考點(diǎn)03 分式與二次根式-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過

1、考點(diǎn)03 分式與二次根式一、分式1分式的定義（1）一般地，整式a除以整式b，可以表示成的形式，如果除式b中含有字母，那么稱為分式（2）分式中，a叫做分子，b叫做分母【注意】若b0，則有意義；若b=0，則無意義；若a=0且b0，則=02分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變用式子表示為或，其中a，b，c均為整式3約分及約分法則（1）約分把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分（2）約分法則把一個(gè)分式約分，如果分子和分母都是幾個(gè)因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式的最低次冪；分子與分母的系數(shù)，約去它們的最大公約數(shù)如果分式的分子、分母是

2、多項(xiàng)式，先分解因式，然后約分【注意】約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)約分的關(guān)鍵是找出分子和分母的公因式4最簡分式分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式【注意】約分一般是將一個(gè)分式化為最簡分式，分式約分所得的結(jié)果有時(shí)可能成為整式5通分及通分法則（1）通分根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這一過程稱為分式的通分（2）通分法則把兩個(gè)或者幾個(gè)分式通分：先求各個(gè)分式的最簡公分母（即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的最高次冪和所有不同因式的積）；再用分式的基本性質(zhì)，用最簡公分母除以原來各分母所得的商分別去乘原來分式的分子、分母，使每個(gè)分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最

3、簡公分母為分母的分式；若分母是多項(xiàng)式，則先分解因式，再通分【注意】通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡公分母6最簡公分母幾個(gè)分式通分時(shí)，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母7分式的運(yùn)算（1）分式的加減同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減用式子表示為：異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p用式子表示為：（2）分式的乘法乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母用式子表示為：（3）分式的除法除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘用式子表示為：（

4、4）分式的乘方乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方用式子表示為：為正整數(shù)，（5）分式的混合運(yùn)算含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減有括號的，先算括號里的二、二次根式1二次根式的有關(guān)概念（1）二次根式的概念形如的式子叫做二次根式其中符號“”叫做二次根號，二次根號下的數(shù)叫做被開方數(shù)【注意】被開方數(shù)只能是非負(fù)數(shù)即要使二次根式有意義，則a0（2）最簡二次根式 被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式（3）同類二次根式 化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的幾個(gè)二次根式，叫做同類二次根式2二

5、次根式的性質(zhì)（1） 0（0）；（2）； （3）；（4）；（5）3二次根式的運(yùn)算（1）二次根式的加減合并同類二次根式：在二次根式的加減運(yùn)算中，把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，若有同類二次根式，可把同類二次根式合并成一個(gè)二次根式（2）二次根式的乘除乘法法則：；除法法則：（3）二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號內(nèi)的在運(yùn)算過程中，乘法公式和有理數(shù)的運(yùn)算律在二次根式的運(yùn)算中仍然適用考向一 分式的有關(guān)概念1分式的三要素：（1）形如的式子；（2）均為整式；（3）分母中含有字母2分式的意義：（1）有意義的條件是分式中的字母取值不能使分母等

6、于零，即（2）無意義的條件是分母為0（3）分式值為0要滿足兩個(gè)條件，分子為0，分母不為0典例1 使得式子有意義的x的取值范圍是ax4bx>4cx4dx<4【答案】d【解析】使得式子有意義，則：4-x>0，解得：x<4，即x的取值范圍是：x<4，故選d【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵1若分式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義，則x的取值范圍是ax1 bx=1cx=0 dx>1考向二 分式的基本性質(zhì)分式基本性質(zhì)的應(yīng)用主要反映在以下兩個(gè)方面：（1）不改變分式的值，把分式的分子、分母中各項(xiàng)的系數(shù)化為整數(shù)；（2）分式的分子、分母與分式本身的符號，

