ch信號與噪聲分析PPT課件

1、12.1 2.1 信號的分類2.2 2.2 確知信號的分析2.3 2.3 隨機變量的統(tǒng)計特征2.4 2.4 隨機過程的一般表述2.5 2.5 平穩(wěn)隨機過程2.6 2.6 高斯隨機過程2.7 2.7 隨機過程通過系統(tǒng)的分析 2.8 2.8 窄帶高斯噪聲第2 2章 信號與噪聲分析第1頁/共78頁2 目的要求： 1掌握信號的分類及確知信號的分析； 2理解隨機變量的統(tǒng)計特征； 3理解隨機過程的一般表述； 4理解平穩(wěn)過程的定義； 5掌握平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度； 6掌握高斯隨機過程的定義和性質(zhì)； 7了解隨機過程通過系統(tǒng)的分析； 8掌握窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計特征。 重點：信號的分類及確知信號的分析、平

2、穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度、高斯隨機過程的定義和性質(zhì)、窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計特征。 難點：平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。第2頁/共78頁3 確知信號與隨機信號 周期信號與非周期信號 功率信號與能量信號功率信號:有無限大的能量，但其平均功率是有限的. .能量信號:平均功率（在整個時間軸上平均）等于 0，但其能量有限的信號信號的分類/22/2T1limf ( )TTPt dtT2( )Eft dt第3頁/共78頁4確知信號的分析第4頁/共78頁5第5頁/共78頁6第6頁/共78頁72、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 利用歐拉公式 可得的指數(shù)表達式 式中 cos2jxjxeex0( )jntnnf tF

3、e（） 0/2/21( )TjntnTFf t edtT0, 1, 2.3,n 000Fca2njnncFe(稱為復(fù)振幅)； *2njnnncFeF（是 nF的共軛）。 第7頁/共78頁8第8頁/共78頁9（a）非周期信號 （b）構(gòu)造的周期信號圖2-1 非周期信號第9頁/共78頁10第10頁/共78頁11第11頁/共78頁12第12頁/共78頁13第13頁/共78頁14第14頁/共78頁15第15頁/共78頁16第16頁/共78頁17第17頁/共78頁18第18頁/共78頁19第19頁/共78頁20第20頁/共78頁21第21頁/共78頁22第22頁/共78頁23 由以上兩式可見，互相關(guān)函數(shù)反

4、映了一個信號與另一個延遲秒后的信號間相關(guān)的程度。需要注意的是，互相關(guān)函數(shù)和兩個信號的前后次序有關(guān)，即有2112( )()RR第23頁/共78頁24第24頁/共78頁25第25頁/共78頁26第26頁/共78頁27第27頁/共78頁28第28頁/共78頁29第29頁/共78頁302.3.1 2.3.1 隨機變量 在概率論中，將每次實驗的結(jié)果用一個變量來表示，如果變量的取值是隨機的，則稱變量為隨機變量。例如，在一定時間內(nèi)電話交換臺收到的呼叫次數(shù)是一個隨機變量。 當(dāng)隨機變量的取值個數(shù)是有限個時，則稱它為離散隨機變量。否則就稱為連續(xù)隨機變量。 隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律用概率分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。2.

5、3 隨機變量的統(tǒng)計特征 第30頁/共78頁31 概概率分布函率分布函數(shù)數(shù)和和概概率密度函率密度函數(shù)數(shù) 1 1、概率分布函數(shù) 定義隨機變量X X的概率分布函數(shù) 是X X取值小于或等于某個數(shù)值 的概率 ，即 對于離散隨機變量，其分布函數(shù)也可表示為 式中 ，是隨機變量X X取值為 的概率。( )F xx()P Xx( )(1,2,3,)iP xi ix( )()F xP Xx （）( )()( )1,2,3,iixxF xP XxP xi （） 第31頁/共78頁32 2 2、概率密度函數(shù) 對于連續(xù)隨機變量X X ，其分布函數(shù) 對于一個非負函數(shù) 有下式成立: :( )F x( )f x( )( )d

