高等數(shù)學(xué)：深度思維訓(xùn)練討論題15a二重積分

1、品味數(shù)學(xué)（觀察、發(fā)現(xiàn)，試探，整理，品味），提高思維討論題151、求，其中積分區(qū)域D為由曲線及軸圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域。解 先聯(lián)立，解得第一象限的交點(diǎn)為，作圖略。，或者試試！2、求，其中積分區(qū)域D為由及圍成解 求交點(diǎn)作圖（略），3、計算解 需要交換積分次序，依據(jù)上下限先表述出積分區(qū)域作圖，再改表述方式為，從而 4、求解 為了避免麻煩，需要交換積分次序，依據(jù)上下限先表述出積分區(qū)域，作圖，再改表述方式為，從而 5、求，其中積分區(qū)域D為由圍成解 用曲線將區(qū)域分成兩個關(guān)于坐標(biāo)軸有對稱性的區(qū)域，用對稱性6、求為解 直線將區(qū)域分成上下兩部分，分塊積分7、計算為解 因?yàn)閰^(qū)域D關(guān)于兩個坐標(biāo)軸及原點(diǎn)都對稱，又被積

2、函數(shù)，故8、求解 ，先由解得交點(diǎn)，作圖看出或推出，從而原式9、求，其中D是和的公共部分解 由區(qū)域的極坐標(biāo)曲線，解得交點(diǎn)的極坐標(biāo)，從而10、求解 所給積分區(qū)域在極坐標(biāo)下可以表示為于是 原式11、求解 ，從而 原式12、（1）設(shè)在上連續(xù)，利用二重積分證明：證 記，則又從而故 （注：用不等式也可以證明的！試思考）（2）設(shè)在上連續(xù)，利用二重積分證明：證 記，則，從而又從而，故13、求二重積分的值，其中D是由直線圍成的平面區(qū)域。解 故14、設(shè)，求，其中解 設(shè)從而15、計算，其中解設(shè)則原式16、計算二重積分，其中解 設(shè)故 原式17、設(shè)閉區(qū)域?yàn)镈上的連續(xù)函數(shù)，且。求解 由于閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的重積分存在，可設(shè)

3、，則，從而故17+、設(shè)圍成閉區(qū)域D，為D上的連續(xù)函數(shù)，且。求。（答案）18、求，其中D是由圓及所圍成的平面區(qū)域（編者注：兩圓為邊界線，即夾夾在中間）解 設(shè)，由區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性，得或19、計算解 設(shè)。令，則當(dāng)或時，當(dāng)時，故有原式 (用到：)20、求解下列各題（1）、求極限，其中；（2）、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，求極限，其中解（1）、由積分中值定理，存在，使得=；（2）、由積分中值定理，存在，使得21、判別的符號，其中解 。在內(nèi)，則為其面積；在內(nèi)，則為其面積；由中值定理，得22、求，其中D是由圍成的區(qū)域。解 作圖，發(fā)現(xiàn)添加輔助線能夠造出關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的兩塊來。其中關(guān)于軸對稱，關(guān)于軸對稱，故（分

4、塊用對稱性質(zhì)）23、設(shè)函數(shù)是正值連續(xù)函數(shù)，計算二重積分，其中D為圓域：解 由于積分區(qū)域關(guān)于對稱，從而因此24、計算，其中解 設(shè)則25、計算解 26、設(shè)函數(shù)是區(qū)間上的正值連續(xù)函數(shù)，用二重積分性質(zhì)證明： 證 由定積分性質(zhì)再轉(zhuǎn)化為二重積分，用性質(zhì)，得27、設(shè)函數(shù)是區(qū)間上的可積函數(shù)，用二重積分性質(zhì)證明：證 設(shè)區(qū)域則28、設(shè)，求為全平面。解 從而29、作適當(dāng)?shù)淖儞Q計算下列二重積分（1）；（2），其中由直線圍成；（3）；（4）；（5），其中由線圍成；（6），其中由線圍成解 （1）用廣義極坐標(biāo)，令，則積分區(qū)域在廣義極坐標(biāo)下為；（2）令，則；（3）令，則， 原式=；（4）令，則， 原式；（5），其中由線圍成；解 令，則原式（6），其中由線圍成解 令，則原式3