2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）考點21 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（解析版）

1、考點21 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【命題解讀】從高考對導(dǎo)數(shù)的要求看，考查分三個層次，一是考查導(dǎo)數(shù)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；二是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；三是綜合考查，如研究函數(shù)零點、證明不等式、恒成立問題、求參數(shù)范圍等.除壓軸題，同時在小題中也加以考查，難度控制在中等以上.應(yīng)特別是注意將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式、數(shù)列、函數(shù)圖象及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計綜合題，考查學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力【基礎(chǔ)知識回顧】 1. 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)0且在(a，b)的任意子區(qū)間上不恒為0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間

2、內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)0且在(a，b)的任意子區(qū)間上不恒為0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減2. 判定函數(shù)單調(diào)性的一般步驟(1)確定函數(shù)yf(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f(x)>0或f(x)<0；(4)根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間3. 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的值或參數(shù)的范圍(1)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，可轉(zhuǎn)化為f(x)0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子區(qū)間上不恒為_0；也可轉(zhuǎn)化為(a，b)增區(qū)間函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，可轉(zhuǎn)化為f(x)0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的

3、任意子區(qū)間上不恒為_0；也可轉(zhuǎn)化為(a，b)減區(qū)間(2)函數(shù)yf(x)的增區(qū)間是(a，b)，可轉(zhuǎn)化為(a，b)增區(qū)間，也可轉(zhuǎn)化為f(x)0的解集是(a，b)；函數(shù)yf(x)的減區(qū)間是(a，b)，可轉(zhuǎn)化為(a，b)減區(qū)間，也可轉(zhuǎn)化為a，b是f(x)0的兩根.1、若函數(shù)yf(x)的圖像如下圖所示，則函數(shù)yf(x)的圖像有可能是( )第1題圖A BC D【答案】A.【解析】由f(x) 的圖像可知：在(，0) ，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(，0)時，f(x)<0；在(0，)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(0，)時，f(x)>0；故選A.2、函數(shù)f(x)2lnxx的單調(diào)遞增區(qū)間是( )A. B. C.

4、 D. 【答案】D【解析】函數(shù)f(x)2lnxx的定義域為，且f(x)1，解不等式f(x)>0，即x22x3<0，由于x>0，解得0<x<1.因此，函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選D.3、函數(shù)f(x)ax3bx2cxd的圖像如圖，則函數(shù)yax2bx的單調(diào)遞增區(qū)間是( )第3題圖A. (，2B. C. D. 【答案】D【解析】由題圖可知d0. 不妨取a1，f(x)x3bx2cx，f(x)3x22bxc. 由圖可知f(2)0，f(3)0，124bc0，276bc0，b，c18. yx2x6，y2x. 當(dāng)x時，y0，yx2x6的單調(diào)遞增區(qū)間為，). 故選D. 4、函

5、數(shù)f (x)ln xax(a>0)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D(，a)【答案】A【解析】由f(x)a>0，x>0，得0<x<.f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.5、函數(shù)f(x)x36x2的單調(diào)遞減區(qū)間為_【答案】(0,4)【解析】：f(x)3x212x3x(x4)，由f(x)<0，得0<x<4，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,4)6、已知函數(shù)f (x)kx33(k1)x2k21(k>0)，若f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4)，則實數(shù)k的值為_；【答案【解析】(1)f(x)3kx26(k1)x，由題意知f(4)0，解得k.7、(多填題

6、)已知函數(shù)f(x)x3mx2nx2的圖象過點(1，6)，函數(shù)g(x)f(x)6x的圖象關(guān)于y軸對稱.則m_，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為_.【答案】3(0，2)【解析】由f(x)的圖象過點(1，6)，得mn3，又g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn為偶函數(shù)，2m60，即m3，代入式，得n0.所以f(x)3x26x3x(x2).令f(x)<0，得0<x<2，則單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2).考向一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)x3x22x3；(2)g(x)x22lnx.【解析】(1)f(x)3x2x2(3x2)(x1)，定義域為R，當(dāng)f(x)>0時，x(1

