知識(shí)講解-回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(文、理)（精編版）

1、知識(shí)講解 - 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 ( 文、理)回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，了解回歸分析的必要性與回歸分析的一般步驟。2. 能作出散點(diǎn)圖，能求其回歸直線方程。3. 會(huì)用所學(xué)的知識(shí)對(duì)簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行回歸分析?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、變量間的相關(guān)關(guān)系1. 變量與變量間的兩種關(guān)系：（1） 函數(shù)關(guān)系：這是一種確定性的關(guān)系，即一個(gè)變量能被另一個(gè)變量按照某種對(duì)應(yīng)法則唯一確定例如圓的面積 s 與半徑 r 之間的關(guān)系 s=r 2 為函數(shù)關(guān)系（2）相關(guān)關(guān)系： 這是一種非確定性關(guān)系 當(dāng)一個(gè)變量取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的取值帶有一定的隨機(jī)性， 這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做

2、相關(guān)關(guān)系。例如人的身高不 能確定體重， 但一般來(lái)說(shuō)“身高者，體重也重” ，我們說(shuō)身高與體重這兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系2. 相關(guān)關(guān)系的分類(lèi)：（1） 在兩個(gè)變量中，一個(gè)變量是可控制變量，另一個(gè)變量是隨機(jī)變量，如施肥量與水稻產(chǎn)量；（2） 兩個(gè)變量均為隨機(jī)變量，如某學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)與化學(xué)成績(jī)3. 散點(diǎn)圖：第3頁(yè)共32頁(yè)將兩個(gè)變量的各對(duì)數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)而得到的圖形叫做散點(diǎn)圖它直觀地描述了兩個(gè)變量之間有沒(méi)有相關(guān)關(guān)系這是我們判斷的一種依據(jù)4. 回歸分析：與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系， 對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析。要點(diǎn)二、線性回歸方程：1 回歸直線如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布

3、從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作回歸直線。2回歸直線方程y?b?xa?對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)( x1 , y1 ) ，( x2 , y2 ) ，(xn ,yn ) ，其回歸直線 y?b?xa? 的截距和斜率的最小二乘法估計(jì)公式分別為：nb?i 1(xinx)( yii( xx)2y)， a?yb?xi 1其中 x 表示數(shù)據(jù)xi （i=1 ，2， n）的均值， y 表示數(shù)據(jù) yi（i=1 ，2，n）的均值， xy 表示數(shù)據(jù) xi yi（i=1 ， 2， n）的均值a 、b 的意義是：以 a 為基數(shù)， x 每增加一個(gè)單位， y對(duì)于變量x與

4、y隨機(jī)抽取到的n對(duì)數(shù)據(jù) ( x1 , y1) ，nn第32頁(yè)共32頁(yè)(x2 ,y2 ) ， ( x , y) ，稱r(xii 1x)( yiy)xi yii 1nx ynnnnn2n2(xx)2( yy) 2(x2nx )( y 2ny )iiiii 1i 1i 1i 1為 x 與 y 的樣本相關(guān)系數(shù)。（2） 相關(guān)系數(shù) r的作用樣本相關(guān)系數(shù)r用于衡量?jī)蓚€(gè)變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，描述線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱： | r |1| r | 越接近1，表明兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；| r | 越接近0，表明兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越弱。當(dāng) r 0 時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)，即 x增加， y隨之相應(yīng)

5、地增加，若x 減少， y 隨之相應(yīng)地減少當(dāng) r 0 時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，即 x 增加，y 隨之相應(yīng)地減少；若x 減少， y 隨之相應(yīng)地增加 若 r=0 ，則稱 x 與 y 不相關(guān)。當(dāng)| r|0.75 ，認(rèn)為 x 與y 之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。當(dāng)| r| 大于r0.05 時(shí)，表明有 95%的把握認(rèn)為 x 與 y 之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這時(shí)求回歸直線方程有必要也有意義，當(dāng)| r |r0.05 時(shí)，尋找回歸直線方程就沒(méi)有意義。（3） 利用相關(guān)系數(shù)r檢驗(yàn)的一般步驟： 法一：作統(tǒng)計(jì)假設(shè)： x 與 y 不具有線性相關(guān)關(guān)系。根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式算出r的值。比較 | r | 與 0.75的大小關(guān)系

