信號處理 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析(文正)

1、第二章第二章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析目錄目錄連續(xù)系統(tǒng)的微分方程與轉(zhuǎn)移算子連續(xù)系統(tǒng)的微分方程與轉(zhuǎn)移算子零輸入響應零輸入響應 單位沖激響應單位沖激響應零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應 零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應卷積及其性質(zhì)卷積及其性質(zhì)一、連續(xù)系統(tǒng)的微分方程與轉(zhuǎn)移算子一、連續(xù)系統(tǒng)的微分方程與轉(zhuǎn)移算子 LTI LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸結(jié)為：連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸結(jié)為： 建立并求解建立并求解線性微分方程線性微分方程 由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時間時間t t，故稱，故稱為為時域分析法時域分析法。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學。這種方法比較直觀，物理概念

2、清楚，是學習各種變換域分析法的基礎。習各種變換域分析法的基礎。 1、連續(xù)系統(tǒng)的微分方程連續(xù)系統(tǒng)的微分方程例：如圖電路，由電路的基本定律，有例：如圖電路，由電路的基本定律，有e(t ) +u (t ) + C uc(t ) + -uR (t ) +i (t )()()(1)(tetRidiCdttdiLt 兩邊微分兩邊微分 ，得系統(tǒng)數(shù)學模型，得系統(tǒng)數(shù)學模型dttdetiCdttdiRdttidL)()(1)()(22此為一個此為一個二階二階系統(tǒng)系統(tǒng)5n n 階線性時不變系統(tǒng)的數(shù)學模型階線性時不變系統(tǒng)的數(shù)學模型)()(.)()()()(.)()(0111101111tebdttdebdttedbd

3、ttedbtradttdradttrdadttrdmmmmmmnnnnn其中，其中，r r( (t t) )為響應函數(shù)，為響應函數(shù)，e e( (t t) )為激勵函數(shù)。為激勵函數(shù)。階次由獨立的動態(tài)元件的個數(shù)決定。階次由獨立的動態(tài)元件的個數(shù)決定。n n 階線性常微分方程階線性常微分方程6分析連續(xù)時間系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。分析連續(xù)時間系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。 域）變換域法（頻域、復頻利用卷積積分法求解零狀態(tài)可利用經(jīng)典法求解零輸入應零輸入響應和零狀態(tài)響特解）通解經(jīng)典法解方程網(wǎng)絡拓撲約束根據(jù)元件約束列寫方程: (,:2 2、轉(zhuǎn)移算子、轉(zhuǎn)移算子（1 1）微分算子的定義）微分算子的定義

4、令：微分算子令：微分算子 pdtdnnnpdtd 積分算子積分算子 tpdt1微分方程：微分方程： dttdetiCdttdiRdttidL)()(1)()(22可寫為：可寫為： )()(1)()(2tpetiCtRpitiLp或簡化為：或簡化為： )()()1(2tpetiCRpLp（2）轉(zhuǎn)移算子轉(zhuǎn)移算子n n階線性微分方程為：階線性微分方程為： ebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111即：即： ebpbpbpbrapapapmmmmnnn)()(01110111)()()()(tepNtrpD令令: : 0111)(apa

5、pappDnnn0111)(bpbpbpbpNmmmm)()()()(tepDpNtr定義：定義： 轉(zhuǎn)移算子轉(zhuǎn)移算子 )()()(pDpNpH于是系統(tǒng)方程可寫成：于是系統(tǒng)方程可寫成： )()()(tepHtrH H( (p p) )把激勵和響應聯(lián)系起來，故它可以完整地描述系統(tǒng)。把激勵和響應聯(lián)系起來，故它可以完整地描述系統(tǒng)。)(pH)(te)()()(tepHtr例例如圖所示電路，求響應分別為如圖所示電路，求響應分別為 及及 時的轉(zhuǎn)移算子時的轉(zhuǎn)移算子 （1 1） 與與 的方程的方程)(ti)(tvL)(ti)(te)()()(tetRidttdiL)()()(tetRitLPiRLPpH1)(1

6、RLP 1)(te)()()(1tepHti（2 2） 與與 的方程的方程)(tvL)(te)()()(tedLvRtvLL)(1)(teLPRtvL)()()(tePtvLRtvLLLPRPH11)(2)(te)()()(2tepHtvLLPR11二、零輸入響應二、零輸入響應概念概念：外加激勵信號為：外加激勵信號為0 0，僅僅由系統(tǒng)的初始條件，僅僅由系統(tǒng)的初始條件( (狀態(tài)狀態(tài)) )所產(chǎn)生所產(chǎn)生的響應，記為的響應，記為零輸入響應的求解需要以下幾步：零輸入響應的求解需要以下幾步： (1) (1) 建立系統(tǒng)的數(shù)學模型；建立系統(tǒng)的數(shù)學模型； (2) (2) 列特征方程，求特征根；列特征方程，求特征

