備考2022數(shù)學(xué)類型二 二次函數(shù)與角度問題（解析版）

1、類型二 二次函數(shù)與角度問題例1、已知拋物線的圖象與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，直線經(jīng)過、兩點(diǎn).（1） 求此拋物線的解析式；（2）連接、，試比較和的大小，并說明你的理由.【答案】解：（1）cdx軸且點(diǎn)c（0，3），設(shè)點(diǎn)d的坐標(biāo)為(x，3) 直線y= x+5經(jīng)過d點(diǎn)，3= x+5x=2即點(diǎn)d(2，3) 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為m（1，y），又直線y= x+5經(jīng)過m點(diǎn)，y =1+5，y =4即m（1，4）設(shè)拋物線的解析式為點(diǎn)c（0，3）在拋物線上，a=1即拋物線的解析式為3分（2）作bpac于點(diǎn)p，mnab于點(diǎn)n由（1）中拋物線

2、可得點(diǎn)a（3，0），b（1，0），ab=4，ao=co=3，ac=pab45°abp=45°，pa=pb=pc=acpa=在rtbpc中，tanbcp=2在rtanm中，m（-1，4），mn=4an=2tannam=2bcpnam即acbmab例2、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)n（2,5），過點(diǎn)n作x軸的平行線交此拋物線左側(cè)于點(diǎn)m，mn=6.（1）求此拋物線的解析式；（2）點(diǎn)p（x,y）為此拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接mp交此拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)d，當(dāng)dmn為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)；（3）設(shè)此拋物線與y軸交于點(diǎn)c，在此拋物線上是否存在點(diǎn)q，使qmn=cnm ？若存在，求

3、出點(diǎn)q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】解：（1）過點(diǎn)m、n（2，5），由題意，得m（，）. 解得 此拋物線的解析式為. 2分（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交mn于點(diǎn)g，若dmn為直角三角形，則.d1（，），（，）. 4分直線md1為，直線為.將p（x，）分別代入直線md1，的解析式，得，.解得 ，（舍），（1,0）. 5分解得 ，（舍），（3,12）. 6分（3）設(shè)存在點(diǎn)q（x，），使得qmn=cnm. 若點(diǎn)q在mn上方，過點(diǎn)q作qhmn，交mn于點(diǎn)h，則.即.解得，（舍）.（，3）. 7分 若點(diǎn)q在mn下方，同理可得（6，）. 8分例3、平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)a、點(diǎn)b，與y軸

4、的正半軸交于點(diǎn)c，點(diǎn) a的坐標(biāo)為(1, 0)，ob=oc，拋物線的頂點(diǎn)為d (1) 求此拋物線的解析式； (2) 若此拋物線的對(duì)稱軸上的點(diǎn)p滿足apb=acb，求點(diǎn)p的坐標(biāo)； (3) q為線段bd上一點(diǎn)，點(diǎn)a關(guān)于aqb的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為，若，求點(diǎn)q的坐標(biāo)和此時(shí)的面積 【答案】圖9（1） ， 拋物線的對(duì)稱軸為直線 拋物線與x軸交于 點(diǎn)a、點(diǎn)b，點(diǎn)a的坐標(biāo)為， 點(diǎn)b的坐標(biāo)為，ob3 1分可得該拋物線的解析式為 ob=oc，拋物線與y軸的正半軸交于點(diǎn)c， oc=3，點(diǎn)c的坐標(biāo)為將點(diǎn)c的坐標(biāo)代入該解析式，解得a=12分 此拋物線的解析式為（如圖9） 3分 （2）作abc的外接圓e，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x

5、軸的交點(diǎn)為點(diǎn)f，設(shè)e與拋物線的對(duì)稱軸位于x軸上方的部分的交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)均為所求點(diǎn).（如圖10） 可知圓心e必在ab邊的垂直平分線即拋物線的對(duì)稱軸直線上 、都是弧ab所對(duì)的圓周角， ，且射線fe上的其它點(diǎn)p都不滿足由（1）可知 obc=45°，ab=2，of=2可得圓心e也在bc邊的垂直平分線即直線上 點(diǎn)e的坐標(biāo)為 4分 由勾股定理得 點(diǎn)的坐標(biāo)為 5分由對(duì)稱性得點(diǎn)的坐標(biāo)為 6分符合題意的點(diǎn)p的坐標(biāo)為、.（3） 點(diǎn)b、d的坐標(biāo)分別為、，可得直線bd的解析式為，直線bd與x軸所夾的銳角為45° 點(diǎn)a關(guān)于aqb的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為，（如圖11）若設(shè)與aqb的