6、F xf xdx（） ( )( )xF xf u du（） 第32頁/共78頁33 可見，概率密度函數(shù)是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 概率密度函數(shù)有如下性質(zhì)： （1） （2） （3）( )0f x ( )1f x dx( )()baf x dxP aXb（） （） （） 第33頁/共78頁342.3.3 2.3.3 通信系統(tǒng)中幾種典型的隨機變量 1 1、均勻分布隨機變量 設(shè) ，則概率密度函數(shù)為 的隨機變量X X稱為服從均勻分布的隨機變量。ab 1/()( )0baaxbf x其它（） n圖2-2 均勻分布的概率密度函數(shù) 第34頁/共78頁35 2 2、高斯（GaussGauss）分布隨機變量 概率密度函數(shù)

7、為 的隨機變量X X稱為服從高斯分布（也稱正態(tài)分布）的隨機變量，式中， a a為高斯隨機變量的數(shù)學(xué)期望 ， 為方差。 高斯分布的概率密度函數(shù)的曲線如圖2-32-3所示。2221()( )exp22xaf x（）圖2-3 高斯分布的概率密度函數(shù)第35頁/共78頁36 3 3、瑞利（RayleighRayleigh）分布隨機變量 概率密度函數(shù)為 的隨機變量X X稱為服從瑞利分布的隨機變量，其中 ，是一個常數(shù)。其概率密度函數(shù)的曲線如圖2-42-4所示。0222exp()0( )200 xxxf xx （） 圖2-4 瑞利分布第36頁/共78頁37隨機變量的數(shù)字特征 前面討論的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，

8、能夠較全面地描述隨機變量的統(tǒng)計特性。然而，在許多實際問題中，我們往往并不關(guān)心隨機變量的概率分布，而只想了解隨機變量的某些特征，例如隨機變量的統(tǒng)計平均值，以及隨機變量的取值相對于這個平均值的偏離程度等。這些描述隨機變量某些特征的數(shù)值就稱為隨機變量的數(shù)字特征。第37頁/共78頁38 1 1、數(shù)學(xué)期望 數(shù)學(xué)期望（簡稱均值）是用來描述隨機變量X X的統(tǒng)計平均值，它反映隨機變量取值的集中位置。 對于離散隨機變量X X，設(shè) 是其取值 的概率，則其數(shù)學(xué)期望定義為 對于連續(xù)隨機變量X X，其數(shù)學(xué)期望定義為 式中， 為隨機變量X X的概率密度。( )(1,2, )iP xikix( )f x1()( )kiii

9、E Xx P x（） ()( )E Xxf x dx（） 第38頁/共78頁39 2 2、方差 方差反映隨機變量的取值偏離均值的程度。方差定義為隨機變量X X與其數(shù)學(xué)期望 之差的平方的數(shù)學(xué)期望。即()E X2()D XE XE X（） 第39頁/共78頁40隨機過程的一般表述 2.4.1 2.4.1 隨機過程的概念 前面所討論的隨機變量是與試驗結(jié)果有關(guān)的某一個隨機取值的量。例如，在給定的某一瞬間測量接收機輸出端上的噪聲，所測得的輸出噪聲的瞬時值就是一個隨機變量。顯然，如果連續(xù)不斷地進行試驗，那么在任一瞬間都有一個與之相應(yīng)的隨機變量，于是這時的試驗結(jié)果就不僅是一個隨機變量，而是一個在時間上不斷變

10、化的隨機變量的集合。第40頁/共78頁41 隨機過程: 隨時間變化的無數(shù)個隨機變量的集合。 基本特征： (1)是時間t的函數(shù) (2)依賴時間參數(shù)的一族隨機變量第41頁/共78頁42 由此從數(shù)學(xué)的角度，我們給出隨機過程這樣的定義：設(shè) (k=1, 2, )是隨機試驗，每一次試驗都有一個時間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作 ，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體 就構(gòu)成一隨機過程，記作 。簡言之，無窮多個樣本函數(shù)的總體 稱為隨機過程，如圖2-5 所示。 kS( )ix t12( ),( ),.,( ),.nx t x tx t( ) tn圖2-5 隨機過程波形第42頁/共78頁432.4.2 2.4.2 隨機過

