高考數(shù)學(xué)第1講 數(shù)列與函數(shù)不等式綜合問(wèn)題選講上

1、 中國(guó)中學(xué)網(wǎng)絡(luò)輔導(dǎo)專家24小時(shí)名師針對(duì)性輔導(dǎo)簡(jiǎn)單學(xué)習(xí)網(wǎng)課后練習(xí)一學(xué)科： 高考總復(fù)習(xí)課程-10（新課標(biāo)）高考數(shù)學(xué)（理）第二輪復(fù)習(xí) 講次： 第 1 講 名稱： （上）主講教師：丁益祥，北京陳經(jīng)綸中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師 北京市海淀區(qū)上地東路1號(hào)盈創(chuàng)動(dòng)力大廈e座702全國(guó)24小時(shí)免費(fèi)咨詢電話 4008-110-818總機(jī)：01058858883高考總復(fù)習(xí)課程-10（新課標(biāo)）高考數(shù)學(xué)（理）第二輪復(fù)習(xí)第一講 數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問(wèn)題選講（上） 主講教師：丁益祥1、已知函數(shù)f(x)=a·bx的圖像過(guò)點(diǎn)a(1，)和b(2，).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)記an=log2f(n)，n是正整數(shù)，sn

2、是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，求s30.答案：（1）f(x)=；（2）780【解析】由題意得ab=且ab2=a=，b=4f(x)=.an=log2f(n)=log2f(n)=log2=2n-5(nn*)，an+1-an=2(nn*)，故an是公差為2的等差數(shù)列，且a1=-3，由sn=n(a1+an)s30=×30×(-3+2×30-5)=780. 2、已知函數(shù)是一次函數(shù)，且成等比數(shù)列，設(shè)，()，求；答案：【解析】設(shè)，（）由成等比數(shù)列得，-, 得 -由得， ，顯然數(shù)列是首項(xiàng)公差的等差數(shù)列3、已知數(shù)列的前項(xiàng)和，第項(xiàng)滿足，則（ ）a b c. d答案：b4、已知實(shí)數(shù)列an滿足a

3、0=a,a為實(shí)數(shù),(nn)求。答案：【解析】原來(lái)的解法： , 于是對(duì)于任意正整數(shù)k有 (r=0,1,2,3,4,5,)2000=6×333+2 上述所給出的答案計(jì)算量明顯較大，感覺(jué)機(jī)械操作過(guò)程頗多，主要是因?yàn)闆](méi)有充分利用函數(shù)的思想和方法來(lái)解決問(wèn)題?？慈缦掠袃煞N方法： 如果將上面的替換為，替換為得到：= 同理得：所以得到：用函數(shù)的思想認(rèn)識(shí)時(shí)，很顯然數(shù)列an的周期t=6。 2000=6×333+2 其實(shí)把遞推關(guān)系(nn)變形令= 則=原遞推關(guān)系為=此式與十分相似，因此可把它認(rèn)為是原遞推關(guān)系的原型=，所以我們很快可以判斷出數(shù)列的周期是6，只要再證明（由=與 得）因此得數(shù)列的周期是

4、6。=。 這樣利用函數(shù)的方法來(lái)解決問(wèn)題，找到了這個(gè)數(shù)列最重要的性質(zhì)即周期性，大大減小了運(yùn)算量減化了過(guò)程，但增加了思維活動(dòng)，體現(xiàn)基本的數(shù)學(xué)思想和方法。5、數(shù)列前n項(xiàng)的和為 （ ）a b c d 答案：b【解析】6、已知負(fù)數(shù)a和正數(shù)b，令a1= a，b1=b，且對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)0時(shí),an+1= an，bn+1= ；當(dāng)<0時(shí),an+1 = ，bn+1 = bn（1）求bn-an關(guān)于n的表達(dá)式； （2）是否存在a,b，使得對(duì)任意的正整數(shù)n都有bn>bn+1？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有b2n-1>b2n，且b2n=b2n+1，求bn的表達(dá)式答案：（1）(ba)()n

5、-1（2）不存在（3）【解析】()當(dāng)0時(shí)，bn+1an+1= -an= ；當(dāng)<0, bn+1an+1 = bn- = 故總有bn+1an+1 = (bn-an),所以數(shù)列bnan是首項(xiàng)為ba，公比為的等比數(shù)列所以bnan(ba)()n-1 () 假設(shè)存在a,b，對(duì)任意的正整數(shù)n都有bn>bn+1，即an= an+1所以an = an-1 = = a1= a，又bnan= (ba)()n-1，所以bn = a+ (ba)()n-1， 又0,即a + (ba)()n0, 即2n對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，又是正數(shù)，故nlog2對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，因?yàn)閘og2是常數(shù)，故nlog2不可能對(duì)

6、任意正整數(shù)n恒成立所以不存在a,b，使得對(duì)任意的正整數(shù)n都有bn>bn+1 ()由b2n-1>b2n，可知a2n -1= a2n，b2n= ,所以b2n= ，即b2n - b2n-1= -( b2n-a2n)= - (b-a) ()2n-1 又b2n=b2n+1，故b2n+1-b2n-1= -( b2n-a2n) = (a -b) ()2n-1, b2n-1= (b2n-1 - b2n-3)+ ( b2n-3 -b2n-5)+ +( b3 -b1) +b1= (a - b) ()2n-3+ ()2n-5+ ()1+b= (a-b)+b= (a - b) 1- ()n-1+b 當(dāng)n為