6、平分線的交點(diǎn)為m，則有 ，q，b，三點(diǎn)在一條直線上 ， 作x軸于點(diǎn)n 點(diǎn)q在線段bd上， q，b，三點(diǎn)在一條直線上， ， 點(diǎn)的坐標(biāo)為 點(diǎn)q在線段bd上， 設(shè)點(diǎn)q的坐標(biāo)為，其中 ， 由勾股定理得 解得經(jīng)檢驗(yàn)，在的范圍內(nèi) 點(diǎn)q的坐標(biāo)為 7分此時(shí) 8分例4、已知，拋物線與x軸交于點(diǎn)a（2,0）、b（8,0），與y軸交于點(diǎn)c（0，4）。直線y=x+m與拋物線交于點(diǎn)d、e（d在e的左側(cè)），與拋物線的對(duì)稱點(diǎn)交于點(diǎn)f。（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)m=2時(shí)，求dcf的大??；（3）若在直線y=x+m下方的拋物線上存在點(diǎn)p，使dpf450，且滿足條件的點(diǎn)p只有兩個(gè)，則m的值為_.（第（3）問不要求寫解答過程）

7、【答案】解：（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-8），拋物線與y軸交于點(diǎn)c（0，-4），-4=a（0+2）（0-8）解得a=拋物線的解析式為y=(x+2)(x-8)，即y=x2-x-4；（2）由（1）可得拋物線的對(duì)稱軸為x=3，m=2，直線的解析式為y=x+2，直線y=x+2與拋物線交于點(diǎn)d、e，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)f，f、d兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為f（3，5），d（-2，0）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為m，可得cm=fm=md=5，f、d、c三點(diǎn)在以m為圓心，半徑為5的圓上dcf=dmf=45°（3）由拋物線解析式可知，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為g（3，-）設(shè)f（3，3+m），

8、則fg=m+3+，設(shè)d關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為d1，當(dāng)四邊形dgd1f為正方形時(shí)，滿足題意，此時(shí)p點(diǎn)與頂點(diǎn)g重合，或者與d1重合，故dd1=fg，d點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x=-（fg-3）=-，縱坐標(biāo)為-（fg-3-m）=，將d點(diǎn)坐標(biāo)拋物線解析式，解得m=-例5、如圖，拋物線，與軸交于點(diǎn)，且（i）求拋物線的解析式；（ii）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由； （iii）直線交軸于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)若，的值【答案】解：（i），且代入，得（ii）當(dāng)可證 同理: 如圖當(dāng)當(dāng)綜上，坐標(biāo)軸上存在三個(gè)點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，分別是，（iii）

9、 又例6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax28ax16a6經(jīng)過點(diǎn)b（0，4）.求拋物線的解析式；設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為d，過點(diǎn)d、b作直線交x軸于點(diǎn)a，點(diǎn)c在拋物線的對(duì)稱軸上，且c點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4，聯(lián)結(jié)bc、ac.求證：abc是等腰直角三角形；在的條件下，將直線db沿y軸向下平移，平移后的直線記為l ，直線l 與x軸、y軸分別交于點(diǎn)a、b，是否存在直線l，使abc是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，請(qǐng)說明理由 圖（1） 備用圖 【答案】解：由題意知： 解得： 拋物線的解析式為：-1分證明 ：由拋物線的解析式知:頂點(diǎn)d坐標(biāo)為（4,6） 點(diǎn)c的縱坐標(biāo)為4，且在拋物線的對(duì)

10、稱軸上c點(diǎn)坐標(biāo)為(4，4)設(shè)直線bd解析式為： 有：，bd解析式為直線bd與x軸的交點(diǎn)a的坐標(biāo)為（8,0）過點(diǎn)c作ce軸于點(diǎn)e，則ce=4，be=8又ob=4，oa=8, ce=ob,be=oa,ceb=boa=90°cebboa(sas)-2分cb=ab, 1=22+3=90°，2+3=90°1+3=90°，即abc=90°abc是等腰直角三角形-3分存在.當(dāng)cab=90°時(shí)，如圖1所示， ababoab=bao易證:eca=oab圖1eca=baotanbao=taneca=ea=2a坐標(biāo)為(2,0)直線l解析式為-5分當(dāng)acb=90°時(shí)，如圖2所示，圖2過點(diǎn)c作ce軸于點(diǎn)e，易證afcbecaf=be由tanbao=設(shè)b坐標(biāo)為（0，n）有b坐標(biāo)為（0，）直線l解析式為-7分例7、已知：拋物線yx22xm-2交y軸于點(diǎn)a（0，2m-7）與直線yx交于點(diǎn)b、c（b在右、c在左）（1）求拋物線的解析式； （2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為e，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)f，使得，若存在，求出點(diǎn)f的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；（3）射線oc上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)p、q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度、每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線oc運(yùn)動(dòng)，以pq為斜邊在直線bc的上方作直角三角形pmq（直角邊分別平行于坐標(biāo)軸），設(shè)運(yùn)