概率論高等數(shù)學(xué)習(xí)題解答

1、習(xí) 題 二（A）三、解答題 1一顆骰子拋兩次，以X表示兩次中所得的最小點(diǎn)數(shù) (1) 試求X的分布律； (2) 寫出X的分布函數(shù) 解: (1)X123456pi分析：這里的概率均為古典概型下的概率，所有可能性結(jié)果共36種，如果X=1，則表明兩次中至少有一點(diǎn)數(shù)為1，其余一個(gè)1至6點(diǎn)均可，共有（這里指任選某次點(diǎn)數(shù)為1，6為另一次有6種結(jié)果均可取，減1即減去兩次均為1的情形，因?yàn)槎嗨懔艘淮危┗蚍N，故,其他結(jié)果類似可得. (2) 2某種抽獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)則是這樣的：袋中放紅色球及白色球各5只，抽獎(jiǎng)?wù)呓患{一元錢后得到一次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，然后從袋中一次取出5只球，若5只球同色，則獲獎(jiǎng)100元，否則無(wú)獎(jiǎng)，以X表示某抽獎(jiǎng)?wù)?/p>

2、在一次抽取中凈贏錢數(shù)，求X的分布律解：X-199pi注意，這里X指的是贏錢數(shù)，X取0-1或100-1，顯然. 3設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為為常數(shù)，試求常數(shù)a 解：因?yàn)?，所? 4設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-123pi1/41/21/4 (1) 求X的分布函數(shù)； (2) 求， 解： (1) ， (2) 、 , . 5設(shè)隨機(jī)變量的分布律為求： (1) PX = 偶數(shù) (2) PX ³ 5 (3) PX = 3的倍數(shù) 解：(1) ， (2) ， (3) . 6. 某公安局在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為0.5t的泊松分布，而與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無(wú)關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)） (1) 求某

3、一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒有收到緊急呼救的概率 (2) 求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到一次緊急呼救的概率 解： (1) . (2) . 7. 某人進(jìn)行射擊，每次射擊的命中率為0.02，獨(dú)立射擊400次，試求至少擊中2次的概率 解：設(shè)射擊的次數(shù)為X，由題意知,由于上面二項(xiàng)分布的概率計(jì)算比較麻煩，而且X近似服從泊松分布P(l)（其中l(wèi)=400×0.02），所以PX³2，查表泊松分布函數(shù)表得：PX³2 8. 設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)現(xiàn)進(jìn)行5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率 解：設(shè)X為事件A在5次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)

4、中出現(xiàn)的次數(shù)，則指示燈發(fā)出信號(hào)的概率 . 9. 設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（以分鐘計(jì)）服從參數(shù)為5指數(shù)分布某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過(guò)10分鐘，他就離開他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)寫出Y的分布律，并求PY ³ 1 解：因?yàn)閄服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，則，,則. 10設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，試求： (1) 系數(shù)a； (2) X落在區(qū)間內(nèi)的概率 解：(1) 由歸一性知：，所以. (2) . 11設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試求： (1) 系數(shù)A；(2) X落在區(qū)間(0.3，0.7)內(nèi)的概率；(3) X的概率密度 解 （1）由F(x)在x=1的連續(xù)性可得，

5、即A=1.（2）. （3）X的概率密度. 12設(shè)隨機(jī)變量X服從(0，5)上的均勻分布，求x的方程有實(shí)根的概率 解：因?yàn)閄服從（0，5）上的均勻分布，所以 若方程有實(shí)根，則，即，得或，所以有實(shí)根的概率為 13設(shè)XN(3，4) (1) 求 (2) 確定c使得 (3) 設(shè)d滿足，問(wèn)d至多為多少? 解: (1) 因?yàn)?所以 . (2) ，則， 經(jīng)查表得，即，得；由概率密度關(guān)于x=3對(duì)稱也容易看出。 (3) ，則，即，經(jīng)查表知，故，即. 14設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，試求 解： 所以 ，；由對(duì)稱性更容易解出. 15設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，試問(wèn)：隨著s的增大，概率P|X m | < s是如何變

6、化的？ 解：則 .上面結(jié)果與無(wú)關(guān)，即無(wú)論怎樣改變，都不會(huì)改變； 16已知離散隨機(jī)變量的分布律為X-2-1013pi1/51/61/51/1511/30試求與的分布律解：由X的分布律知px-2-10134101921013所以 Y的分布律是Y0149pY0123pZ的分布律為 17設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，求Y = eX的概率密度 解：因?yàn)閄服從正態(tài)分布，所以，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，所以Y的概率密度為； 18設(shè)XU(0，1)，試求Y = 1 X的概率密度 解 因?yàn)椋?所以 19設(shè)XU(1，2)，試求的概率密度 解：，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 20設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為試求下列隨機(jī)變量的概率密度： (1) (2)

