信號(hào)與系統(tǒng)第二章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、信號(hào)與線性系統(tǒng)分析 第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析第第第 2 2 2頁頁頁2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 一、微分方程的經(jīng)典解一、微分方程的經(jīng)典解 二、關(guān)于二、關(guān)于0-0-和和0+0+初始值初始值 三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 一、沖激響應(yīng)一、沖激響應(yīng) 二、階躍響應(yīng)二、階躍響應(yīng)2.3 2.3 卷積積分卷積積分 一、信號(hào)時(shí)域分解與卷積一、信號(hào)時(shí)域分解與卷積 二、卷積的圖解二、卷積的圖解2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 一、卷積代數(shù)一、卷積代數(shù) 二、奇異函數(shù)的卷積特性二、奇異函數(shù)的卷積特性

2、 三、卷積的微積分性質(zhì)三、卷積的微積分性質(zhì) 四、卷積的時(shí)移特性四、卷積的時(shí)移特性第第第 3 3 3頁頁頁引言引言時(shí)域法：不通過任何變換，直接時(shí)域法：不通過任何變換，直接求解求解系統(tǒng)的系統(tǒng)的微分微分、積分、積分方程方程。系統(tǒng)的分析與計(jì)算全部在系統(tǒng)的分析與計(jì)算全部在時(shí)域時(shí)域內(nèi)進(jìn)行。內(nèi)進(jìn)行。時(shí)域分析法優(yōu)點(diǎn)：直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域時(shí)域分析法優(yōu)點(diǎn)：直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域 分析方法的基礎(chǔ)。分析方法的基礎(chǔ)。目前計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，各種算法軟件的開發(fā)，使這一經(jīng)典目前計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，各種算法軟件的開發(fā)，使這一經(jīng)典的方法的方法重新重新得到廣泛的關(guān)注和應(yīng)用。得到廣泛的關(guān)注和應(yīng)用。第第第

3、4 4 4頁頁頁 LTILTI連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析，歸結(jié)為：連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析，歸結(jié)為：建立并求解線性微分建立并求解線性微分方程方程。 由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時(shí)間由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時(shí)間t，故稱為，故稱為時(shí)時(shí)域分析法域分析法。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)。變換域分析法的基礎(chǔ)。 2.1 LTI2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)一、微分方程的經(jīng)典解一、微分方程的經(jīng)典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) +

4、bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)第第第 5 5 5頁頁頁微分方程的經(jīng)典解：微分方程的經(jīng)典解： y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齊次解齊次解) + yp(t)(特解特解）齊次解齊次解是齊次微分方程是齊次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。的解。yh(t)的函數(shù)形式的函數(shù)形式由上述微分方程的由上述微分方程的特征根特征根確定。確定。例例 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（求（1）當(dāng)）當(dāng)f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=

5、2，y(0)= - -1時(shí)的全解；時(shí)的全解； （2）當(dāng)）當(dāng)f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時(shí)的全解。時(shí)的全解。 特解特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。表的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。表2-1、2-2齊次解齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)f(t)的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)固有響應(yīng)或或自由響應(yīng)自由響應(yīng)；特解特解的函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱為的函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱為強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)。第第第 6 6 6頁頁頁解解: (1) 特征方程為特征方程為2 + 5+ 6 = 0 其特征根其

6、特征根1= 2，2= 3。齊。齊次解為次解為 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t由表由表2-2可知，當(dāng)可知，當(dāng)f(t) = 2e t時(shí)，其特解可設(shè)為時(shí)，其特解可設(shè)為 yp(t) = Pe t將其代入微分方程得將其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得解得 P=1于是特解為于是特解為 yp(t) = e t全解為：全解為： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t其中待定常數(shù)其中待定常數(shù)C1,C2由初始條件確定。由初始條件確定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3

7、C2 1= 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 第第第 7 7 7頁頁頁（2）齊次解同上。當(dāng)激勵(lì)）齊次解同上。當(dāng)激勵(lì)f(t)=e2t時(shí)，其指數(shù)與特征根之一相重。時(shí)，其指數(shù)與特征根之一相重。由表知：其特解為由表知：其特解為 yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得代入微分方程可得 P1e-2t = e2t 所以所以 P1= 1 但但P0不能求得。全解為不能求得。全解為 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2

