數(shù)理方程第13講二階線性偏微分方程的分類

1、 本章將介紹二階線性偏微分方程的基本概念、分類方本章將介紹二階線性偏微分方程的基本概念、分類方法和偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)化法和偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)化. 特別對于常系數(shù)的二階線性偏特別對于常系數(shù)的二階線性偏微分方程的化簡方法也進(jìn)行了詳細(xì)討論，這對后面的偏微微分方程的化簡方法也進(jìn)行了詳細(xì)討論，這對后面的偏微分方程求解是十分有用的分方程求解是十分有用的. 在數(shù)學(xué)物理方程的建立過程中，我們主要討論了三種類型的在數(shù)學(xué)物理方程的建立過程中，我們主要討論了三種類型的偏微分方程：偏微分方程：波動方程；熱傳導(dǎo)方程；穩(wěn)定場方程波動方程；熱傳導(dǎo)方程；穩(wěn)定場方程這三類方這三類方程描寫了不同物理現(xiàn)象及其過程，后面我們將會看到它們

2、的解程描寫了不同物理現(xiàn)象及其過程，后面我們將會看到它們的解也表現(xiàn)出各自不同的特點(diǎn)也表現(xiàn)出各自不同的特點(diǎn)我們在解析幾何中知道對于二次實(shí)曲線我們在解析幾何中知道對于二次實(shí)曲線220axbxycydxeyf其中其中 , , , , ,a b c d e f為常數(shù)，且設(shè)為常數(shù)，且設(shè) 24bac7.1 數(shù)學(xué)物理方程的分類數(shù)學(xué)物理方程的分類則當(dāng)則當(dāng)0,0,0 時，上述二次曲線分別為雙時，上述二次曲線分別為雙曲線、拋物線和橢圓受此啟發(fā)，下面我們來對二階線性偏曲線、拋物線和橢圓受此啟發(fā)，下面我們來對二階線性偏微分方程進(jìn)行分類微分方程進(jìn)行分類. 下面主要以含下面主要以含兩個自變量的二階線性偏微分方程兩個自變量的

3、二階線性偏微分方程為例，進(jìn)行為例，進(jìn)行理論分析而對于更多個自變量的情形盡管要復(fù)雜一些，但討理論分析而對于更多個自變量的情形盡管要復(fù)雜一些，但討論的基本方法是一樣的論的基本方法是一樣的兩個自變量兩個自變量(x, y)的二階線性偏微分方程所具有的的二階線性偏微分方程所具有的普遍形式為普遍形式為22222( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )uuuuuA x yB x yC x yD x yE x yF x y uG x yxx yyxy （1.1） 作坐標(biāo)變換( , )( , )x yx yuuuuuuxxxyyy則2222222222222222222222222

4、222222()2()()2()()uuuuuuxxxxxxxuuuuuuyyyyyyyuuuux yxyxyxy 222uuxyx yx y 定理定理2.1 如果如果 0( , ) = x yC是方程是方程22(d )d d + (d )0AyB y x Cx(2.2)的一般積分，則的一般積分，則 ( , )x y是方程是方程2222*22222*(2.1) ()() ()() uuABCBxxyyxxuABCxxyyuuDEF uG 代入得到22()+ ()0ABCxxyy (2.3)的一個特解的一個特解在具體求解方程在具體求解方程(2.1)時，需要分三種情況討論判別式時，需要分三種情況討

5、論判別式 24BAC 1. 當(dāng)判別式當(dāng)判別式 240BAC 以求得兩個以求得兩個實(shí)函數(shù)解實(shí)函數(shù)解 時，從方程時，從方程(2.1)可可12( , ) ( , ) x yCx yC及也就是說，偏微分方程也就是說，偏微分方程(2.1)有有兩條實(shí)的特征線兩條實(shí)的特征線于是，令于是，令( , ), ( , )x yx y即可使得即可使得 0ac同時，根據(jù)同時，根據(jù)(2.2)式，就可以斷定式，就可以斷定 0b 所以，方程所以，方程(2.1) 即為即為 2( , , ,)0uuuu (2.4)或者進(jìn)一步作變換或者進(jìn)一步作變換, = 于是有于是有, 所以所以22222 uuu 又可以進(jìn)一步將方程又可以進(jìn)一步將

