chenpc文件下載數(shù)理方法級數(shù)解法PPT課件

1、 第九章第九章 二階常微分方程級數(shù)解法二階常微分方程級數(shù)解法 9.1 9.1 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程一、球坐標系：一、球坐標系：220vk v22222222111sin0sinsinvvvrk vrrrrr , ,v rR r Y 令則：2222221111sin1sinsinddRYYrk rl lR drdrY 第1頁/共43頁2222221011sin10sinsinddRrk rl lRdrdrYYl lY一、球坐標系：一、球坐標系：22222210d RdRrrk rl lRdrdr球函數(shù)方程l階球函數(shù)方程歐拉型方程K=0 ,Y 令則：2222sin1sin1 sindddl l

2、mddd 2 第2頁/共43頁一、球坐標系：一、球坐標系：2222201sin10sinsindmdddml ldd cossinmmmAmBmsincos,sindxdxdddxdddx ddx 令則2221101ddmxl ldxdxx 第3頁/共43頁2222212101ddmxxl ldxdxx 一、球坐標系：一、球坐標系： l 階連帶勒讓德方程 l 階勒讓德方程0m ,2xkr R ry xx令，則：3/21/2122dRdR dxdRdykkxyxdrdx drdxdx =222225/23/21/2222324d RddRdxd Rdyd ykkxyxxdrdxdrdrdxdxd

3、x=第4頁/共43頁22222210d RdRrrk rl lRdrdr222222222221122d RdRrrk rl lRdrdrd ydyxxxlyxdxdx而22222102d ydyxxxlydxdx12l階貝塞爾方程一、球坐標系：一、球坐標系：二、柱坐標系：二、柱坐標系：220vk v第5頁/共43頁二、柱坐標系：二、柱坐標系：222222110vvk vz , ,vzRZ z 令則： 2222ZzdRkmR dZ z 2 222201mZzdmRkRdZ z 第6頁/共43頁 2222000mdRkmRdZzZ z 2222000mdxxRxxmR xxkdxZzZ z 二、

4、柱坐標系：二、柱坐標系：第7頁/共43頁 cossin000zzCzDzZ zCDzCeDe 222cossin00mmAmBmmx RxxRxxmR xm階貝塞爾方程二、柱坐標系：二、柱坐標系： 9.2 9.2 勒讓德方程（勒讓德方程（Legendres EquationLegendres Equation） 21210 xyxxyxl ly x 2212011l lxyxyxy xxx第8頁/共43頁 9.2 9.2 勒讓德方程勒讓德方程 2212,111l lxp xq xxxx 在區(qū)域內(nèi)解析 01kkkxy xc x在區(qū)域內(nèi)， 做泰勒級數(shù)展開：22100011210kkkkkkkkkx

5、c k kxxc kxl lc x202110kkkkckkcklklx 21021kkklklcckkk 第9頁/共43頁2lim1kkkcRc 01kkky xc xx欲使在處收斂，級數(shù)只能取有限項2460llllccc必為整數(shù), 2220:22llklkklly xcx 對取整2211kkkkccklkl 21212lll lccl 9.2 9.2 勒讓德方程勒讓德方程第10頁/共43頁4223231234234212llllllll lccclll222212312212234212lkllklklll lcclkkll221 !12!21 !2!lklklclklk2 !22!12!

6、22!2 !2!lkllklclklklk22!2 !12! 2!2 !2!llkl klkllclklklk 9.2 9.2 勒讓德方程勒讓德方程第11頁/共43頁 222!12! !2 !kllklclklkkl 222!2 !11122! !2!kllllklclklkkl 2220llklkky xcx 22022!1122! !lklklklkxlklkk 勒讓德多項式2202222121112! !lklklklklklkxlkk 9.2 9.2 勒讓德方程勒讓德方程第12頁/共43頁22201112! !llklkllkdxdxlkk 2201!12 ! !llkl kllkdl

7、xldxlkk 220112 !lll kkklllkdcxldx 20112 !lll kkklllkdcxldx 9.2 9.2 勒讓德方程勒讓德方程第13頁/共43頁2112 !lllldxldx1211212lklllkllkll 為偶數(shù)為奇數(shù)222122lklllkll 為偶數(shù)為奇數(shù)02220221lklllkll 為偶數(shù)為奇數(shù) 9.2 9.2 勒讓德方程勒讓德方程注：注：第14頁/共43頁 勒讓德方程的解為： 22022!122! !lklkllklkP xxlklkk 2112 !lllldxldx0,1,2,l 9.2 9.2 勒讓德方程勒讓德方程第15頁/共43頁 01223

