng)I繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有 OP = OA OB成立。由(I)知橢圓C的方程為2 22x +3y =6.設(shè) A(X1,y1), B(X2, y2).(i )當(dāng)I不垂直X軸時，設(shè)I的方程為y = k(x -1)假設(shè)C上存在點(diǎn)P,且有OP=OA OB成立,則 P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1+2, y1 十 y2), 2(x1+x2)2+ 3(y1 + y2)2=6 整理得2 2 2 22x1 3y12x

35、2 3y2 4x1X2 6y1y2=62 2 2 2又A、B在C上，即 2X13y1 =6,2x2 3y2 =6故 212 3y1 y23 = 0將y =k(x -1)代入2x2 3y2 = 6,并化簡得2222(2 3k )x -6k x 3k -6 = 0S 丄6k23k2_6是 X1 X2=冇'X1X2=右24k2yy =k2(X1 -1)決-2)22 + 3k代入解得,2 C3k =2，此時 122k3k是 5 2= k(%X2 -2)=，即 P(-，)222因此,=-、2 時，P(?,-2)， I 的方程為 '.2y-,2=0 ；2 2綜上,例42.當(dāng)I垂直于C上存在

36、點(diǎn)32h：2 時，P(, ” )，I 的方程為 '.2x - y -、.2 = 0。2 -2)，X軸時，由OA OB =(2,0)知，C上不存在點(diǎn)P使OP=OA OB成立。P(3_)使 OP=OA OB 成立，此時 I 的方程為、.2x_ y -2 = 0.2 22 2X VX-2v+2-0Cr+72 T(a>b a0)C已知直線x zy 2 一 0經(jīng)過橢圓a b的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D,橢圓C的I 10I ： 右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓C上位于X軸上方的動點(diǎn)，直線AS, BS與直線3分別交于M , N兩點(diǎn)。(I)求橢圓C的方程；()求線段MN的長度的最小值;(川)當(dāng)線段MN的長度最小時

37、，在橢圓C上是否存在這樣的點(diǎn)T ,使得TSB的面積為5 ?若存在，確定點(diǎn)T的個數(shù)，若不存在，說明理由解：(I)由已知得，橢圓 C的左頂點(diǎn)為 A(-2,0),上頂點(diǎn)為D(0,1),. a=2,b=12故橢圓C的方程為 y2 =14()直線AS的斜率k顯然存在，且k 0,故可設(shè)直線 AS的方程為y =k(x 2),從而QA=k(x + 2)1016k2222M(-,)由 x22 得(1+4k )x +16kx+16k 4 = 0,3 3 + y2=1，.4 y設(shè) S(x1,yJ,則(一2), Xl2216k -4/曰2-8kZ4k2得x12 ,從而y121 4k1 4k1 4k2即S(2-8k22

38、1 4k又 B(2,0)由 <，1y (X-2) 4k10X=310X =得 3y丄Iy 3k1 0 1N(-r ,-故IMN I =3 3k16k1+ 3 3k又k >0二|MN |=空+丄色2Qk 丄 =8 ,當(dāng)且僅當(dāng)16k =丄，即k=1時等號成立。3 3k V 3 3k 33 3k4.k =1時，線段MN的長度取最小值843 O1（川）由（）可知，當(dāng) MN取最小值時，k此時BS的方程為46 4442X y亠。,特訐昭=2 ,所以41要使橢圓C上存在點(diǎn)T ,使得TSB的面積等于-，只須T到直線BS的距離等于5J2T在平行于BS且與BS距離等于 的直線I上。4設(shè)直線l : x+

39、 y + t =0 ,則由垮呼解得tV或t 一5例43.已知雙曲線X2 y2=2的左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 ,過點(diǎn)F2的動直線與雙曲線相交于 A, B兩點(diǎn).（I）若動點(diǎn)M滿足FM =裁忌FO （其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)M的軌跡方程;（II）在X軸上是否存在定點(diǎn) C ,使CACB為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn) C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：(I)由條件知 Fl(-2,0) , F2(2,0),設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2) 設(shè) M (x, y),則 HM =X 2y ),TT-H-> T I TF1A = (x12, y1) , F1B = (x22, y2),F1O = (2,0),由 FMl