6、，得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論。如果| r |0.75 ，認(rèn)為x 與 y 之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。法二：作統(tǒng)計(jì)假設(shè)： x 與 y 不具有線性相關(guān)關(guān)系。根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式算出r的值。根據(jù)小概率0.05與 n-2在相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表中查出r的一個(gè)臨界值r0.05 （n 未數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)）。比較 | r| 與r0.05 ，作統(tǒng)計(jì)推斷，如果| r |r0.05 ，表明有95%的把握認(rèn)為 x 與 y 之間具有線性相關(guān)關(guān)系。如果| r |r0.05 ，我們沒(méi)有理由拒絕原來(lái)的假設(shè)，即不認(rèn)為x 與 y 之間具有線性相關(guān)關(guān)系。這時(shí)尋找回歸直線方程是毫無(wú)意義的。要點(diǎn)四、線性回歸分析與非線性回歸分析 1線性回歸分析對(duì)于回歸

7、分析問(wèn)題，在解題時(shí)應(yīng)首先利用散點(diǎn)圖或 相關(guān)性檢驗(yàn)判斷x 與 y 是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果線性相關(guān)，才能求解后面的問(wèn)題否則求線性回歸方程沒(méi) 有實(shí)際意義，它不能反映變量 x 與y ，之間的變化規(guī)律只有在 x 與 y 之間具有相關(guān)關(guān)系時(shí)，求線性回歸方程才有實(shí)際意義相關(guān)性檢驗(yàn)的依據(jù)：主要利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量nri 1xi yinx yxyxyn2n2sx sy( xix)( yiy)i 1i 1（其中化簡(jiǎn)式容易記也好用）求出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣 本相關(guān)系數(shù)，再利用r的性質(zhì)確定 x 和 y 是否具有線性相關(guān)關(guān)系， r具有的性質(zhì)為： |r|1 且|r|越接近于 1， 線性相關(guān)程度越強(qiáng)； |r|越接近于 0，線性相關(guān)

8、程度越弱2. 線性回歸分析的一般步驟（1） 確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量；（2） 判斷兩變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系作散點(diǎn)圖由樣本點(diǎn)是否呈條狀分布來(lái)判斷兩個(gè)量是否具有線性相關(guān)關(guān)系。求相關(guān)系數(shù)r關(guān)關(guān)系。當(dāng)| r|0.75 ，認(rèn)為 x 與 y 之間具有很強(qiáng)的線性相（3） 若兩變量存在線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)所求的線性回歸方程為 y?b?xa?，求回歸系數(shù)b? 、a?。（4） 寫(xiě)出回歸直線方程；（5） 利用回歸直線方程時(shí) y 的估計(jì)值。3 非線性回歸分析y?a?b?x 預(yù)報(bào)在 x取某一個(gè)值（ 1）對(duì)于非線性回歸分析問(wèn)題，如果給出了經(jīng)驗(yàn)公式可直接利用換元，使新元與y 具有線性相關(guān)關(guān)系，

9、 進(jìn)一步求出，對(duì)新元的線性回歸方程， 換回 x 即可得 y 對(duì) x 的回歸曲線方程（2） ）非線性回歸問(wèn)題有時(shí)并不給出經(jīng)驗(yàn)公式，這時(shí)按以下步驟求回歸方程：畫(huà)出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，看是否是線性回歸分析問(wèn) 題，如果不是， 把它與必修數(shù)學(xué)中學(xué)過(guò)的函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等）圖像作比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，采用適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q，把非線性回歸分析問(wèn)題化為線性回歸分析問(wèn)題作相關(guān)性檢驗(yàn)，即判斷尋找線性回歸方程是否有意義當(dāng)尋找線性回歸方程有意義時(shí)，計(jì)算系數(shù)a ， b ，得到線性回歸方程代回x 得 y 對(duì) x 的回歸曲線方程【典型例題】【高清課堂： 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用407591