8、34245351113122532235153848633515848lPP xP xxP xxP xxxP xxxP xxxx 9.2 9.2 勒讓德方程勒讓德方程第16頁/共43頁MATLAB計算連帶勒讓德函數(shù)的指令是： P=lengendre(N,x)計算N階連帶勒讓德函數(shù)在x處的函數(shù)值。如果x是矢量，所得的結(jié)果P是矩陣，而P(m+1,i)則是連帶勒讓德函數(shù)PN(m)(x)在x(i)處的函數(shù)值。利用上面函數(shù)，可繪制出教材第224頁圖10-1。 9.2 9.2 勒讓德方程勒讓德方程第17頁/共43頁第18頁/共43頁clear allclcx=0:0.01:1;for N=1:7 eval

9、(y,num2str(N),=legendre(N,x););endplot(x,y1(1,:),-,x,y2(1,:),-.,x,y3(1,:),:,. x,y4(1,:),-,x,y5(1,:),-o,x,y6(1,:),-*,x,y7(1,:),-+)title(勒讓德多項式)legend(P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6,P_7)grid on一、勒讓德多項式的常用性質(zhì)：一、勒讓德多項式的常用性質(zhì)：第19頁/共43頁例題：使用maple指令繪制出勒讓德多項式的圖形。解： %第一種方式y(tǒng)y0=maple(orthopolyP(0,x)yy1=maple(orthopolyP

10、(1,x)yy2=maple(orthopolyP(2,x)yy3=maple(orthopolyP(3,x)yy4=maple(orthopolyP(4,x)yy5=maple(orthopolyP(5,x)x=0:0.05:1;yy0=subs(yy0,x);yy1=subs(yy1,x);一、勒讓德多項式的常用性質(zhì)：一、勒讓德多項式的常用性質(zhì)：第20頁/共43頁yy2=subs(yy2,x);yy3=subs(yy3,x);yy4=subs(yy4,x);yy5=subs(yy5,x);subplot(121)plot(x,yy0,b-+,x,yy1,b-,. x,yy2,b-.,x,y

11、y3,b-*,. x,yy4,b-d,x,yy5,b-o)axis(0 1 -0.7 1.2)xlabel(x)ylabel(P_l(x)title(前6個勒讓德多項式的曲線)text(0.7,1.1,P_0(x)text(0.7,0.8,P_1(x)一、勒讓德多項式的常用性質(zhì)：一、勒讓德多項式的常用性質(zhì)：第21頁/共43頁text(0.7,0.45,P_2(x)text(0.7,0.05,P_3(x)text(0.02,0.43,P_4(x)text(0.85,-0.35,P_5(x) %第二種方式maple(with(orthopoly)yy0=maple(P(0,x)yy1=maple(

12、P(1,x)yy2=maple(P(2,x)yy3=maple(P(3,x)yy4=maple(P(4,x)yy5=maple(P(5,x)x=0:0.05:1;一、勒讓德多項式的常用性質(zhì)：一、勒讓德多項式的常用性質(zhì)：第22頁/共43頁yy0=subs(yy0,x);yy1=subs(yy1,x);yy2=subs(yy2,x);yy3=subs(yy3,x);yy4=subs(yy4,x);yy5=subs(yy5,x);subplot(122)plot(x,yy0,b-+,x,yy1,b-,. x,yy2,b-.,x,yy3,b-*,. x,yy4,b-d,x,yy5,b-o)axis(0

13、 1 -0.7 1.2)xlabel(x)ylabel(P_l(x)一、勒讓德多項式的常用性質(zhì)：一、勒讓德多項式的常用性質(zhì)：第23頁/共43頁title(前6個勒讓德多項式的曲線)text(0.7,1.1,P_0(x)text(0.7,0.8,P_1(x)text(0.7,0.45,P_2(x)text(0.7,0.05,P_3(x)text(0.02,0.43,P_4(x)text(0.85,-0.35,P_5(x)一、勒讓德多項式的常用性質(zhì)：一、勒讓德多項式的常用性質(zhì)：第24頁/共43頁第25頁/共43頁 9.3 9.3 柱貝塞爾方程柱貝塞爾方程一、一、 函數(shù)：函數(shù)： 10t zze td

14、t 1zzz 11znzz zzn 1sinzzz 111!nn k 0, 1, 2,kn 12z 12第26頁/共43頁二、貝塞爾函數(shù)：二、貝塞爾函數(shù)： 2220 x yxxyxxmy xm m階柱貝塞爾方程階柱貝塞爾方程0mm為實數(shù)，且 22210 xmyxyxy xxx 22210 xmxp xq xxx是的一階極點，是的二階極點 000 ,k skky xc xc令方程的解則：2212200010k sk sk skkkkkkxcksksxxcks xxmc x 第27頁/共43頁222020k sk skkkkcksmxcx二、貝塞爾函數(shù)：二、貝塞爾函數(shù)：2202212220102k