11、程的統(tǒng)計特征 隨機過程的統(tǒng)計特性是通過其概率分布函數(shù)或數(shù)字特征來表述的。 一、隨機過程的分布函數(shù)和概率密度 設(shè) 表示一個隨機過程，在任意給定的時刻 其取值 是一個隨機變量。顯然，這個隨機變量的統(tǒng)計特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述，我們稱( ) t1t1( )t11111( , ) ( )F x tPtx（） 為隨機過程 的一維分布函數(shù)( ) t第43頁/共78頁44 。如果 對 的偏導(dǎo)數(shù)存在，即有 則稱 為 的一維概率密度函數(shù)。顯然，隨機過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機過程在各個孤立時刻的統(tǒng)計特性，而沒有說明隨機過程在不同時刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系，為此需要在足夠多的時間上

12、考慮隨機過程的多維分布函數(shù)。111( , )F x t1x111( , )f x t( ) t11 111 11( , )( , )F x tf x tx（） 第44頁/共78頁45 任意給定 ，則 的n n維分布函數(shù)被定義為 如果存在 則稱 為 的n n維概率密度函數(shù)。顯然，n n越大，對隨機過程統(tǒng)計特性的描述就越充分，但問題的復(fù)雜性也隨之增加。在一般實際問題中，引用二維概率密度函數(shù)即可解決問題。12, ,nt tt( ) t1212( ,.,; , ,.,)nnnfx xx t tt( ) t12121122( ,.,; , ,.,)( ( ), ( ),., ( )nnnnnF x xx

13、 t ttPtxtxtx（） 1212121212( ,.,; , ,.,)( ,.,; , ,.,)nnnnnnnnF x xx t ttfx xx t ttx xx （） 第45頁/共78頁46 二、隨機過程的數(shù)字特征 分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面地描述隨機過程的統(tǒng)計特性, , 但在實際工作中，有時不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，而用隨機過程的數(shù)字特征來描述隨機過程的統(tǒng)計特性，更簡單直觀。 1 1、數(shù)學(xué)期望（統(tǒng)計平均值） 隨機過程 的數(shù)學(xué)期望定義為 并記為 。隨機過程的數(shù)學(xué)期望是時間的函數(shù)。( ) t ( )( )Eta t1 ( )( , )Etxf x t dx（） 第4

14、6頁/共78頁47 2 2、方差 隨機過程 的方差定義為 也常記為 。( ) t( )Dt2( ) t222221 ( ) ( ) ( )( ) ( )( , ) ( )DtEtEtEta tx f x t dxa t（） 第47頁/共78頁483 3、自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)衡量同一隨機過程在任意兩個時刻上獲得的隨機變量的統(tǒng)計相關(guān)特性時，常用自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)來表示。自協(xié)方差函數(shù)定義為式中， 與 是任取的兩個時刻； 與 為在 及 時刻得到的數(shù)學(xué)期望； 為二維概率密度函數(shù)。121122121211222121212( , ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )(

15、 ,; , )B t tEta tta tEtta t a txa txa tfx x t t dx dx （）1t2t1( )a t2( )a t1t2t21212( ,; , )fx x t t第48頁/共78頁49 自相關(guān)函數(shù)定義為 若 ，并令 ，則 可表示為 可見，相關(guān)函數(shù)是 和的函數(shù)。 顯然，由式（）和（）可得自協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系式21tt21tt12( , )R t t11( ,)R t t1t1212122121212( , ) ( ) ( )( ,; , )R t tEttx x fx x t t dx dx （） 121212( , )( , )( ) ( )B

16、 t tR t ta t a t（）第49頁/共78頁50第50頁/共78頁51第51頁/共78頁52各態(tài)歷經(jīng)性 一個平穩(wěn)隨機過程若按定義求其均值和自相關(guān)函數(shù)，則需要對其所有的實現(xiàn)計算統(tǒng)計平均值。實際上，這是做不到的。然而，若一個隨機過程具有各態(tài)歷經(jīng)性，則它的統(tǒng)計平均值可以由任一實現(xiàn)的時間平均值來代替。 顧名思義，各態(tài)歷經(jīng)性表示一個平穩(wěn)隨機過程的任一個實現(xiàn)能夠經(jīng)歷此過程的所有狀態(tài)。若一個平穩(wěn)隨機過程具有各態(tài)歷經(jīng)性，則它的統(tǒng)計平均值就等于其時間的平均值。也就是說，假設(shè)x(t)x(t)是平穩(wěn)隨機過程 的任意一個實現(xiàn)，若滿足( ) t第52頁/共78頁53則稱此隨機過程為具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機過程。可