10、例題 1】類(lèi)型一、利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量的線性相關(guān)性例 1在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕刻線試驗(yàn)，得到腐蝕深度y 與腐蝕時(shí)間 x 的一組數(shù)據(jù)如下表所示x秒510152030405060y微米610111316171923（1） 畫(huà)出散點(diǎn)圖（2） 根據(jù)散點(diǎn)圖，你能得出什么結(jié)論？【思路點(diǎn)撥】利用散點(diǎn)圖，直觀地歸結(jié)出相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量所具備的特點(diǎn)【解析】（1）如圖所示散點(diǎn)圖（2）結(jié)論：設(shè) x 與 y 是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量， 且相應(yīng)于n組觀測(cè)值的n個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線附近，其中整體上與這n 個(gè)點(diǎn)最接近的一條直線最能代表x 與 y 之間的關(guān)系【總結(jié)升華】解決此類(lèi)問(wèn)題，最直觀也最直接的方法就是畫(huà)散點(diǎn)圖。如果

11、散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布在一條直線附近，那么就可判斷兩個(gè)變量之間具有近似的線性相關(guān)關(guān)系?？蛇M(jìn)一步對(duì)它進(jìn)行回歸分析。解決本題的關(guān)鍵是正確建立坐標(biāo)系，合理地選取單位長(zhǎng)度準(zhǔn)確地描出所有點(diǎn)，然后觀察散點(diǎn)圖中的點(diǎn)呈現(xiàn)在一條直線附近即說(shuō)明二者具有線性相關(guān)關(guān)系。解決此類(lèi)題目，由于有時(shí)數(shù)據(jù)較大，在建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，若單位長(zhǎng)度確定不合適， 往往容易造成描點(diǎn)的困難。因此必須選擇適當(dāng)?shù)膯挝婚L(zhǎng)度。舉一反三：【變式1】給出x 與 y 的數(shù)據(jù)如下：x24568y3040605070畫(huà)出散點(diǎn)圖，并由圖判斷x、y 之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系?！敬鸢浮可Ⅻc(diǎn)圖如圖所示：從圖中可以看出，各點(diǎn)散布在一條直線附近，即可認(rèn)為 x 與 y 具有

12、線性相關(guān)關(guān)系。【變式 2】 如圖所示的5組數(shù)據(jù)中，去掉 點(diǎn)，剩下的 4 組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)最大【答案】 d，由本圖的直觀性可得?！咀兪?】如下表所示，某地區(qū)一段時(shí)間內(nèi)觀察到的大于或等于某震級(jí) x 的地震個(gè)數(shù)為 n，試畫(huà)出散點(diǎn)圖， 并由圖判斷 x、n之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系。震 33.23.43.63.44.4.4.4.5.級(jí)824680地 28320314710676553826191397震 818095954102429819563數(shù)震 5.25.45.65.866.6.6.6.7級(jí)2468地 746604435274201498574125震68數(shù)【答案】由表中數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖如下：從散點(diǎn)

13、圖中可以看出，震級(jí) x 與大于該震級(jí)的地震次數(shù) n之間不呈線性相關(guān)關(guān)系，隨著 x 的減少，所考察的地震數(shù) n近似地以指數(shù)形式增長(zhǎng) .類(lèi)型二、運(yùn)用樣本相關(guān)系數(shù) r 檢驗(yàn)線性相關(guān)關(guān)系例 2下表是隨機(jī)抽取的8 對(duì)母女的身高數(shù)據(jù) , 試根據(jù)這些數(shù)據(jù)探討 y 與x 之間的關(guān)系母親身高x / cm女兒身高y / cm154157158159160161162163155156159162161164165166【思路點(diǎn)撥】相對(duì)于用散點(diǎn)圖檢驗(yàn)相關(guān)性， 利用相關(guān)系數(shù) r ，檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱更為準(zhǔn)確。【解析】所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示：由圖可以看出， 這些點(diǎn)在一條直線附近，因?yàn)?x154157

14、1638159.25， y1551561668161，8xi28( x)2i 1154 216328159.25259.5 ，8yi28( y)2i 11552166 281612116 ，881551631668 x1i 5y9i .x2i58yxiy16811x54y 8101554515516311663616861589.21559.126511681080 ，i 1i 1所以 r8059.51160.963 ，由檢驗(yàn)水平0.05 及n26 ，在附錄 2 中查得r0.050.707，因?yàn)?.9630.707, 所以可以認(rèn)為 x 與y 之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系【總結(jié)升華】（1） 討論