15、kcsmcsmcksmck 12122000122kkksmmcckcckmkk 或00c sm取220skm第28頁/共43頁二、貝塞爾函數(shù)：二、貝塞爾函數(shù)：2222112kkcckmk k 2242 211211kcmkmkk k 3262 31121212kcmkmkmkk kk 021121111kkcmkmkmk k 021121111kkcmkmkmk k 02!12! !kkmcmkk 第29頁/共43頁 m m階柱貝塞爾方程的一個特解為：階柱貝塞爾方程的一個特解為：二、貝塞爾函數(shù)：二、貝塞爾函數(shù)： 220k mmkkJxc x2020!12! !kk mkkmc xmkk200

16、1!211! 2k mkmkxc mmkk0122!0111! 2mck mmkkxmkkm m階第一類貝塞爾函數(shù)階第一類貝塞爾函數(shù)第30頁/共43頁 當當s=-ms=-m時，時，m m階柱貝塞爾方程的另一個特解為：階柱貝塞爾方程的另一個特解為：二、貝塞爾函數(shù)：二、貝塞爾函數(shù)： 20111! 2k mkmkxJxmkk m 當 為整數(shù)時， 20111! 2k mkmkxJxmkk 2 11 1! 2kmkk mkmkmxkkm 2 011 1! 2kmkmkxkkm 11, 2,kkm 第31頁/共43頁二、貝塞爾函數(shù)：二、貝塞爾函數(shù)：201111! 2k mmkkxkmk -mmmJxJx

17、當 為整數(shù)時，與線性相關(guān) 1mmJx 須引入m階第二類貝塞爾函數(shù) m階諾依曼(Neumann)函數(shù) cos=limsinmmJxJxNx 2101 !21=ln2!2mnmmnmnxxC Jxn2111111-11!222n mmnn mxn nmnmn 第32頁/共43頁0.5772175C 歐拉常數(shù)二、貝塞爾函數(shù)：二、貝塞爾函數(shù)： mmJxNx、線性無關(guān)m階柱貝塞爾方程的通解為： mmy xAJxBNxAB、 是任意常數(shù)注意： mmJxNx1、的特殊值： 21212122201001,2,3,00,1,2,3,mmnnnnnnJmNmJxJxJxJxJxJx 0J是奇函數(shù)是偶函數(shù)第33頁/

18、共43頁 12122sin2cosJxxxJxxx2證明：二、貝塞爾函數(shù)：二、貝塞爾函數(shù)： 1221021112!12kkkxJxkka210121113 12!222 2kkkxxkkk2110221! 21213 1 2kkkkxxkkk第34頁/共43頁二、貝塞爾函數(shù)：二、貝塞爾函數(shù)： 2102112! 21 !kkkxxkk21021121 !kkkxxk2sin xx 1221021112!12kkkxJxkk b202111312!222kkkxxkkk第35頁/共43頁二、貝塞爾函數(shù)：二、貝塞爾函數(shù)：20221! 21231 2kkkkxxkkk 202112! 21 !kkkx

19、xkk202112!kkkxxk2cosxx第36頁/共43頁MATLAB有5種計算貝塞爾函數(shù)的指令，計算指令 作用J=besselj(,z) 計算階第一類貝塞爾函數(shù) 的值N=bessely(,z) 計算階第二類貝塞爾函數(shù) 的值H=besselh(,k,z) 計算階第一類漢開爾函數(shù)（k=1） 的值或階第二類漢開爾函數(shù)（k=2） 的值I=besseli(,z) 計算階第一類虛宗量貝塞爾函數(shù) 的值K=besselk(,z) 計算階第二類虛宗量貝塞爾函數(shù) 的值二、貝塞爾函數(shù)：二、貝塞爾函數(shù)：第37頁/共43頁例題：繪出前四個第一類貝塞爾函數(shù)的曲線。解：clear allclose ally=besselj(0:3,(0:0.2:10);figure(1)plot(0:0.2:10),y(:,1),b-,(0:0.2:10),y(:,2),b-*,. (0:0.2:10),y(:,3),r-.,(0:0.2:10),y(:,4),r-o)xlabel(x)ylabel(J_nu(x)title(貝塞爾函數(shù)J_0,1,2,3的圖形)legen