7、改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變典例2 分式中的x、y的值都擴(kuò)大到原來的2倍，則分式的值為a擴(kuò)大為原來2倍 b縮小為原來的倍c不變 d縮小為原來的倍【答案】b【解析】若x、y的值都擴(kuò)大到原來的2倍，則為把分式中的x、y的值都擴(kuò)大到原來的2倍，則分式的值為原來的，故選b【名師點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本概念和性質(zhì)的相關(guān)知識這類題目的一個(gè)易錯點(diǎn)是：在沒有充分理解題意的情況下簡單地通過分式的基本性質(zhì)得出分式值不變的結(jié)論對照分式的基本性質(zhì)和本題的條件不難發(fā)現(xiàn)，本題不符合分式基本性質(zhì)所描述的情況，不能直接利用其結(jié)論因此，在解決這類問題時(shí)，要注意認(rèn)真理解題意2下列變形正確的是a=bc1=d=考向三 分式的約分

8、與通分約分與通分的區(qū)別與聯(lián)系：1約分與通分都是根據(jù)分式的基本性質(zhì)，對分式進(jìn)行恒等變形，即每個(gè)分式變形之后都不改變原分式的值；2約分是針對一個(gè)分式而言，約分可使分式變得簡單；3通分是針對兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來說的，通分可使異分母分式化為同分母分式典例3 關(guān)于分式的約分或通分，下列哪個(gè)說法正確a約分的結(jié)果是b分式與的最簡公分母是x-1c約分的結(jié)果是1d化簡-的結(jié)果是1【答案】d【解析】a、=，故本選項(xiàng)錯誤；b、分式與的最簡公分母是x2-1，故本選項(xiàng)錯誤；c、=，故本選項(xiàng)錯誤；d、-=1，故本選項(xiàng)正確，故選d【名師點(diǎn)睛】本題主要考查分式的通分和約分，這是分式的重要知識點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)熟練掌握3下列分式中，是

9、最簡分式的是a bc d考向四 分式的運(yùn)算（1）分式的加減運(yùn)算：異分母分式通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分時(shí)應(yīng)確定幾個(gè)分式的最簡公分母（2）分式的乘除運(yùn)算：分式乘除法的運(yùn)算與因式分解密切相關(guān)，分式乘除法的本質(zhì)是化成乘法后，約去分式的分子分母中的公因式，因此往往要對分子或分母進(jìn)行因式分解（在分解因式時(shí)注意不要出現(xiàn)符號錯誤），然后找出其中的公因式，并把公因式約去（3）分式的乘方運(yùn)算，先確定冪的符號，遵守“正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)”的原則（4）分式的混合運(yùn)算有乘方，先算乘方，再算乘除，有時(shí)靈活運(yùn)用運(yùn)算律，運(yùn)算結(jié)果必須是最簡分式或整式注意運(yùn)算順序，計(jì)算準(zhǔn)確典例

10、4 化簡：【解析】【名師點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確分式混合運(yùn)算的計(jì)算方法4先化簡，再求值：，其中x=4考向五 二次根式的概念與性質(zhì)1二次根式的意義：首先考慮被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，其次還要考慮其他限制條件，這樣就轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組問題，如有分母時(shí)還要注意分式的分母不為02利用二次根式性質(zhì)時(shí)，如果題目中對根號內(nèi)的字母給出了取值范圍，那么應(yīng)在這個(gè)范圍內(nèi)對根式進(jìn)行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應(yīng)注意對題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的取值范圍顯現(xiàn)出來，在允許的取值范圍內(nèi)進(jìn)行化簡典例5 函數(shù)y=的自變量的取值范圍是ax>0且x0bx0且xcx0dx【

11、答案】b【解析】根據(jù)題意得，x0且，x0且x故選b【名師點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)自變量取值范圍的求法要使得本題函數(shù)式子有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)且分母不為零5已知：x>4，化簡_典例6 下列二次根式是最簡二次根式的是a bc d【答案】c【解析】a，故原選項(xiàng)不是最簡二次根式；b，故原選項(xiàng)不是最簡二次根式；c，是最簡二次根式；d，=4，故原選項(xiàng)不是最簡二次根式，故選c6下列二次根式；5；其中是最簡二次根式的有a2個(gè) b3個(gè)c4個(gè) d5個(gè)考向六 二次根式的運(yùn)算1二次根式的運(yùn)算（1）二次根式的加減法就是把同類二次根式進(jìn)行合并（2）二次根式的乘除法要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性；要熟練掌握被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)