15、x與 y 之間的線性相關(guān)關(guān)系，一般稱之為相關(guān)性檢驗(yàn)。一般地，相關(guān)性檢驗(yàn)是討論線性回歸模型的第一步。 當(dāng)| r |0.75 時(shí)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，此時(shí)，建立線性回歸模型是有意義的，其他情況下，建立線性回歸模型意義就不大了，基本上沒(méi)有什么價(jià)值。（2） ）相關(guān)系數(shù) r 的計(jì)算公式：nnri 1( xix)( yiy)xi yii 1nx ynnnn(xx) 2( yy)2x2n( x) 2y2n( y)2iiiii 1i 1i 1i 1（3） ）利用相關(guān)系數(shù) r檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱的步驟：運(yùn)用公式求出相關(guān)系數(shù)r ；比較 | r | 與 0.75的大小關(guān)系，得出統(tǒng)計(jì)

16、結(jié)論。如果| r|0.75 ，認(rèn)為x 與 y 之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。舉一反三：【變式1】給出x 與 y 的數(shù)據(jù)如下：x24568y3040605070判斷 x 與 y 的線性相關(guān)性?！敬鸢浮肯嚓P(guān)性檢驗(yàn)：x5 ， y50 ，5xi yii 15 x y130 ，5xi25( x)2i 120 ，2y5ii 15( y)21000 ，所以 r5xi yii 15 x y1300.919 。55201000x25( x)2y 25( y)2iii 1i 1因?yàn)閨 r系。|0.9190.75 ，所以 x 與 y 之間有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)【變式2】12345678910636745888171529

17、9587665785282928973985675要分析學(xué)生高中入學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué) 習(xí)的影響，在高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取10 名學(xué)生，分析他們?nèi)雽W(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)和高一年級(jí)期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)?nèi)缦?表：學(xué)生編號(hào)入學(xué)成績(jī) x高一期末成績(jī) y計(jì)算入學(xué)成績(jī) x 與高一期末成績(jī) y 的相關(guān)系數(shù)；【答案】(1) 因?yàn)?x163677670y，10165787576，10lxy10(xix)( yiy)1894 ，lxx10( xi2x)2474 ，i 1i 110yyil( yy)2 i 12056 10(xix)( yiy)l因此求得相關(guān)系數(shù)為ri 1101022lxxxylyy0.840 ( xix

18、)( yiy)i 1i 1結(jié)果說(shuō)明這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度是比較高的。類(lèi)型三、求線性回歸方程例 3.以下是某地搜集到的新房屋的銷(xiāo)售價(jià)格y 和房屋的面積 x 的數(shù)據(jù)：（1） ）畫(huà)出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖；（2） ）求線性回歸方程，并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線；【思路點(diǎn)撥】本題考查如何求回歸直線的方程，可先把 有關(guān)數(shù)據(jù)用散點(diǎn)圖表示出來(lái)，若這些點(diǎn)大致分布在通過(guò) 散點(diǎn)圖中心的一條直線附近， 說(shuō)明這兩個(gè)變量線性相關(guān)， 從而可利用我們學(xué)過(guò)的最小二乘估計(jì)思想及計(jì)算公式求 得線性回歸直線方程。【解析】（ 1）數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示：5i（ 2） x1x109 ，l xx5( xix)21570 ，5 i 1i 1y23.

19、2, l xy5( xii 1x)( yiy)308設(shè)所求回歸直線方程為ybxa ，則bl xyl xx30815700.1962308aybx23.210915701.8166故所求回歸直線方程為y0.1962 x1.8166【總結(jié)升華】如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布在一個(gè)直線狀帶形區(qū)域，可以選用線性回歸模型來(lái)建模。舉一反三：【變式1】下面是兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)。x12345678y1491625364964求 x 與 y 兩個(gè)變量之間的回歸直線方程。x2【答案】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出有關(guān)數(shù)據(jù)，列成下表。序號(hào)xiyiixi yi11111所以有 x1364.5y，224483399274416166

20、4552525125663636216774949343886464512362042048129688120425.52x，i8i 1204 ，ixi yi11296 。所以 b?8xi yii 18x2i8 x y28 x129684.525.5，20484.529i 1a?yb?x25.594.515 。于是回歸直線方程為y?159 x 。【高清課堂： 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用407591例題 1】【變式 2】從某大學(xué)中隨機(jī)選取8 名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如下表所示：編12345678號(hào)身 1616111111高/cm55577075655570體重/kg45556645870

