兩個(gè)重要極限的簡化證明_第1頁
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文檔簡介

1、兩個(gè)重要極限的簡化證明高等數(shù)學(xué)微積分學(xué)中有兩個(gè)重要極限公式 sinx/x =1 及(1+1/n)n= e。表面上看這兩個(gè)公式只是解決了部分時(shí)型和時(shí) 型極限的計(jì)算問題。實(shí)際上由于這兩個(gè)公式是高度抽象的 , 它們 的含義非常深刻。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)極限是很重要的基礎(chǔ) , 引導(dǎo)學(xué)生 掌握極限的本質(zhì)還是很有必要的。兩個(gè)重要極限的簡化證明 , 不 僅給學(xué)生提供了一個(gè)提升對兩個(gè)重要極限的認(rèn)識的途徑 , 也提供 了一個(gè)便于高職高專高等數(shù)學(xué)教學(xué)簡便的直接方法。1 兩個(gè)重要極限的地位及作用 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則以及由它們所推導(dǎo)出的兩個(gè)重要極限 ,在求解極限問題中都占有很重要的地位。但是, 我們往往注重的僅僅是它們在求極

2、限過程當(dāng)中的運(yùn)用 , 而忽略了它們本身的證明 尤其是重要極限limn (1+1 n)n=e。針對這一現(xiàn)象,也為了拓 展學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維 , 教學(xué)中應(yīng)給出重要極限 limn fx(1+n1)n=e 的證明方法。針對不同層次的學(xué)生給予證法 比較 , 有助于學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識。2 兩個(gè)重要極限的證明I 極限sinx/x =1該極限的證明 , 關(guān)鍵是證不等式 :sinx1- 1/n=(2?(1/2)+(n-2)/n (1/2)2?1n-2=(1/4)1/n貝U 4> (n+1)/ n= (1+1/n)n即數(shù)列An有上界。于是,極限H存在，并記為數(shù)e。3 在練習(xí)中鞏固所學(xué)內(nèi)容 , 提升對兩個(gè)重要極限的認(rèn)識 選擇典型例題 , 利用兩個(gè)重要極限進(jìn)行極限的計(jì)算 , 提升對 兩個(gè)重要極限的認(rèn)識。例1 求。解=()=1例2求解=例3 求解=e-1例4求解=l n(1+x)=1例 5 求(1+sinx)2cotx解(1+si nx)2cotx=(1+si nx)2si nxcotx由于 (1+sinx) =e,sinxcotx=cosx=1所以 (1+sinx)2cotx =e2。通過對“兩個(gè)重要極限”的作用的深入分析和證明 , 指出它 們不僅是微積分學(xué)的計(jì)算基礎(chǔ) , 而且本身就體現(xiàn)了微積分學(xué)的基 本思想,學(xué)

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