8、t將初始條件代入，得將初始條件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解為最后得微分方程的全解為 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0上式第一項(xiàng)的系數(shù)上式第一項(xiàng)的系數(shù)C1+P0= 2，不能區(qū)分，不能區(qū)分C1和和P0，因而也不能區(qū)，因而也不能區(qū)分自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。分自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。 第第第 8 8 8頁頁頁二、關(guān)于二、關(guān)于0-和和0+初始值初始值 若輸入若輸入f(t)是在是在t=0時(shí)接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù)時(shí)接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù)Ci時(shí)用時(shí)用t

9、= 0+時(shí)刻的時(shí)刻的初始值初始值，即，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1),簡稱簡稱0+ 值。值。 而而y(j)(0+)包含了輸入信號(hào)的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史包含了輸入信號(hào)的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。信息。 在在t=0-時(shí)，激勵(lì)尚未接入，該時(shí)刻的值時(shí)，激勵(lì)尚未接入，該時(shí)刻的值y(j)(0-)反映了反映了系統(tǒng)系統(tǒng)的歷史情況的歷史情況而與激勵(lì)無關(guān)。稱這些值為而與激勵(lì)無關(guān)。稱這些值為初始狀態(tài)，簡稱初始狀態(tài)，簡稱0-值。值。 通常，對于具體的系統(tǒng)，初始狀態(tài)通常，對于具體的系統(tǒng)，初始狀態(tài)0-值一般容易求得。如值一般容易求得。如果激勵(lì)包含沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，則果激勵(lì)包含沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，

10、則t=0時(shí)激勵(lì)接入系統(tǒng)，響應(yīng)時(shí)激勵(lì)接入系統(tǒng)，響應(yīng)及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)y(j)(0-)到到y(tǒng)(j)(0+)可能發(fā)生躍變。這樣為求解微分方程，可能發(fā)生躍變。這樣為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)就需要從已知的初始狀態(tài)y(j)(0-)設(shè)法求得設(shè)法求得y(j)(0+)。第第第 9 9 9頁頁頁在系統(tǒng)分析中，定義在系統(tǒng)分析中，定義：響應(yīng)區(qū)間響應(yīng)區(qū)間：確定激勵(lì)信號(hào)：確定激勵(lì)信號(hào)e(t)加入后系統(tǒng)的狀態(tài)變化區(qū)間。加入后系統(tǒng)的狀態(tài)變化區(qū)間。一般激勵(lì)一般激勵(lì)e(t)都是從都是從t=0時(shí)刻加入，此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)區(qū)間定為：時(shí)刻加入，此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)區(qū)間定為：0t 一、響應(yīng)區(qū)間一、響應(yīng)區(qū)間第第第 101010頁頁頁系統(tǒng)在

11、激勵(lì)信號(hào)加入前瞬間的一組狀態(tài)：系統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)加入前瞬間的一組狀態(tài)：稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的起始狀態(tài)起始狀態(tài)，簡稱，簡稱0-狀態(tài)狀態(tài).11(0 ), (0 ), (0 ), (0 ),(0 )nndyyyyydt起始狀態(tài)包含了計(jì)算未來響應(yīng)的全部起始狀態(tài)包含了計(jì)算未來響應(yīng)的全部“過去過去”信息。信息。由于受激勵(lì)的影響，這組狀態(tài)從由于受激勵(lì)的影響，這組狀態(tài)從t= 0-到到t=0+時(shí)刻可能發(fā)生變化。時(shí)刻可能發(fā)生變化。系統(tǒng)系統(tǒng)0-狀態(tài)：就是系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況。狀態(tài)：就是系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況。二、起始狀態(tài)二、起始狀態(tài)第第第 111111頁頁頁確定系統(tǒng)完全響應(yīng)：確定系統(tǒng)完全響應(yīng)：11(0 ),(0 )

12、,(0 ),(0 ),(0 )nndyyyyydt通常為了確定系統(tǒng)的待定系數(shù)，須根據(jù)系統(tǒng)的通常為了確定系統(tǒng)的待定系數(shù)，須根據(jù)系統(tǒng)的0-狀態(tài)和激勵(lì)狀態(tài)和激勵(lì)信號(hào)情況求出信號(hào)情況求出0+的狀態(tài)。的狀態(tài)。初始條件初始條件：（導(dǎo)出的起始狀態(tài)）：由響應(yīng)區(qū)間：（導(dǎo)出的起始狀態(tài)）：由響應(yīng)區(qū)間t=0+時(shí)刻組時(shí)刻組成的一組狀態(tài)：成的一組狀態(tài)：1( )( )( )( )inthpipiy ty tytCeyt式中式中為待定系數(shù)，是由響應(yīng)區(qū)間內(nèi)為待定系數(shù)，是由響應(yīng)區(qū)間內(nèi)t=0+時(shí)刻的一組狀態(tài)確定的。時(shí)刻的一組狀態(tài)確定的。iA三、初始條件三、初始條件第第第 121212頁頁頁0,C(0 )(,00 )(0 )(0 )