21、44139求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程， 并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重 .【答案】所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖：類(lèi)型四、線性回歸分析及應(yīng)用例 4. 近幾年來(lái)， 隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展， 汽車(chē)已進(jìn)入普通百姓家中根據(jù)某汽車(chē)協(xié)會(huì)資料統(tǒng)計(jì)，國(guó)產(chǎn)某種型號(hào)家 庭轎車(chē)的使用年限x（年）和所支出的維修費(fèi)用y（千元），如下表：使用年限 年維修費(fèi)用千元234562.23.85.56.57.0（1） 求出相關(guān)系數(shù) r ，并根據(jù)所求的 r判斷兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱；（2） ）試求出回歸直線方程，若某家庭購(gòu)得此型號(hào)的汽車(chē)，請(qǐng)你為他們估計(jì)一下使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？【思路點(diǎn)撥】通

22、過(guò)求出相關(guān)系數(shù)r ，從而判斷出是否具有相關(guān)關(guān)系；再求回歸方程，從而進(jìn)行回歸預(yù)測(cè)【解析】（1）根據(jù)公式，求得r 0.9792 0.878 ，故兩個(gè)變量之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系（2）設(shè)所求的回歸方程為ybxa 則5xi yi5 xybi 1521.23 ， aybx0.08，xi25xi 1即所求的回歸直線方程為y1.23x0.08 當(dāng) x=10 時(shí)，代入回歸直線方程得y =12.38 ，所以傳計(jì)使用年限為 10 年時(shí)，維修費(fèi)用是1.238萬(wàn)元【總結(jié)升華】求 x與y的回歸直線方程，應(yīng)首先判斷 x 與 y 是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果直接求x 與 y 的回歸直線方程，它就沒(méi)有任何實(shí)際價(jià)值，也就不能準(zhǔn)確

23、 反映變量 x 與 y 之間的變化規(guī)律舉一反三：【變式 1】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)。x3456y2.5344.5（1）請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2） ）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于 x 的線性回歸方程 y?b?xa?；（3） 已知該廠技改前100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤。試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn) 100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？（參考數(shù)值： 3×2.5+4 ×3+5× 4+6×4.5=66.5 ）【答案】（1

24、） 由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖所示：x4i（2） 計(jì)算得2i 186 ， x345644.5 ， y2.5344.543.5 ，4已知xi yii 166.5 ，所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為4b?i 14xi yix2i4 xy24x66.544.53.58644.520.7 ，i 1a?yb?x3.50.74.50.35 。因此，所求的線性回歸方程為y?0.7 x0.35 。（3） 由（ 2）的回歸方程及技改前生產(chǎn)100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為90 (0.7× 100+0.35)=19.65（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）?！咀兪?2】 測(cè)得某地 10 對(duì)父子身高（單位

25、：英寸）如下：父606266566676870727親 身44高（ x）兒 子63.65.665.66.67.67.68.70.7身 高6265914310（ y）如果 x 與 y 之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程如果父親的身高為78 英寸，試估計(jì)兒子的身高【答案】解法一：先將兩個(gè)變量的有關(guān)數(shù)據(jù)在表中計(jì)算出來(lái)，如下表所示：序號(hào)xiyi2xi2yixi yi16063.636004044.96381626265.238444251.044042.43646640964356422446565.542254290.254257.556666.943564475.614415.466767.14

26、4894502.414495.776867.446244542.764583.287068.349004664.89478197270.151844914.015047.2107470547649005180668670.1 44796 44941.93 44842.4由表中數(shù)據(jù)可計(jì)算， x66866.8 ，y670.11067.01 ，xi yi44842.4 ，1010i 1，10xi24479410yi244941.93，代入公式i 1i 110xi yi10 x y44842.41066.867.0179.72bi 1x1022i10 x447941066.8 2171.60.4646

27、所以i 1aybx67.010.464666.835.975因而所求得線性回歸方程為：y0.4646x35.975當(dāng)x=78 時(shí)， y0.46467835.97572.213872.2 所以當(dāng)父親的身高為78 英寸時(shí)，估計(jì)兒子的身高約為72.2英寸【變式3】已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥 量 x（ kg）與每單位面積蔬菜年平均產(chǎn)量y（t ）之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：年1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992份xkg7074807885929095yt5.16.06.87.89.010.2 10.0 12.0年1993 1994 1995 1996 199

