高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）【經(jīng)典微課堂】——規(guī)范答題系列3 高考中的立體幾何問(wèn)題 教案

1、1命題解讀立體幾何是高考的重要內(nèi)容，從近五年全國(guó)卷高考試題來(lái)看，立體幾何每年必考一道解答題，難度中等，主要采用“論證與計(jì)算”相結(jié)合的模式，即首先利用定義、定理、公理等證明空間的線線、線面、面面平行或垂直，再利用空間向量進(jìn)行空間角的計(jì)算，考查的熱點(diǎn)是平行與垂直的證明、二面角的計(jì)算，平面圖形的翻折，探索存在性問(wèn)題，突出三大能力：空間想象能力、運(yùn)算能力、邏輯推理能力與兩大數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想的考查典例示范(本題滿分12分)(2019全國(guó)卷)圖1是由矩形ADEB、 RtABC和菱形 BFGC 組成的一個(gè)平面圖形，其中 AB1，BEBF2，F(xiàn)BC60，將其沿 AB，BC 折起使得 BE

2、與 BF 重合，連接 DG，如圖 2.圖 1圖 2(1)證明：圖 2 中的 A，C，G，D 四點(diǎn)共面，且平面 ABC平面 BCGE；(2)求圖 2 中的二面角 BCGA 的大小.信息提取看到想到四邊形 ACGD 共面的條件， 想到折疊前后圖形中的平行關(guān)系；看到想到面面垂直的判定定理；看到想到利用坐標(biāo)法求兩平面法向量的夾角余弦值，想到建立空間直角坐標(biāo)系規(guī)范解答(1)由已知得 ADBE，CGBE，所以 ADCG，故 AD，CG確定一個(gè)平面，從而 A，C，G，D 四點(diǎn)共面. 2 分由已知得 ABBE，ABBC，且 BEBCB，故 AB平面 BCGE. 3 分又因?yàn)?AB平面 ABC，所以平面 ABC

3、平面 BCGE. 4 分(2)作 EHBC，垂足為 H.2因?yàn)?EH平面 BCGE，平面 BCGE平面 ABC，所以 EH平面 ABC. 5 分由已知，菱形 BCGE 的邊長(zhǎng)為 2，EBC60，可求得 BH1，EH 3. 6 分以 H 為坐標(biāo)原點(diǎn)，HC的方向?yàn)?x 軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Hxyz，則 A(1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0， 3)，CG(1，0， 3)，AC(2，1，0). 8 分設(shè)平面 ACGD 的法向量為 n(x，y，z)，則CGn0，ACn0，即x 3z0，2xy0.9 分所以可取 n(3，6， 3). 10 分又平面 BCGE 的法向量可取為

4、 m(0，1，0)，所以 cosn，mnm|n|m|32. 11 分因此，二面角 BCGA 的大小為 30. 12 分易錯(cuò)防范易錯(cuò)點(diǎn)防范措施不能恰當(dāng)?shù)慕⒅苯亲鴺?biāo)系由(1)的結(jié)論入手， 結(jié)合面面垂直的性質(zhì)及側(cè)面菱形的邊角關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系建系后寫不出 G點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合折疊后棱柱的側(cè)棱關(guān)系：CGBE可求出CG，或者借助折疊前后直角三角形的邊角關(guān)系，直接求出點(diǎn) G 的坐標(biāo)通性通法合理建模、建系巧解立體幾何問(wèn)題(1)建模將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型、平面化模型或角度、距離等的計(jì)算模型；(2)建系依托于題中的垂直條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解3規(guī)范特訓(xùn)1.(2019江南十校二模)已知多

5、面體ABCDEF，四邊形 BCDE 為矩形，ADE 與BCF 為邊長(zhǎng)為 22的等邊三角形，ABACCDDFEF2.(1)證明：平面 ADE平面 BCF；(2)求 BD 與平面 BCF 所成角的正弦值解(1)取 BC，DE 中點(diǎn)分別為 O，O1，連接 OA，O1A，OF，O1F.由 ABACCDDFEF2，BCDECFAEADBF2 2，可知ABC，DEF 為等腰直角三角形，故 OABC，O1FDE，CDDE，CDDF，又 DEDFD，故 CD平面 DEF，平面 BCDE平面 DEF，因?yàn)槠矫?BCDE平面 DEFDE，O1FDE，所以 O1F平面 BCDE.同理 OA平面 BCDE；所以 O1

6、FOA，而 O1FOA，故四邊形 AOFO1為平行四邊形，所以 AO1OF，AO1平面 BCF，OF平面 BCF，所以 AO1平面BCF，又 BCDE，故 DE平面 BCF，而 AO1DEO1，所以平面 ADE平面BCF.(2)以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 以過(guò) O 且平行于 AC 的直線作為 x 軸，平行于 AB 的直線作為 y 軸，OO1為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖則有 B(1，1，0)，C(1，1，0)，D(1，1，2)，F(xiàn)(1，1，2)，故BD(2，2，2)，BC(2，2，0)，BF(2，0，2)設(shè)平面 BCF 的法向量為 n(x，y，z)，由BCn，BFn 得2x2y0，2x2z0，取

7、x1 得 y1，z1，故平面 BCF 的一個(gè)法向量為 n(1，1，1)設(shè) BD 與平面 BCF 所成角為，則 sin |cosBD，n|212（1）2132 3|13.故 BD 與平面 BCF 所成角的正弦值為13.2(2019河南、河北考前模擬)如圖，在矩形 ABCD 中，AB2，BC3，點(diǎn)E 是邊 AD 上的一點(diǎn)， 且 AE2ED，點(diǎn) H 是 BE 的中點(diǎn)，將ABE 沿著 BE 折起，4使點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) S 處，且有 SCSD.(1)證明：SH平面 BCDE.(2)求二面角 CSBE 的余弦值解(1)證明：取 CD 的中點(diǎn) M，連接 HM，SM，由已知得 AEAB2，SESB2，又點(diǎn) H

8、 是 BE 的中點(diǎn)，SHBE.SCSD，點(diǎn) M 是線段 CD 的中點(diǎn)，SMCD.又HMBC，BCCD，HMCD，SMHMM，從而 CD平面 SHM，得 CDSH，又 CD，BE 不平行，SH平面 BCDE.(2)法一：取 BS 的中點(diǎn) N，BC 上的點(diǎn) P，使 BP2PC，連接 HN，PN，PH，可知 HNBS，HPBE.由(1)得 SHHP，HP平面 BSE，則HPSB，又 HNBS， HNHPH， BS平面 PHN，二面角 CSBE 的平面角為PNH.又計(jì)算得 NH1，PH 2，PN 3，cosPNH1333.法二：由(1)知，過(guò) H 點(diǎn)作 CD 的平行線 GH 交 BC 于點(diǎn) G，以點(diǎn) H 為坐標(biāo)原點(diǎn)，HG，HM，HS 所在直線分別為 x 軸、y 軸、z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Hxyz，則點(diǎn) B(1，1，0)，C(1，2，0)，E(1，1，0)，S(0，0， 2),BC(0，3，0)，BE(2，2，0)，BS(1，1， 2)5設(shè)平面 SBE 的法向量為 m(x1，y1，z1)，由mBE2x12y