高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 三角函數(shù)教學(xué)案

1、2011年高考第二輪專題復(fù)習(xí)（教學(xué)案）：三角函數(shù)第1課時(shí) 三角函數(shù)與三角變換考綱指要：主要考察三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值及三角恒等式的證明等三角變換的基本問(wèn)題?？键c(diǎn)掃描：1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)；2函數(shù)ysinx的圖象變換出ysin(x)的圖象；3兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式?？碱}先知：例1.不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°的值 分析：解法一利用三角公式進(jìn)行等價(jià)變形；解法二轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，使解法更簡(jiǎn)單更精妙，需認(rèn)真體會(huì) 解法一 sin220°+cos280°+sin

2、220°cos80°= (1cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°=1cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)=1cos40°+ (cos120°cos40°sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°sin60°sin20°)=1cos40°cos40°sin40°+sin40

3、°sin220°=1cos40°(1cos40°)= 解法二 設(shè)x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°y=cos220°+sin280°cos20°sin80°，則x+y=1+1sin60°=，xy=cos40°+cos160°+sin100°=2sin100°sin60°+sin100°=0x=y=，即x=sin220°+cos280°+sin20°co

4、s80°= 點(diǎn)評(píng)：題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法，對(duì)計(jì)算能力的要求較高 例2某市環(huán)保部門對(duì)該市每天環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，得出一天中環(huán)境污染指數(shù)與時(shí)間x（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為，其中a為與氣象有關(guān)的參數(shù)，且。若函數(shù)的最大值為當(dāng)天的綜合污染指數(shù)，并記作。（1）求函數(shù)的表達(dá)式； （2）市政府規(guī)定，每天的綜合污染指數(shù)不得超過(guò)2，試問(wèn)該市目前的綜合污染指數(shù)是否超標(biāo)？解：（1）設(shè)，則原函數(shù)可化為，當(dāng)時(shí)，由于的圖象為線段或折線，故的最大值在端點(diǎn)或折點(diǎn)處取得，又當(dāng)?shù)膱D象為折線時(shí)，在折點(diǎn)處的t值為，而，所以的最大值為=，而,由方程組得，從而（2）由（1）知：在上是增函數(shù)，故，因此該市目

5、前的綜合污染指數(shù)沒(méi)有超標(biāo)。復(fù)習(xí)智略：例3.設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x2acosx(2a+1)的最小值為f(a)，試確定滿足f(a)=的a值，并對(duì)此時(shí)的a值求y的最大值 分析：利用等價(jià)轉(zhuǎn)化把問(wèn)題化歸為二次函數(shù)問(wèn)題，還要用到配方法、數(shù)形結(jié)合、分類講座等 解 由y=2(cosx)2及cosx1，1得 f(a)f(a)=,14a=a=2,+或2a1=，解得a=1，此時(shí)，y=2(cosx+)2+，當(dāng)cosx=1時(shí)，即x=2k，kz，ymax=5 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查最值問(wèn)題、三角函數(shù)的有界性、計(jì)算能力以及較強(qiáng)的邏輯思維能力 學(xué)生不易考查三角函數(shù)的有界性，對(duì)區(qū)間的分類易出錯(cuò) 檢測(cè)評(píng)估：1 已知方程x2+

6、4ax+3a+1=0(a1)的兩根均tan、tan，且，()，則tan的值是( )a b 2 c d 或22給出函數(shù)封閉的定義：若對(duì)于定義域d內(nèi)的任一個(gè)自變量x0，都有函數(shù)值f(x0)，則稱函數(shù)y=f(x)在d上封閉。若定義域d1=（0，1），則下列函數(shù)：f1(x)=2x-1，f2(x)=，f3(x)=2x-1，f4(x)=cosx.；其中在d1上封閉的有（ ）個(gè)。 a1 b2 c3 d43 函數(shù)y=x·cosx的部分圖像是( )4 函數(shù)f(x)=cos2x+sin(+x)是( )a 非奇非偶函數(shù)b 僅有最小值的奇函數(shù)c 僅有最大值的偶函數(shù)d 既有最大值又有最小值的偶函數(shù)5、函數(shù)的最

7、大值為m，最小值為n，則（ ）a、； b、； c、； d、6函數(shù)y=sin（2x+）的圖象通過(guò)如下變換： 得到y(tǒng)=sinx的圖象。7 函數(shù)f(x)=()cosx在，上的單調(diào)減區(qū)間為_ 8 設(shè)0，若函數(shù)f(x)=2sinx在，上單調(diào)遞增，則的取值范圍是_ 9已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+)sin2x+sinxcosx，則函數(shù)f(x)的最小正周期是 。當(dāng)x = 時(shí)，f(x)取得最小值 ；10已知,cos()=,sin(+)=,求sin2的值_ 為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列an的首項(xiàng). 求函數(shù)的表達(dá)式； 求證：； 求證：，已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最值與最小正周期；（2）求使不等式 成立的 的取值范