28、7 1998 1999份x92108115123130138145kgy11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0t（1） 求 x 與 y 之間的相關(guān)系數(shù)，并檢驗(yàn)是否線性相關(guān)；（2） 若線性相關(guān)，求蔬菜產(chǎn)量 y 與使用氮肥量 x 之間的回歸直線方程，并估計(jì)每單位面積施肥 150 kg 時(shí)，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量【答案】（1）使用樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式來(lái)完成 （2） 先作統(tǒng)計(jì)假設(shè)，由小概率0.05與 n2 在附表中查得相關(guān)系數(shù)臨界值r 0.05 ，若r 0.05則線性相關(guān)，否則不線 性相關(guān)列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行相關(guān)計(jì)算：i12345678xi7074807885

29、929095yi5.16.06.87.89.010.210.012.0xi yi357444544608.4765938.49001140i9101112131415xi92108115123130138145yi11.511.011.812.212.512.813.0xi yi1058 118813571500.616251766.4188515xi yi15xy（1） ri 1152152x215xy2 15yiii 1i 116076.815101 10.11(161125151012 )(1628.551510.112 )760.150.864879.45由小概率 0.05與 n2=1

30、3 在附表中查得 r 0.05 =0.514 ，|r|r 0.05 ， x 與 y 線性相關(guān)回歸直線方程為多 =0093 7x+0646 3 15xi yi15xy16076.81510110.11（2） bi 1152xi215x1611251510120.0937 ，i 1aybx10.110.09371010.6463 回歸直線方程為y0.0937x0.6463當(dāng)每單位面積施肥150 kg時(shí)，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量為0.0937 × 150+0.6463=14.7013 14.7（ t ）類(lèi)型五、非線性回歸的轉(zhuǎn)化例 5在一化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中某化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速 度 y g min

31、與一種催化劑的量x g有關(guān)，現(xiàn)收集了8 組數(shù)據(jù)列于表中，試建立y 與 x 之間的回歸方程催化劑量 x g1518212427303336化學(xué)物質(zhì)反應(yīng)速度 y（ g min）6830277020565350【思路點(diǎn)撥】?jī)蓚€(gè)變量不一定是線性關(guān)系，不能直接利用線性回歸方程建立兩個(gè)變量的關(guān)系，可以通過(guò)變換的方法將非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性回歸模型【解析】根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖：根據(jù)樣本點(diǎn)分布情況， 可選用兩種曲線模型來(lái)擬合2（1） 可認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在某二次曲線y=c1x +c2 的2附近令 t=x，則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線，y=bt+a（ b=c1，a=c2）的周?chē)深}意得變換后的t與 y 的樣本數(shù)據(jù)表

32、如下：t2253244415767299001089 1296y6830277020565350作 y 與 x 的散點(diǎn)圖由 y 與 t的散點(diǎn)圖可觀察到樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)并不分布在 一條直線的周?chē)?，因此不宜用線性回歸方程ybta 來(lái)擬合，即不宜用二次曲線y=c1x2+c2 來(lái)擬合y 與 x 之間的關(guān)系1（2） 根據(jù) x與y的散點(diǎn)圖也可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在某一條指數(shù)型函數(shù)曲線yc ec2 x的周?chē)顉lny ，則zc2 xln c1 ，即變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z=bx+a（a=lnc 1，b=c2）的周?chē)?，?y 與 x 數(shù)據(jù)表可得 z 與 x 的數(shù)據(jù)表x1518212427303336z 1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858作出 z 與 x 的散點(diǎn)圖由散點(diǎn)圖可觀察到大致在一條直線上，所以可用線性回歸方程來(lái)擬合它由 z 與 x 的數(shù)據(jù)表， 得到線性回歸方程， z =0.1812x 0.8485 ，所以非線性回歸方程為ye0.1812 x0.8485 ，因此，該化學(xué)物質(zhì)反應(yīng)速度關(guān)于催化劑的量的非線性回歸方程為 ye0.1812 x0.8485 【總結(jié)升華】