12、（3）二次根式混合運(yùn)算先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的（或先去括號）2比較分式與二次根式的大小（1）分式：對于同分母分式，直接比較分子即可，異分母分式通常運(yùn)用約分或通分法后作比較；（2）二次根式：可以直接比較被開方數(shù)的大小，也可以運(yùn)用平方法來比較典例7 下列計(jì)算正確的是a bc d【答案】a【解析】a、原式=2=，正確；b、原式=，錯誤；c、為最簡結(jié)果，錯誤；d、原式=2，錯誤，故選a7計(jì)算：（1）2÷6；（2）（3）÷典例8 比較大?。篲5（填“>” “<”或“=”）【答案】>【解析】因?yàn)椋?8>25，所以>5故答案為：>

13、【名師點(diǎn)睛】比較二次根式的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較被開方數(shù)的大小，也可以將兩個(gè)數(shù)平方，計(jì)算出結(jié)果，再比較大小8設(shè)a=，b=1，c=，則a，b，c之間的大小關(guān)系是ac>b>a ba>c>b cb>a>c da>b>c1式子有意義，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是abc且da>22若分式的值為零，則x值為ax=±3bx=0cx=-3dx=33下列式子是最簡二次根式的是abcd4在化簡分式的過程中，開始出現(xiàn)錯誤的步驟是abcd5下列關(guān)于分式的判斷，正確的是a當(dāng)x=2時(shí)，的值為零b當(dāng)x3時(shí)，有意義c無論x為何值，不可能得整數(shù)值d無論x為何值，的值總為正數(shù)

14、6計(jì)算的結(jié)果是abcd17若最簡二次根式的被開方數(shù)相同，則a的值為a1 b2 c d8化簡的結(jié)果是，則a的值是a1b-1c2d-29已知 ，則 化簡的結(jié)果是a b c d10下列運(yùn)算中錯誤的是a×=b23=5cd=411若分式的值為0，則x的值為a1 b1 c±1 d無解12化簡：的結(jié)果是a2 bc d13若x、y滿足，則的值等于a bc d14已知，則的值為a b c d不確定15計(jì)算：=_16與數(shù)字最接近的整數(shù)是_17比較大?。?_（填“>、<、或=”）18計(jì)算（-22）（22）的結(jié)果是_19已知a，b互為倒數(shù)，代數(shù)式÷的值為_20若，則_21計(jì)算

15、：（1）；（2）22先化簡，再求值：，其中，23先化簡：，再從-1m2中選取合適的整數(shù)代入求值24先化簡，再求值：，其中m為一元二次方程的根25先化簡，再求代數(shù)式的值，其中a=2cos30°1（2019常州）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是ax=-1bx=3cx-1dx32（2019武漢）式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是ax>0bx-1cx1dx13（2019黃石）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是ax1且x2bx1cx>1且x2dx<14（2019山西）下列二次根式是最簡二次根式的是abcd5（2019貴港）若分式的值等于0，則x的值為a

16、77;1b0c-1d16（2019株洲）a4b4cd27（2019揚(yáng)州）分式可變形為abcd8（2019江西）計(jì)算（）的結(jié)果為aab-acd9（2019·天津）計(jì)算的結(jié)果是a2bc1d10（2019臨沂）計(jì)算a-1的正確結(jié)果是abcd11（2019北京）如果m+n=1，那么代數(shù)式的值為a-3b-1c1d312（2019河北）如圖，若x為正整數(shù)，則表示的值的點(diǎn)落在a段b段c段d段13（2019·重慶a卷）估計(jì)的值應(yīng)在a4和5之間b5和6之間c6和7之間d7和8之間14（2019廣州）代數(shù)式有意義時(shí)，x應(yīng)滿足的條件是_15（2019·安徽）計(jì)算的結(jié)果是_16（2019