7、(3) 解: (1) 因?yàn)樗?(2) ，因?yàn)椋?所以（3） 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 所以 ，因?yàn)?，所以四、?yīng)用題 1. 甲地需要與乙地的10個(gè)電話用戶聯(lián)系，每一個(gè)用戶在1分鐘內(nèi)平均占線12秒，并且各個(gè)用戶是否使用電話是相互獨(dú)立的為了在任意時(shí)刻使得電話用戶在用電話時(shí)能夠接通的概率為0.99，應(yīng)至少有多少電話線路？ 解：設(shè)X為同時(shí)打電話的用戶數(shù)，由題意知設(shè)至少要有k條電話線路才能使用戶再用電話時(shí)能接通的概率為0.99，則，其中查表得k=5. 2. 在一個(gè)電子儀器系統(tǒng)中，有10塊組件獨(dú)立工作，每個(gè)組件經(jīng)過(guò)5小時(shí)后仍能正常工作的概率為，其中l(wèi) 是與工藝、系統(tǒng)復(fù)雜性有關(guān)的因子若該系統(tǒng)中損壞的組件不超過(guò)一塊，則

8、系統(tǒng)仍能正常工作，那么，5小時(shí)后系統(tǒng)不能正常工作的概率（l = 0.08）是多少？ 解：該問(wèn)題可以看作為10重伯努利試驗(yàn)，每次試驗(yàn)下經(jīng)過(guò)5個(gè)小時(shí)后組件不能正常工作這一基本結(jié)果的概率為1-，記X為10塊組件中不能正常工作的個(gè)數(shù)，則， 5小時(shí)后系統(tǒng)不能正常工作，即，其概率為 3. 測(cè)量距離時(shí)，產(chǎn)生的隨機(jī)誤差X服從正態(tài)分布N(20，402)，做三次獨(dú)立測(cè)量，求： (1) 至少有一次誤差絕對(duì)值不超過(guò)30m的概率； (2) 只有一次誤差絕對(duì)值不超過(guò)30m的概率 解：因?yàn)?，所?設(shè)Y表示三次測(cè)量中誤差絕對(duì)值不超過(guò)30米的次數(shù)，則，(1) . (2) . 4. 假設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無(wú)故障工作的時(shí)間X服從參數(shù)為5

9、的指數(shù)分布，設(shè)備定時(shí)開機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而無(wú)故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī)試求該設(shè)備每次開機(jī)無(wú)故障工作的時(shí)間Y的分布函數(shù) 解：當(dāng)時(shí)，是不可能事件，知， 當(dāng)時(shí)，Y和X同分布,服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，知， 當(dāng)時(shí)，為必然事件,知，因此，Y的分布函數(shù)為 ； 5. 有甲乙兩種顏色和味道都極為相似的名酒各4杯，如果從中挑4杯，能將甲種酒全挑出來(lái)，算是試驗(yàn)成功一次 (1) 某人隨機(jī)去挑，問(wèn)他試驗(yàn)成功的概率是多少？ (2) 某人聲稱他通過(guò)品嘗能區(qū)分兩種酒，他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次，試推斷他是猜對(duì)的還是確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的） 解：(1) 挑選成功的概率；(2) 設(shè)10隨機(jī)挑選成功的次數(shù)為

10、X，則該，設(shè)10隨機(jī)挑選成功三次的概率為：，以上概率為隨機(jī)挑選下的概率，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于該人成功的概率3/10=0.3，因此，可以斷定他確有區(qū)分能力。（B） 1設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為若k使得，求k的取值范圍 解：由概率密度可得分布函數(shù)，即，易知； 2設(shè)隨機(jī)變量服從(-1，2)上的均勻分布，記，試求的分布律 解： X服從的均勻分布，又則，-11P所以Y的分布律為 3設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求隨機(jī)變量的概率密度 解：，； 4設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為fX(x)是偶函數(shù)，令Y = X，證明Y與X有相同的概率密度證明：因是偶函數(shù)，故，所以 5設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為F(x)是X的分布函數(shù)求隨機(jī)變量Y = F(X)的分布函數(shù) 解：隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 ，顯然， ，當(dāng)時(shí)，是不可能事件，知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，是必然事件，知，即 。 6設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為試求下列隨機(jī)變量的概率密度： (1) (2) (3) （1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，即y>1時(shí)，所以；（2）， 當(dāng)時(shí)，為不可能事件，則， 當(dāng)時(shí)，則， 當(dāng)時(shí)，則，根據(jù)得 ；（3），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以 ； 7設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1