7、，)；當(dāng)f(x)0時，x.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和(1，)，單調(diào)減區(qū)間為.(2)g(x)2x，定義域為(0，)，令g(x)0，解得：x1或x1(舍去)，列表：x(0，1)1(1，)g(x)0g(x)減極小值增函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(1，)，單調(diào)減區(qū)間是(0，1)變式1、（1）函數(shù)f(x)x315x233x6的單調(diào)減區(qū)間為_ _（2） 函數(shù)f(x)1xsinx在(0，2)上的單調(diào)情況是_ _（3）已知a<0，函數(shù)f(x)x3ax2a2x2的單調(diào)遞減區(qū)間是_ 【解析】（1）由f(x)x315x233x6得f(x)3x230x33，令f(x)<0，即3(x11)(x1)0，解得1<x<

8、;11，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1，11)（2）f(x)1cosx>0在(0，2)上恒成立，f(x)單調(diào)遞增（3）f(x)3x22axa2(3xa)(xa)，令f(x)<0，得<x<a，減區(qū)間為.變式2、已知函數(shù)f(x)ln x，其中aR，且曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線yx.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間【解析】：(1)對f(x)求導(dǎo)得f(x)，由f(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線yx，知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x(x>0)，則f(x)，令f(x)0，解得x1或x5，因為x1不在f(x

9、)的定義域(0，)內(nèi)，所以舍去當(dāng)x(0,5)時，f(x)<0，故f(x)在(0,5)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)x(5，)時，f(x)>0，故f(x)在(5，)內(nèi)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,5)，單調(diào)遞增區(qū)間是(5，).變式3、已知函數(shù)f(x)(k為常數(shù))，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線與x軸平行.(1)求實數(shù)k的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.【解析】(1)f(x)(x>0).又由題意知f(1)0，所以k1.(2)由(1)知，f(x)(x>0).設(shè)h(x)ln x1(x>0)，則h(x)<0，所以h(x)在(0，)上單調(diào)遞減.由h(1)0知，當(dāng)

10、0<x<1時，h(x)>0，所以f(x)>0；當(dāng)x>1時，h(x)<0，所以f(x)<0.綜上f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，1)，減區(qū)間為(1，).方法總結(jié)：1. 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)函數(shù)f(x)；(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f(x)0和f(x)<0；(4)根據(jù)(3)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間2. 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，在對函數(shù)求導(dǎo)以后要對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行整理并因式分解，方便后面求根和判斷導(dǎo)函數(shù)的符號考向二 給定區(qū)間求參數(shù)的范圍例2、設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.(1)

11、求的值；(2)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍【解析】：(1)f(x)x2axb，由題意得即(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a>0)，當(dāng)x(，0)時，f(x)>0；當(dāng)x(0，a)時，f(x)<0；當(dāng)x(a，)時，f(x)>0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，(a，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a)(3)g(x)x2ax2，依題意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax2<0成立，即x(2，1)時，a<(x)max2，當(dāng)且僅當(dāng)x即x時等號成立所以滿足要求的a的取值范圍是(，2)變式1、（20

12、20屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）已知函數(shù).若在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；【解析】 在上是單調(diào)遞增函數(shù),在上，恒成立，即：設(shè) ， 當(dāng)時， 在上為增函數(shù)，當(dāng)時， 在上為減函數(shù)， ， 即 .變式2、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是_ 【答案】 ：1<a2 【解析】：f(x)x29ln x，f(x)x(x>0)，當(dāng)x0時，有0<x3，即在(0,3上原函數(shù)是減函數(shù)，a1>0且a13，解得1<a2.方法總結(jié)：1.明晰導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義在解題中的應(yīng)用，強(qiáng)化方程的思想，培養(yǎng)基本運算能力2. 辨析區(qū)間上單調(diào)和區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間的本質(zhì)區(qū)別和處理策略的不同，提升參變

13、分離和構(gòu)造函數(shù)等解決問題的方法和技巧，感悟數(shù)學(xué)解題背后的思維和內(nèi)涵考向三 函數(shù)單調(diào)區(qū)間的討論例3、（2019·夏津第一中學(xué)高三月考）已知函數(shù)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域為.，因為，所以，當(dāng)，即時，由得或，由得，所以在，上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)；當(dāng)，即時，所以在上是增函數(shù)；當(dāng)，即時，由得或，由得，所以在，.上是增函數(shù)，在.上是減函綜上可知：當(dāng)時在，上是單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減；當(dāng)時，在.上是單調(diào)遞增； 當(dāng)時在，上是單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減.變式1、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;【解析】(1)，當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，由，解