17、衡陽）=_17（2019吉林）計(jì)算：·_18（2019·天津）計(jì)算的結(jié)果等于_19（2019·南充）計(jì)算：_20（2019武漢）計(jì)算的結(jié)果是_21（2019大連）計(jì)算：（2）2622（2019益陽）化簡： 23（2019深圳）先化簡（1），再將x=-1代入求值24（2019河南）先化簡，再求值：，其中x=25（2019煙臺）先化簡（x+3），再從0x4中選一個(gè)適合的整數(shù)代入求值26（2019安順）先化簡，再從不等式組的整數(shù)解中選一個(gè)合適的x的值代入求值變式拓展1【答案】b【解析】分式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義，1-x=0，即x=1，故選b2【答案】d【解析】a，故a錯誤；

18、b=，故b錯誤；c-1=，故c錯誤，故選d3【答案】d【解析】a、=，錯誤；b、=，錯誤；c、=，錯誤；d、是最簡分式，正確故選d4【解析】 =，當(dāng)x=4時(shí)，原式=5【答案】b【解析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的條件知，要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須故選b6【答案】b【解析】，、是最簡二次根式，故選b7【解析】（1）原式=2××=2（2）原式=（3）÷=÷=8【答案】d【解析】a=（1），b=1，c=×（1），>1>，a>b>c故選d考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】c【解析】由題意得：a+10，且a20，解得，且故選c2【答案】d

19、【解析】分式的值為零，x2-9=0且x+30解得：x=3故選d3【答案】c【解析】a、，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；b、=6，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；c、是最簡二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；d、，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意，故選c4【答案】b【解析】正確的解題步驟是：，開始出現(xiàn)錯誤的步驟是去括號是漏乘了故選b5【答案】1【解析】x>4，x-4>0，原式=1，故答案為：1【名師點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵6【答案】d【解析】，故選d7【答案】d【解析】，解得，故選d8【答案】a【解析】，a=1，故選a9【答案】b【

20、解析】x<1，x-1<0，=|x-1|=1-x故選：b10【答案】b【解析】a原式=×=，所以a選項(xiàng)的計(jì)算正確；b2和3不能合并，所以b選項(xiàng)的計(jì)算錯誤c原式=，所以c選項(xiàng)的計(jì)算正確；d原式=4，所以d選項(xiàng)的計(jì)算正確故選b11【答案】a【解析】分式的值為0，|x|1=0，且x+10，解得：x=1故選a12【答案】b【解析】=（）（x3）=（x3）（x3）=1=故選b13【答案】b【解析】，故選b14【答案】a【解析】，即x+2+=a²，x+=a²2，故選a15【答案】 【解析】根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算可得：，故答案為16【答案】4【解析】，最接近的

21、整數(shù)是，=4，故答案為：417【答案】<【解析】將兩式進(jìn)行平方可得：=12，=18，因?yàn)?2<18，所以<18【答案】-16【解析】原式=-（2+2）（2-2）=-（20-4）=-16故答案為：-1619【答案】1【解析】對待求值的代數(shù)式進(jìn)行化簡，得，a，b互為倒數(shù)，ab=1，原式=1故答案為：120【答案】【解析】，ab=2ab原式=2+=故答案為：21【解析】（1）原式=4a2（2）原式=322【解析】，當(dāng)，時(shí)，原式=23【解析】原式=，根據(jù)分式有意義的條件可知：m=-1，原式=24【解析】原式= = = 由m是方程的根，得到，所以原式=25【解析】原式=，=a=2，原式=直通中考1【答案】d【解析】代數(shù)式有意義，x-30，x3故選d2【答案】c【解析】由題意，得x-10，解得x1，故選c3【答案】a【解析】依題意，得x-10且x-200，解得x1且x2故選a4【答案】d【解析】a、，故a不符合