17、見，具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機過程的統(tǒng)計特性可以用時間平均來代替，對于這種隨機過程無需（實際中也不可能）考察無限多個實現(xiàn)，而只考察一個實現(xiàn)就可獲得隨機過程的數(shù)字特征，因而可使計算大大簡化。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)性。221lim( )1( )lim( ) ()( )TTTTax t dtaTRx t x tdtRT （） 第53頁/共78頁54 2、 （） 3、 （） 4、 （） 5、 （） 由上述性質(zhì)可知，用自相關(guān)函數(shù)幾乎可以表述的主要特征，因而上述性質(zhì)有明顯的實用價值。( )() ( )RRR是偶函數(shù)( )(0)R( )RR的上界2( )t) (t)RE （的直流

18、功率2(0)( )( )RRt 方差，的交流功率一、平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)為一平穩(wěn)隨機過程,則其自相關(guān)函數(shù)有如下性質(zhì)：1、2(0)( ) ( )REtSt的平均功率平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度第54頁/共78頁55 二、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度 隨機過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。 由式（）可知，對于任意的確定功率信號f(t)f(t)其功率譜密度為 （） 式中， 是f(t)f(t)的截短函數(shù) 的頻譜函數(shù)。f(t)f(t)和 的波形如圖2-62-6所示。2( )( )limTfTFPT( )TF( )Tft( )Tftn圖2-6 功率信號及其截短函數(shù)第55頁/共78頁5

19、6 對功率型的平穩(wěn)隨機過程而言，它的每一實現(xiàn)的功率譜也可以由上式確定。但是，隨機信號的每一個實現(xiàn)是不能預(yù)知的，因此，某一實現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。隨機過程的功率譜密度應(yīng)看作每一可能實現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計平均。 設(shè) 的功率譜密度為 ， 的某一實現(xiàn)的截短函數(shù)為 ，且 ，于是有 （） ( ) t( )P( ) t( )Tt( )( )TTtF2( ) ( )( )limTfTE FPE PT第56頁/共78頁57 三、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系（維納辛欽定理） 平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間互為傅里葉變換的關(guān)系( )( )RP1( )( )2( )( )jjRP

20、edPRed （）第57頁/共78頁58高斯隨機過程 高斯隨機過程又稱正態(tài)隨機過程，是通信領(lǐng)域中普遍存在的隨機過程。在實踐中觀察到的大多數(shù)噪聲都是高斯過程，例如通信信道中的噪聲通常是一種高斯過程。 高斯過程的定義 若高斯過程 的任意n n維（n=1n=1，2 2，）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機過程或正態(tài)過程。( ) t（） 第58頁/共78頁59高斯過程的性質(zhì) 1 1、若高斯過程是寬平穩(wěn)隨機過程，則它也是嚴平穩(wěn)隨機過程。也就是說，對于高斯過程來說，寬平穩(wěn)和嚴平穩(wěn)是等價的。 2 2、若高斯過程中的隨機變量之間互不相關(guān)，則它們也是統(tǒng)計獨立的； 3 3、高斯過程的線性組合仍是高斯過程； 4 4

21、、高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）后的過程仍是高斯過程。第59頁/共78頁602.6.3 2.6.3 一維高斯分布 一、一維概率密度函數(shù) 高斯過程的一維概率密度表示式為 式中，a a為高斯隨機變量的數(shù)字期望； 為方差。f(x)f(x)的曲線如圖2-72-7所示。2221()( )exp22xaf x （） 第60頁/共78頁61 圖2-7 2-7 一維概率密度函數(shù) 1 1、 f(x)f(x)對稱于x=ax=a的直線 。 2 2、 3 3、a a表示分布中心， 表示集中程度，f(x)f(x)圖形將隨著 的減小而變高和變窄。當(dāng)a=0a=0， 時，稱f(x)f(x)為標(biāo)準正態(tài)分布的密度函數(shù)。 aa