8、圍。點(diǎn)撥與全解：1 解析 a1，tan+tan=4a0 tan+tan=3a+10,又、(,)、(,),則(,0),又tan(+)=,整理得2tan2=0 解得tan=2 答案 b2解：（1）f1()=0Ï(0,1)，f(x)在d1上不封閉； f2(x)=-(x+)2+在(0,1)上是減函數(shù)，0f2(1)f2(x)f2(0)=1， f2(x)Î(0,1)Þf2(x)在d1上封閉； f3(x)=2x-1在(0,1)上是增函數(shù)，0=f3(0)f3(x)f3(1)=1， f3(x)Î(0,1)Þf3(x)在d1上封閉； f4(x)=cosx在(0,1

9、)上是減函數(shù)，cos1=f4(1)f4(x)f4(0)=1， f4(x)Î(cos1,1)Ì(0,1)Þf4(x)在d1上封閉； 綜上所述，選c。3 解 函數(shù)y=xcosx是奇函數(shù)，圖像不可能是a和c，又當(dāng)x(0, )時(shí)，y0 答案 d4 解 f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x1+cosx=2(cosx+1 答案 d5解：，其中是奇函數(shù)，所以m+n=2，故選d。=sin（2x+）7 解 在,上，y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間是,0及, 而f(x)依cosx取值的遞增而遞減,故,0及,為f(x)的遞減區(qū)間 8 解 由x，得f(x)的遞增區(qū)間為,，由題設(shè)得

10、9解：f(x)=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)，f(x)的最小正周期t=且當(dāng)2x+=2k，即x=k (kz)時(shí)，f(x)取得最小值2 10解 ,0 +,sin2=sin()+(+)=sin()cos(+)+cos()sin(+)11解： 又為銳角 都大于0 , , 又 12、解： (1)的最大值是,的最小值是, 的最小正周期是 (2) 由解知 又 的取值范圍是 第2課時(shí) 解三角形考綱指要：（1）通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題；（2）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題?？?/p>

11、點(diǎn)掃描：1直角三角形中各元素間的關(guān)系：（1）三邊之間的關(guān)系；（2）銳角之間的關(guān)系；（3）邊角之間的關(guān)系。2斜三角形中各元素間的關(guān)系：（1）三角形內(nèi)角和；（2）正弦定理；（3）余弦定理；3三角形的面積公式?？碱}先知：例1。在海島a上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站p，上午11時(shí)，測(cè)得一輪船在島北30°東，俯角為30°的b處，到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北60°西、俯角為60°的c處。(1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米；(2)又經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的d處，問(wèn)此時(shí)船距島a有多遠(yuǎn)？分析： 主要依據(jù)三角形中的邊角關(guān)系并且運(yùn)用正弦定理來(lái)解決

12、問(wèn)題 解 (1)在rtpab中，apb=60° pa=1，ab= (千米)在rtpac中，apc=30°，ac= (千米)在acb中，cab=30°+60°=90°(2)dac=90°60°=30°sindca=sin(180°acb)=sinacb=sincda=sin(acb30°)=sinacb·cos30°cosacb·sin30° 在acd中，據(jù)正弦定理得，答 此時(shí)船距島a為千米 點(diǎn)評(píng)： 主要利用三角形的三角關(guān)系，關(guān)鍵找準(zhǔn)方位角，合理利用邊角關(guān)系

13、 例2已知abc的三內(nèi)角a、b、c滿足a+c=2b，設(shè)x=cos，f(x)=cosb() (1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域；(2)判斷其單調(diào)性，并加以證明；(3)求這個(gè)函數(shù)的值域 分析： 本題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化積和積化和差公式 在求定義域時(shí)要注意|的范圍 解 (1)a+c=2b，b=60°，a+c=120°0°|60°，x=cos(，1又4x230，x，定義域?yàn)?，)(，1 (2)設(shè)x1x2，f(x2)f(x1)=，若x1，x2()，則4x1230，4x2230，4x1x2+30，x1x20，f(