7、根； (3) (3) 確定零輸入響應的模式；確定零輸入響應的模式； (4) (4) 用初始條件確定待定系數(shù)。用初始條件確定待定系數(shù)。)(trzi零輸入響應的計算零輸入響應的計算零狀態(tài)響應的計算零狀態(tài)響應的計算LTI系統(tǒng)系統(tǒng)(Linear Time Invariant)(te)()()(tzsrtzirtr)0( , )0( , )0(rrr零輸入響應的求解零輸入響應的求解 n n階微分方程階微分方程 即：即：（1 1） 分解為單次根分解為單次根ebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdmmmmmmnnnnn01111011110)(te001111radtdradtrd

8、adtrdnnnnn0)()(trPD)(PD系統(tǒng)的自然頻率系統(tǒng)的自然頻率零輸入響應零輸入響應其中其中 由系統(tǒng)的初始狀態(tài)決定。由系統(tǒng)的初始狀態(tài)決定。（2 2） 分解為重根分解為重根0 )(2121tececectrtnttzin , ,21nccc)0( , ),0( ),0() 1( nrrr)(PD0)()()()(11nkkppppD)()()(111112210teCeCetCtCtCCtrnknktkkzi習2.4已知系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子及未加激勵時的初始條件分別如下，求零輸入響應及各自的自然頻率解： （1）233)(2ppppH1)0(r1)0( r習2.4已知系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子及未加激勵時

9、的初始條件分別如下，求零輸入響應及各自的自然頻率解： （3）1)0(r123)(2ppppH2)0( r三、零狀態(tài)響應三、零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應求解零狀態(tài)響應求解 )(pH)(te?)(trzs無初始狀態(tài)無初始狀態(tài)基本信號基本信號基本響應基本響應分解分解疊加疊加2.42.42.52.52.62.62.72.7- -2.82.81 1、單位沖激響應、單位沖激響應)(te?)(trzs)(pH)(t)(th20（1 1）定義）定義 系統(tǒng)在單位沖激信號系統(tǒng)在單位沖激信號 激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應稱為系激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應稱為系統(tǒng)的統(tǒng)的沖激響應沖激響應 。 系統(tǒng)在單位階躍信號系統(tǒng)在單位階躍信號 激勵下產(chǎn)

10、生的零狀態(tài)響應稱為系激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應稱為系統(tǒng)的統(tǒng)的階躍響應階躍響應 。)(t)(th)(t)(tr)(pH)(t)(th)(tr)(tdhtrt)()(dttdrth)()(dttdt)()(dtt)()( （2 2）沖激響應求解）沖激響應求解22nmn=mmbth )(23nm1110( )m nm nm nm nh tCpCpCC ()(1)10( )( )( )( )m nm nm nm nh tCtCtCt )()(tte)()(3tetrt例：某線性非時變系統(tǒng)，激勵為例：某線性非時變系統(tǒng)，激勵為時，零狀態(tài)響應為時，零狀態(tài)響應為，求系統(tǒng)的單位沖激響應。，求系統(tǒng)的單位沖激響應。 解

11、：解：)()(tte)()(3tetrt)()(tdttde)()(3 )()(3)()(2333ttetetetedttdrtttt習習2.152.15求取下列微分方程所描述的系統(tǒng)的沖擊響應求取下列微分方程所描述的系統(tǒng)的沖擊響應（5） )(5)(4)()(2)(3)(223322tetedtdtedtdtrtrdtdtrdtd)()54()()23(232tepptrpp237512354)(2223pppppppppH23121ppp)(3)(2)()()(2tetettthtt所以：所以：tdtete0)()()()()()()()(0thtedthetrtzs2 2、零狀態(tài)響應、零狀態(tài)

12、響應LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng))()()(thtetrzs )(te)(th結(jié)論結(jié)論只要知道了系統(tǒng)的單位沖激響應只要知道了系統(tǒng)的單位沖激響應 ，就可以求就可以求 得系統(tǒng)對任何得系統(tǒng)對任何 所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應 )(th)(te)(trzs四、卷積及其性質(zhì)四、卷積及其性質(zhì)1 1、定義定義 已知定義在區(qū)間（已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個函數(shù)）上的兩個函數(shù)2 2、卷積求解方法、卷積求解方法 （1 1）圖解法圖解法。適用于較簡單的函數(shù)形式。適用于較簡單的函數(shù)形式。 （2 2）利用）利用定義式定義式，直接進行積分。對于容易求積分的函數(shù)比較有，直接進行積分。對于容易求積分的函數(shù)比較有效。如指數(shù)函