22、( )1f x dx1( )( )2aaf x dxf x dx1第61頁/共78頁62 二、正態(tài)分布函數(shù) 正態(tài)分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分，即 （） 式中， 稱為概率積分函數(shù)，其定義為 （） 式（）積分不易計算，常引入誤差函數(shù)和互補誤差函數(shù)表示正態(tài)分布。22221()( )exp221()exp()22xxzaF xdzzaxadz( ) x21( )exp22xzxdz第62頁/共78頁63 三、誤差函數(shù)和互補誤差函數(shù) 誤差函數(shù)的定義式： （） 互補誤差函數(shù)的定義式： （） 誤差函數(shù)、互補誤差函數(shù)和概率積分函數(shù)之間的關(guān)系如下 （） （）202( )xzerf xedz22( )1( )zx

23、erfc xerf xedz ( )2 ( 2 ) 1erf xx( )22 ( 2 )erfc xx第63頁/共78頁64 引入誤差函數(shù)和互補誤差函數(shù)后，不難求得 （） 在后面分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能時，常用到誤差函數(shù)和互補誤差函數(shù)來表示F(x)F(x)。其好處是：借助于一般數(shù)學(xué)手冊所提供的誤差函數(shù)表，可方便查出不同值時誤差函數(shù)的近似值（參見附錄四），避免了式（）的復(fù)雜積分運算。此外，誤差函數(shù)的簡明特性特別有助于通信系統(tǒng)的抗噪性能分析。11(),222( )11(),22xaerfxaF xxaerfcxa當(dāng)時當(dāng)時第64頁/共78頁65第65頁/共78頁66第66頁/共78頁672.6.4

24、2.6.4 高斯白噪聲 信號在信道中傳輸時，常會遇到這樣一類噪聲，它的功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi)，即 雙邊功率譜為 單邊功率譜為 0( )()2nP 0( )(0)Pn 這種噪聲被稱為白噪聲，它是一個理想的寬帶隨機過程。001( )( )222jnnRed 白噪聲只有在=0時才相關(guān)，而它在任意兩個時刻上的隨機變量都是互不相關(guān)的白噪聲的自相關(guān)函數(shù)第67頁/共78頁68 圖2-8 白噪聲的雙邊帶功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)n如果白噪聲又是高斯分布的，我們就稱之為如果白噪聲又是高斯分布的，我們就稱之為高斯白噪高斯白噪聲。聲。n應(yīng)當(dāng)指出，我們所定義的這種理想化的白噪聲在實際應(yīng)當(dāng)指出，我們所定義的這種

25、理想化的白噪聲在實際中是不存在的。但是，中是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均勻分布的如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠遠大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以頻率范圍遠遠大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。把它視為白噪聲。 第68頁/共78頁69窄帶高斯噪聲2.8.1 2.8.1 窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計特征一、窄帶高斯噪聲的概念設(shè)系統(tǒng)的帶寬為f f，中心頻率為fc，當(dāng)時稱該系統(tǒng)為窄帶系統(tǒng)。當(dāng)高斯白噪聲通過窄帶系統(tǒng)時，其輸出噪聲只能集中在中心頻率fc附近的帶寬之內(nèi)，稱這種噪聲為窄帶高斯噪聲。窄帶高斯噪聲的原理框圖及相關(guān)波形如所示。（a）原理框圖第69頁/共78頁70 （b b）窄帶噪聲的功率譜 （c c）窄帶噪聲的波形 圖2-11 2-11 窄帶噪聲的原理框圖及波形第70頁/共78頁71 如果用示波器觀察窄帶噪聲的波形，可以發(fā)現(xiàn)它是一個包絡(luò)和相位都在緩慢變化、頻率近似為的正弦波。因此，窄帶高斯噪聲可以用下式表示，即 式中，a(t)a(t)和 分別表示窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位，它們都是隨機過程，