6、方程(2.4)化為化為22122( , , ,)0uuuuu 這種類型的方程稱為這種類型的方程稱為雙曲型方程雙曲型方程我們前面建立的波動方我們前面建立的波動方程就屬于此類型程就屬于此類型2當(dāng)判別式當(dāng)判別式 240BAC 時：這時方程時：這時方程(2.2)一定有重根一定有重根dd2yBxA因而只能求得一個解，例如，因而只能求得一個解，例如， 0( , )x yC，特征線為特征線為 一條實(shí)特征線一條實(shí)特征線作變換作變換 ( , )x y就可以使就可以使 0a 由由(2.2)式可以得出，一定有式可以得出，一定有 240bac，故可推出，故可推出 0b 這樣就可以任意選取另一個變換，這樣就可以任意選取

7、另一個變換， ( , )x y只要它和只要它和 ( , )x y彼此獨(dú)立，即雅可比行列式彼此獨(dú)立，即雅可比行列式(,)0(,)xy即可這樣，方程即可這樣，方程(2.1)就化為就化為22( , , ,)0uuuu 此類方程稱為此類方程稱為拋物型方程拋物型方程熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）方程就屬于熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）方程就屬于這種類型這種類型3. 當(dāng)判別式當(dāng)判別式 240BAC 面的討論，只不過得到的面的討論，只不過得到的 時：這時，可以重復(fù)上時：這時，可以重復(fù)上( , )x y和和 ( , )x y是一是一對共軛的復(fù)函數(shù)，或者說，偏微分方程對共軛的復(fù)函數(shù)，或者說，偏微分方程(2.1)的的兩條特征線是兩條特征線是一對

8、共軛復(fù)函數(shù)族一對共軛復(fù)函數(shù)族于是于是( , ), ( , )x yx y是一對共軛的復(fù)變量進(jìn)一步引進(jìn)兩個新的實(shí)變量是一對共軛的復(fù)變量進(jìn)一步引進(jìn)兩個新的實(shí)變量, =i()于是于是i, i所以所以 22222 uuu 方程方程(2.1)又可以進(jìn)一步化為又可以進(jìn)一步化為22222( , , ,)0uuuuu 這種類型的方程稱為這種類型的方程稱為橢圓型方程橢圓型方程拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)方程、方程、泊松泊松(Poisson)方程和方程和Helmholtz 方程都屬于這種類型方程都屬于這種類型 綜上所述，要判斷二階線性偏微分方程屬于何種類型，只綜上所述，要判斷二階線性偏微分方程屬于何種類型，

9、只需討論判別式需討論判別式 24BAC 即可即可. 7.2 二階線性偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)化二階線性偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)化對于二階線性偏微分方程對于二階線性偏微分方程 22222( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )uuuuuAx yB x yC x yDx yE x yF x y u G x yxx yyxy ( 2.1)若判別式為若判別式為 2( , )4 ( , ) ( , )B x yA x y C x y ，則二階，則二階線性偏微分方程分為三類：線性偏微分方程分為三類：0 時，方程稱為雙曲型時，方程稱為雙曲型;0 時，方程稱為拋物型時，方程稱為拋物型; 0 時，方程

10、稱為橢圓型時，方程稱為橢圓型; 1.雙曲型偏微分方程雙曲型偏微分方程 因?yàn)殡p曲型方程對應(yīng)的判別式因?yàn)殡p曲型方程對應(yīng)的判別式 240BAC 所以特征曲線是兩族不同的實(shí)函數(shù)曲線，所以特征曲線是兩族不同的實(shí)函數(shù)曲線，2dd()0ddyyABCxx設(shè)設(shè)特征方程的解特征方程的解為為 12( , ), ( , )x ycx yc令令 ( , ),( , )x yx y (2.2)進(jìn)行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)橄铝行问竭M(jìn)行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)橄铝行问?42dyBBACdxA221244,22BBACBBACyxcyxcAA21111( , )( , )( , )( , )uDuEuFuG (2

