《用向量法求異面直線所成的角》教案

1、第一講：立體幾何中的向量方法利用空間向量求異面直線所成的角大家知道，立體幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個難點，以往學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何時，主要采取“形到形”的綜合推理方法，即根據(jù)題設(shè)條件，將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，再由線線，線面等關(guān)系確定結(jié)果，這種方法沒有一般規(guī)律可循，對人的智力形成極大的挑戰(zhàn)，技巧性較強， 致使大多數(shù)學(xué)生都感到束手無策。高中新教材中， 向量知識的引入，為學(xué)生解決立體幾何問題提供了一個有效的工具。它能利用代數(shù)方法解決立體幾何問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。并且引入向量，對于某些立體幾何問題提供通法，避免了傳統(tǒng)立體幾何中的技巧性問題，因此降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，體現(xiàn)了新課程理

2、念。為適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教材改革的需要，需要研究用向量法解決立體幾何的各種問題。本文舉例說明如何用向量法解決立體幾何的空間角問題。以此強化向量的應(yīng)用價值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)向量的興趣，從而達(dá)到提高學(xué)生解題能力的目的。利用向量法求空間角，不需要繁雜的推理，只需要將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運算，方便快捷?？臻g角主要包括線線角、線面角和二面角，下面對線線角的求法進(jìn)行總結(jié)。教學(xué)目標(biāo)1. 使學(xué)生學(xué)會求異面直線所成的角的向量方法；2. 使學(xué)生能夠應(yīng)用向量方法解決一些簡單的立體幾何問題；3. 使學(xué)生的分析與推理能力和空間想象能力得到提高.教學(xué)重點求解異面直線所成的角的向量法.教學(xué)難點求解異面直線所成的角的向量法.教學(xué)過

3、程、復(fù)習(xí)回顧一、回顧有關(guān)知識：1、兩異直線所成的角： （范圍：(0, ）2（ 1）定義：過空間任意一點成的銳角或直角，叫做異面直線o 分別作異面直線 a 與 b 所成的角.a 與b 的平行線a 與b ，那么直線a 與b 所（ 2）用向量法求異面直線所成角，設(shè)兩異面直線a、 b 的方向向量分別為a 和 b ，aOb精選文庫問題 1： 當(dāng) a 與 b 的夾角不大于 90°時，異面直線a、 b 所成aO的角 與 a 和 b 的夾角的關(guān)系？a,bb問題 2 ： a 與 b 的夾角大于90°時，異面直線a、 b 所成的角與 a和 b 的夾角的關(guān)系？a,bbaO兩向量數(shù)量積的定義：a

4、b | a |b | cosa,b兩向量夾角公式： cosa ba,b| a | b |結(jié)論：異面直線a、 b 所成的角的余弦值為cos | cos a, b | a b | a |b |2、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：（ 1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； （化為向量問題 ）（ 2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（進(jìn)行向量運算）（ 3）把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。 （回到圖形）、典例分析與練習(xí)z思考： 在正方體 ABCD A1B1 C1 D1 中，若

5、 E1 與 F1 分別為 A1 B1 、D1 F1C1A1E1B1C1 D1 的四等分點，求異面直線DF1 與 BE1 的夾角余弦值？Dy（ 1）方法總結(jié)：幾何法；向量法ACB（ 2） cos DF1 , BE1 與 cosDF1 , E1 B 相等嗎？x（ 3）空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么區(qū)別？例 1 如圖，正三棱柱ABC A1B1C1 的底面邊長為a , 側(cè)棱長為2a ，求 AC1 和 CB1 所成的角 .分析： 建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量與向量的夾角問題。C1步驟： 1.寫出異面直線的方向向量的坐標(biāo)。1B1AZ2.利用空間兩個向量的夾角公式求出夾角。C解：如圖建立空間直角坐標(biāo)

6、系A(chǔ) xyz ，AD B yyx2x精選文庫則 A(0,0,0), C1 (3a,1a,2a), C (3a,1a,0), B1 (0, a, 2a)2222AC1 (3 a, 1 a,2a) ， CB1(3 a, 1 a, 2a)2222AC1CB13 a21即 cos AC1 ,CB122| AC1|CB1 |3a2AC1 和 CB1所成的角為3總結(jié) :（ 1） cosDF1 , BE1與 cosDF1 , E1 B相等嗎？（ 2）空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么區(qū)別？點撥求異面直線所成的角可利用空間向量表示直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為向量所成的角。兩異面直線所成角的范圍是0,，兩向量的夾角

7、的范圍是0,。當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或2直角時，就是該異面直線的夾角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補角才是異面直線的夾角。練習(xí) 1：在 RtAOB中， AOB=90°，現(xiàn)將 AOB沿著平面 AOB的法向量方向平移到A1 O1B1 的位置，已知 OA=OB=OO，取 A B 、 AO 的中點 D 、 F ，求異面直線BD與 AF 所成的角的余弦值。111111111解：以點 O為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)OA1 ,則 A(1,0,0)， B(0,1,0)， F (1,0,1)，D (11,1),12122AF1(1 ,0,1) , BD1( 1 ,1 ,1)2

8、22AF1 BD110130cosAF1 , BD14| AF1 | BD1|531042所以，異面直線BD?與 AF?所成的角的余弦值為30 .10練習(xí) 2：在正方體 ?中，是的中點，求對角線DB?與所成角的余弦值 .ABCD A B?C?D?MABCM解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，1則 D(0， 0，0)， C(0 ，1，0) ，B1(1， 1，1) ，M1，2，0 .3精選文庫1DB1(1，1，1)，CM 1， 2，0 ， 11·CM215 cos DB1， CMDB.515| DB1|CM|3× 2115異面直線 DB 與 CM所成角的余弦值為15 .、小結(jié)與收獲1、異面直線所成的角的余弦值：cos| cos a,b | a b | ；| a |b |2、用空間向量解決立體幾何問題的一般步驟.、課后練習(xí)1、如圖，在棱長為的正方體ABCDA