13、數(shù)，多項式函數(shù)等。效。如指數(shù)函數(shù)，多項式函數(shù)等。 （3 3）利用）利用卷積積分表卷積積分表計算（計算（P60P60表表2-12-1） （4 4）利用）利用卷積性質(zhì)卷積性質(zhì)。 以上常常結(jié)合起來使用。以上常常結(jié)合起來使用。dtfftftftf)()()()()(212128 dtfftg 21積分變量改為),()(11ftf)()()()(2222tffftf平移反摺)()(. 321 tff相相乘乘：dtff)(. )(. 421積分求面積：)(ttt時時延延對對 左移右移00tt1 1、換元、換元2 2、反摺平移、反摺平移29例例2-7 2-7 圖解法圖解法t02)(2tf2t01)(1tf1

14、101)(1f1102)(2f2f1換元后f2換元并反摺后t2)(2tf2t平移 dtfftf21301t0)()(21tff0)(tft2t01)(1f1)(2tf1t2t1)(1f1)(2tf111t) 1(2)(ttft2)(1f)(2tf1t2t1)(1f1)(2tf131t)3(2)(ttf2t2)(1f)(2tf13t0)()(21tff0)(tft2t01)(1f1)(2tf1 dtfftf21310( )* ( )( )()( )ttttddtt 201( )* ( )( )()( )2tttttddtt （3 3）卷積表）卷積表323 3、卷積的性質(zhì)、卷積的性質(zhì)（1 1）交換

15、律）交換律（2 2）結(jié)合律）結(jié)合律（3 3）分配律）分配律 )()()()(1221tftftftftf )()()()()()(321321tftftftftftftf )()()()()()()(3231321tftftftftftftftf34 + + r(t)r(t)e e(t)(t)e(t)h1(t)h2(t)h1(t)+h2(t)一個系統(tǒng)由若干一個系統(tǒng)由若干LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)的并聯(lián)構(gòu)成，則系統(tǒng)總的的并聯(lián)構(gòu)成，則系統(tǒng)總的單位沖激響應等于各子系單位沖激響應等于各子系統(tǒng)單位沖激響應之和。統(tǒng)單位沖激響應之和。35一由若干一由若干LTILTI系統(tǒng)級聯(lián)所構(gòu)系統(tǒng)級聯(lián)所構(gòu)成，則個系統(tǒng)是系統(tǒng)總的單

16、成，則個系統(tǒng)是系統(tǒng)總的單位沖激響應等于各個位沖激響應等于各個LTILTI子子系統(tǒng)單位沖激響應的卷積系統(tǒng)單位沖激響應的卷積. . h h1 1(t) (t) h h2 2(t) (t) r r(t)(t)r r(t)(t)()(21thth)(te)(te例：由幾個子系統(tǒng)組合成的系統(tǒng)如圖所示，求：系統(tǒng)的單位沖激例：由幾個子系統(tǒng)組合成的系統(tǒng)如圖所示，求：系統(tǒng)的單位沖激響應響應)(th)(tr)(te)(1th)(2th)(3th)()()()()(321thtththth習習2.162.16線性系統(tǒng)由圖所示的子系統(tǒng)組合而成。設子系統(tǒng)的沖擊響應分別線性系統(tǒng)由圖所示的子系統(tǒng)組合而成。設子系統(tǒng)的沖擊響應

17、分別為為 ， 。求組合系統(tǒng)的沖激響應。求組合系統(tǒng)的沖激響應。 ) 1()(1tth) 3()()(2ttth解：解：則系統(tǒng)的沖激響應為：則系統(tǒng)的沖激響應為：38（4 4）微分性質(zhì)）微分性質(zhì)（5 5）積分性質(zhì)）積分性質(zhì))()()()()(2121tfdxxfdxxftfdxxfttt（6 6）微積分性質(zhì)）微積分性質(zhì))(*)()()()()(212121tftfxftfdtdtfdtddxxftt)()()()()()(212121tftfdtdtfdtdtftftfdtd39（7 7）延時性質(zhì)）延時性質(zhì)若 ，則 )()(thtetf)()(2121tthttetttf例：已知例：已知 ， ，計算

18、計算 ，并畫，并畫 圖。圖。解：解：)2()()(tttx)3()()(ttty)()()(tytxtf)(tf)5()5()2()2()3()3()()()()(tttttttttytxtf41線性系統(tǒng)的時域求解小結(jié)線性系統(tǒng)的時域求解小結(jié)n階微分方程ebdtdebdtedbdtedbradtdradtrdadtrdmmmmmmnnnnn0111101111njtjziteCtrj1)()()()()(tethtrzs)()()(trtrtrzszinjtjtethteCj1)()()(njtjtekthj1)()(系數(shù)由初始狀態(tài)列方程組得到系數(shù)由初始狀態(tài)列方程組得到42解：解：列電路微分方程列電路微分方程)()()(tetudttduRCcc代入數(shù)值代入數(shù)值)()()(tetudtt