14、得，由于時，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，故，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時在上單調(diào)遞減;當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. .變式2、（2020屆山東省煙臺市高三上期末）已知函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】（1）函數(shù)的定義域為,令,得或,因為,當(dāng)或時,單調(diào)遞增；當(dāng)時,單調(diào)遞減,所以的增區(qū)間為,；減區(qū)間為變式3、已知函數(shù)f(x)(x1)2xln x(a>0)討論f(x)的單調(diào)性【解析】函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)a(x1)1，令f(x)0，則x11，x2，()若a1，則f(x)0恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)()若0<a<1，則>1，當(dāng)x(0,1)

15、時，f(x)>0，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x時，f(x)<0，f(x)是減函數(shù)，當(dāng)x時，f(x)>0，f(x)是增函數(shù)()若a>1，則0<<1，當(dāng)x時，f(x)>0，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x時，f(x)<0，f(x)是減函數(shù)，當(dāng)x(1，)時，f(x)>0，f(x)是增函數(shù)綜上所述，當(dāng)a1時，f(x)在(0，)上是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時，f(x) 在(0,1)上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)a>1時，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)方法總結(jié)： 對含參函數(shù)的合理分類，關(guān)鍵是找到引起分類討論的原因2.

16、 會對函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo)，求導(dǎo)以后進(jìn)行整理并因式分解，其中能否因式分解、每個因式系數(shù)的正負(fù)、根的大小等都是引起分類討論的原因考向四 構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性例4、(1)設(shè)函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且2f(x)xf(x)>x2，則下列不等式在R上恒成立的是()Af(x)>0Bf(x)<0Cf(x)>x Df(x)<x(2)已知定義域為x|x0的偶函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，對任意正實數(shù)x滿足xf(x)>2f(x)，若g(x)x2f(x)，則不等式g(x)<g(1)的解集是()A(，1) B(1,1)C(，0)(0,1) D(1,0)(0,1)【

17、答案】(1)A(2)D【解析】(1)法一：令g(x)x2f(x)x4，則g(x)2xf(x)x2f(x)x3x2f(x)xf(x)x2，當(dāng)x>0時，g(x)>0，g(x)>g(0)，即x2f(x)x4>0，從而f(x)>x2>0；當(dāng)x<0時，g(x)<0，g(x)>g(0)，即x2f(x)x4>0，從而f(x)>x2>0；當(dāng)x0時，由題意可得2f(0)>0，f(0)>0.綜上可知，f(x)>0.法二：2f(x)xf(x)>x2，令x0，則f(0)>0，故可排除B、D，不妨令f(x)x20.1，

18、則已知條件2f(x)xf(x)>x2成立，但f(x)>x不一定成立，故C也是錯誤的，故選A.(2)f(x)是定義域為x|x0的偶函數(shù)，f(x)f(x)對任意正實數(shù)x滿足xf(x)>2f(x)，xf(x)2f(x)>0.g(x)x2f(x)，g(x)也是偶函數(shù)，當(dāng)x(0，)時，g(x)2xf(x)x2f(x)>0.g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，g(x)在(，0)遞減若g(x)<g(1)，則|x|<1(x0)，解得0<x<1或1<x<0.故g(x)<g(1)的解集是(1,0)(0,1)變式1、（2020屆山東實驗中學(xué)高三上期中

19、）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.己知存在，且為函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))的一個零點，則實數(shù)的取值可能是（ ）ABCD【答案】BCD【解析】令函數(shù)，因為，為奇函數(shù)，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減存在，得，即，；，為函數(shù)的一個零點；當(dāng)時，函數(shù)在時單調(diào)遞減，由選項知，取，又，要使在時有一個零點，只需使，解得，的取值范圍為， 故選：變式2、（2020屆山東省濱州市高三上期末）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則下列判斷中正確的是( )ABCD【答案】CD【解析】令，則，因為，所以在上恒成立，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，即，即，故A錯；又，所以，所以在上恒成立，因為，所以，故B錯；又，所以，即，故C正

20、確；又，所以，即，故D正確；故選：CD.方法總結(jié)：(1)對于不等式f(x)g(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)；(2)對于不等式f(x)g(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)；特別地，對于不等式f(x)>k(或<k)(k0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)kx.(3)對于不等式f(x)g(x)f(x)g(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)；(4)對于不等式f(x)g(x)f(x)g(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)(g(x)0)；(5)對于不等式xf(x)f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)xf(x)；(6)對于不等式xf(x)f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)(x0)1、【2017年高考浙江】函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是【答案】D【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D2、【20