11、.3) 上式稱為上式稱為雙曲型偏微分方程的第一種標(biāo)準(zhǔn)形式雙曲型偏微分方程的第一種標(biāo)準(zhǔn)形式，再作變量，再作變量代換，令代換，令, 或或 ,22則偏微分方程又變?yōu)閯t偏微分方程又變?yōu)?2*111122( , )( , )( , )( , )uuDuEuFuG (2.4)上式稱為雙曲型偏微分方程的第二種形式上式稱為雙曲型偏微分方程的第二種形式 注：上式中的注：上式中的“*”號不代表共軛，僅說明是另外的函數(shù)。如號不代表共軛，僅說明是另外的函數(shù)。如 *1D1D與與是兩個不同的函數(shù)。是兩個不同的函數(shù)。 因?yàn)閽佄镄推⒎址匠痰呐袆e式因?yàn)閽佄镄推⒎址匠痰呐袆e式 0 線是線是一族實(shí)函數(shù)曲線一族實(shí)函數(shù)曲線 ，所以

12、特征曲，所以特征曲其其特征方程的解特征方程的解為為( , )x yc (2.5)因此令因此令 ( , ), x yy進(jìn)行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)檫M(jìn)行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)?22222( , )( , )( , )( , )uDuEuFuG (2.6) 2拋物型偏微分方程拋物型偏微分方程2ByxcA上式稱為拋物型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式上式稱為拋物型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式3.橢圓型偏微分方程橢圓型偏微分方程橢圓型偏微分方程的判別式橢圓型偏微分方程的判別式 0 ，所以特征曲線是，所以特征曲線是一組共軛復(fù)變函數(shù)族其一組共軛復(fù)變函數(shù)族其特征方程的解為特征方程的解為12( , ) i ( , )

13、; ( , ) i ( , )x yx ycx yx yc (2.7)221244,2222BACBBACByxxicyxxicAAAA( , ), ( , )x yx y(2.8) 作自變量變換，則偏微分方程變?yōu)樽髯宰兞孔儞Q，則偏微分方程變?yōu)?2333322( , )( , )( , )( , )uuDuEuFuG (2.9)上式稱為上式稱為橢圓型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式橢圓型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式若令若令 7.3 二階線性常系數(shù)偏微分方程的二階線性常系數(shù)偏微分方程的 進(jìn)一步化簡進(jìn)一步化簡 如果二階偏微分方程的系數(shù)是常數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)形式的方程還如果二階偏微分方程的系數(shù)是常數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)形式的方程還可以進(jìn)一

14、步化簡下面按三種類型分別介紹化簡的方法可以進(jìn)一步化簡下面按三種類型分別介紹化簡的方法1.雙曲型雙曲型 對于下列含常系數(shù)的第一種標(biāo)準(zhǔn)形式的雙曲型標(biāo)準(zhǔn)方程還對于下列含常系數(shù)的第一種標(biāo)準(zhǔn)形式的雙曲型標(biāo)準(zhǔn)方程還可進(jìn)一步化簡可進(jìn)一步化簡21111( , )uuudef uG 111, ,d e f1( , )G 11( , )( , )edue v注：上式中用小寫字母注：上式中用小寫字母代表常系數(shù)，以便與代表常系數(shù)，以便與我們不妨令我們不妨令 大寫字母代表某函數(shù)區(qū)別開來大寫字母代表某函數(shù)區(qū)別開來, 例如例如為了化簡，為了化簡，從而有從而有211( ,)hJ vv(3.1)(3.2)其中其中 11()11

15、 1111, ( , )( , )edhd efJGe 由第二種標(biāo)準(zhǔn)形式的雙曲型偏微分方程（含常系數(shù)）可以進(jìn)由第二種標(biāo)準(zhǔn)形式的雙曲型偏微分方程（含常系數(shù)）可以進(jìn)一步化簡一步化簡 22*111122( , )uuuudef u G (3.3) 式中式中 *111,def均為常系數(shù)若令均為常系數(shù)若令*11( , )( , )edue v 則有則有(3.4)22*1122( , )hJ vvv (3.5)其中其中 *11()*2*2* *11111 1112, ( , )( , )edhfededJGe對于對于含常系數(shù)的拋物型偏微分標(biāo)準(zhǔn)方程含常系數(shù)的拋物型偏微分標(biāo)準(zhǔn)方程（含常系數(shù)）（含常系數(shù)）222222( , )uuudef uG （3.6） 還可以進(jìn)一步化簡上式中小寫字母還可以進(jìn)一步化簡上式中小寫字母 222,d ef均為常系數(shù)均為常系數(shù) 為了化簡，不妨令為了化簡，不妨令 22( , )( , )edue v從而有從而有2222(,)hJ vv (3.7)2.拋物