14、x2)f(x1)0即f(x2)f(x1)，若x1，x2(，1，則4x1230 4x2230，4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0 即f(x2)f(x1)，f(x)在(,)和(，1上都是減函數(shù) (3)由(2)知，f(x)f()=或f(x)f(1)=2 故f(x)的值域?yàn)?，)2，+ 點(diǎn)評(píng)：學(xué)生對(duì)三角函數(shù)中有關(guān)公式的靈活運(yùn)用是難點(diǎn)，并且不易想到運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性去求函數(shù)的值域問(wèn)題 復(fù)習(xí)智略：例3已知abc中滿足()2···，a、b、c分別是abc的三邊（）試判斷abc的形狀并求sinasinb的取值范圍； （）若不等式a2(bc)b2(ca)c2(ab)

15、kabc，對(duì)任意的a、b、c都成立，求k的取值范圍7解：（）()2···， ()2·()· 即()2··，即·0，abc 是以c為直角頂點(diǎn)的直角三角形， sinasinbsinacosasin(a)，a(0，) ，sinasinb的取值范圍為 （）在直角abc中， acsina，bccosa若a2(bc)b2(ca)c2(ab)kabc，對(duì)任意的a、b、c都成立，則有k，對(duì)任意的a、b、c都成立， c2sin2a(ccosac)c2cos2a(csinac)c2(csinaccosa) sin2acosacos2a

16、 sina1cosasinacosasina 令tsinacosa，t，設(shè)f(t)ttt11f(t)t11，當(dāng)t1 上時(shí) f(t)為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)t時(shí)取得最小值，最小值為23，即k23， 所以k的取值范圍為（，23）點(diǎn)評(píng)：本題是平面向量與三角函數(shù)相結(jié)合的問(wèn)題，運(yùn)用平面向量的運(yùn)算的意義轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的邊角關(guān)系，進(jìn)而運(yùn)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求值域第小題將不等式恒成立的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值，其中運(yùn)用了換元法檢測(cè)評(píng)估：1 給出四個(gè)命題 (1)若sin2a=sin2b，則abc為等腰三角形；(2)若sina=cosb，則abc為直角三角形；(3)若sin2a+sin2b+sin2c2，則abc為

17、鈍角三角形；(4)若cos(ab)cos(bc)cos(ca)=1，則abc為正三角形 以上正確命題的個(gè)數(shù)是( )a 1 b 2 c 3 d 42abc中，則abc的周長(zhǎng)為（ ）a bc d3如果的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則（ ）a和都是銳角三角形b和都是鈍角三角形c是鈍角三角形，是銳角三角形d是銳角三角形，是鈍角三角形4在中，則滿足條件的三角形有（ ） （a）一解 （b）兩解 （c）無(wú)解 （d）不能確定5已知兩個(gè)向量集合m=（cos，），r，n（cos，sin）r，若mn，則的取值范圍是（ ）a.（3，5） b.,5 c.2，5 d.5，解：由條件得：，故選b。6 在ab

18、c中，已知a、b、c成等差數(shù)列，則的值為_ 7 在abc中，a為最小角，c為最大角，已知cos(2a+c)=，sinb=，則cos2(b+c)=_ 8. 如右圖，在半徑為r的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點(diǎn)處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角的正弦成正比，角和這一點(diǎn)到光源的距離 r的平方成反比，即i=k·，其中 k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么電燈懸掛的高度h= ，才能使桌子邊緣處最亮.9 在abc中，a、b、c所對(duì)的邊分別為a、b、c，且a、b、3c成等比數(shù)列，又ac=，則a、b、c的值分別為 10.給出問(wèn)題：已知中，滿足，試判定的形狀某學(xué)生的解答如下：由條件可得

19、，去分母整理可得，故是直角三角形該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請(qǐng)將他的解題主要依據(jù)填在下面橫線上；若不正確，將正確的結(jié)果填在下面橫線上_11在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5km/h，同時(shí)岸邊有一人，從同一地點(diǎn)開始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4km/h，在水中游的速度為2km/h.問(wèn)此人能否追上小船.若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？abc的面積s滿足 , 且 , 與的夾角為.(i) 求的取值范圍;(ii)求函數(shù)的最小值.點(diǎn)撥與全解：1 解析 其中(3)(4)正確 答案 b2解：在中，由正弦定理得：化簡(jiǎn)得ac=，化簡(jiǎn)得ab=，所以三角形的周長(zhǎng)為：3+ac+ab=3+=3+。故選d。3解：的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，則是銳角三角形，若是銳角三角形，由，得，那么，所以是鈍角三角形。故選d。4由得，故選c。6 解析 a+b+c=，a+c=2b，答案 7 解析 a為最小角2a+c=a+a+