7、奇數(shù)時(shí)，令n=2m-1,可得bn=b2m-1= (a-b) 1- ()m-1+b= (a-b) 1- ()n-1+b，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，可得bn=bn+1= (a-b) 1- ()n+b，故 7、函數(shù)是定義在0，1上的增函數(shù)，滿足且，在每個(gè)區(qū)間（1，2）上，的圖象都是斜率為同一常數(shù)k的直線的一部分。（1）求及，的值，并歸納出的表達(dá)式;（2）設(shè)直線，x軸及的圖象圍成的矩形的面積為（1，2），記，求的表達(dá)式，并寫出其定義域和最小值。答案：（1）（2），定義域?yàn)?，當(dāng)時(shí)取得最小值 【解析】（i）由，得 由及，得. 同理，. 歸納得. （ii）當(dāng)時(shí), . 所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列, 所以. 的定義域

8、為1，當(dāng)時(shí)取得最小值.8、已知是整數(shù)組成的數(shù)列，且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求證：答案：（1）；（2）證明略【解析】（1）由已知得：， 所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列；即 （2）由（1）知所以：10、數(shù)列(1)求并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)證明：當(dāng)答案：（1）（2）證明略 【解析】 ()因?yàn)樗?一般地，當(dāng)時(shí)，即所以數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此故數(shù)列的通項(xiàng)公式為()由()知， -得， 所以 要證明當(dāng)時(shí)，成立，只需證明當(dāng)時(shí)，成立. 證法一 (1)當(dāng)n = 6時(shí)，成立. (2)假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成

9、立，即 則當(dāng)n=k+1時(shí)， 由(1)、(2)所述，當(dāng)n6時(shí)，.即當(dāng)n6時(shí)， 證法二 令，則 所以當(dāng)時(shí)，.因此當(dāng)時(shí)，于是當(dāng)時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，11、已知二次函數(shù)yf(x)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f¢(x)6x2，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，點(diǎn)(n，sn)(nn*)均在函數(shù)yf(x)的圖像上.（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)bn，tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求使得tn對(duì)所有nn*都成立的最小正整數(shù)m；答案：（1）an6n5（nn*）；（2）最小正整數(shù)m為10.【解析】（）設(shè)這二次函數(shù)f(x)ax2bx (a0) ，則 f(x)2axb，由于f(x)6x2，得a3 ，b2，所以f(x)3

10、x22x.，又因?yàn)辄c(diǎn)(n，sn)(nn*)均在函數(shù)yf(x)的圖像上，所以sn3n22n，當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1（3n22n）3(n1)22(n1)6n5，當(dāng)n1時(shí)，a1s13×1226×15，所以，an6n5（nn*）.（）由（）得知bn()，故tnbi(1)()()(1），因此，要使(1）（nn*）成立的m，必須且僅須滿足，即m10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.12、已知數(shù)列的首項(xiàng)，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)任意的，；（3）證明：答案：（1）；（2）證明略；（3）證明略【解析】解法一：（），又，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，（）由（）知，原不等式成立（）

11、由（）知，對(duì)任意的，有取，則原不等式成立解法二：（）同解法一（）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值原不等式成立（）同解法一13、在數(shù)列中，是正整數(shù)，且，則稱為“絕對(duì)差數(shù)列”。(1)舉出一個(gè)前五項(xiàng)均不為0的“絕對(duì)差數(shù)列”（只需寫出其前十項(xiàng)）；(2)若“絕對(duì)差數(shù)列”an中，a20=3，a20=0，數(shù)列bn滿足，分別判斷當(dāng)時(shí)，數(shù)列和的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；(3)證明任意一個(gè)“絕對(duì)差數(shù)列”總存在無(wú)窮多個(gè)等于零的項(xiàng)。答案：(1),（答案不惟一） (2) 的極限不存在，(3)證明略【解析】（）解：,（答案不惟一） （）解：因?yàn)樵诮^對(duì)差數(shù)列中,.所以自第 20 項(xiàng)開始，該數(shù)列是,即自第

12、20 項(xiàng)開始。每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值 3，0，3. 所以當(dāng)時(shí)，的極限不存在. 當(dāng)時(shí), ,所以（）證明：根據(jù)定義，數(shù)列假設(shè)中沒(méi)有零項(xiàng)，由于,所以對(duì)于任意的n，都有,從而當(dāng)時(shí), ;當(dāng) 時(shí), 即的值要么比至少小1，要么比至少小1.令則由于是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項(xiàng) ，這與()矛盾. 從而必有零項(xiàng).若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第項(xiàng)，記，則自第項(xiàng)開始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值 0，, , 即所以絕對(duì)差數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng).14、已知函數(shù).(1)設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為sn，其中a1(nn*)在函數(shù)y=f(x)的圖象上，求證：點(diǎn)（n,sn）也在y=f(x)的圖象上；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間（a-1,a）內(nèi)的極值.答案：(1)證明略；(2)當(dāng),此時(shí)無(wú)極小值；當(dāng)?shù)臉O小值為,此時(shí)無(wú)極大值；當(dāng)既無(wú)極大值又無(wú)極小值.x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)極大值極小值15、 本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)