13、(0 )(0 )cLccLLuiuiiLu 定定：儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況或狀態(tài)當(dāng)無沖激電流或階躍電壓強(qiáng)迫作用于 時(shí)或當(dāng)無沖激電壓或階躍電流強(qiáng)迫作用實(shí)際電路的初始條件于 時(shí)或狀態(tài)00t 決定一般系統(tǒng)：微分方程右端自由項(xiàng)函數(shù)式中有無狀態(tài)的初始條（）及狀態(tài)件其導(dǎo)數(shù)有無跳變四、初始條件的求取四、初始條件的求取 第第第 131313頁頁頁沖激函數(shù)匹配法原理：根據(jù)沖激函數(shù)匹配法原理：根據(jù)t=0時(shí)刻微分方程左右兩端時(shí)刻微分方程左右兩端的的 (t)及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等。及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等。系統(tǒng)的系統(tǒng)的0-狀態(tài)到狀態(tài)到0+狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含自由項(xiàng)

14、是否包含 (t) 及其各階導(dǎo)數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)。如果包含有如果包含有 (t)及其各階導(dǎo)數(shù)，說明相應(yīng)的及其各階導(dǎo)數(shù)，說明相應(yīng)的0-到到0+狀態(tài)狀態(tài)發(fā)生了跳變，即發(fā)生了跳變，即等等或)0( )0( )0()0(rrrr五、沖激函數(shù)匹配法五、沖激函數(shù)匹配法 第第第 141414頁頁頁例例：描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解：將輸入：將輸入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) +

15、2y(t) = 2(t) + 6(t) （1）利用利用沖激函數(shù)匹配法沖激函數(shù)匹配法分析：分析： 由于等號(hào)右端為由于等號(hào)右端為2(t)，故，故y”(t)應(yīng)包含沖激函數(shù)，從而應(yīng)包含沖激函數(shù)，從而y(t)在在t= 0處將發(fā)生躍變，即處將發(fā)生躍變，即y(0+)y(0-)。 但但y(t)不含沖激函數(shù)，否則不含沖激函數(shù)，否則y”(t)將含有將含有(t)項(xiàng)。由于項(xiàng)。由于y(t)中不含中不含(t)，故，故y(t)在在t=0處是連續(xù)的。處是連續(xù)的。故故 y(0+) = y(0-) = 2 第第第 151515頁頁頁對式對式(1)兩端積分有兩端積分有 0000000000)(6)(2)(2)( 3)( dttdt

16、tdttydttydtty由于積分在無窮小區(qū)間由于積分在無窮小區(qū)間0-，0+進(jìn)行的，且進(jìn)行的，且y(t)在在t=0連續(xù)，故連續(xù)，故 00000)(, 0)(dttdtty于是由上式得于是由上式得 y(0+) y(0-) + 3y(0+) y(0-)=2考慮考慮 y(0+) = y(0-)=2 ，所以，所以 y(0+) y(0-) = 2 ， y(0+) = y(0-) + 2 =2由上可見，由上可見，當(dāng)微分方程等號(hào)右端含有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)當(dāng)微分方程等號(hào)右端含有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)）時(shí)，響應(yīng)數(shù)）時(shí)，響應(yīng)y(t)y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)中，有些在及其各階導(dǎo)數(shù)中，有些在t=0t=0處將發(fā)生躍變。處

17、將發(fā)生躍變。但如果右端不含時(shí)，則不會(huì)躍變但如果右端不含時(shí)，則不會(huì)躍變。 第第第 161616頁頁頁例例：描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 2y(t) + y(t) = f(t) + 2f(t)已知已知y(0-)=1，y(0-)= -1，f(t)= (t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解：將輸入：將輸入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t) + 2y(t) + y(t) = (t) + 2 (t) （1）利用利用沖激函數(shù)匹配法沖激函數(shù)匹配法分析：分析： 由于等號(hào)右端為由于等號(hào)右端為(t) ，故，故y”(t)必包含必包含(t)，否則等號(hào)

18、兩端，否則等號(hào)兩端關(guān)于關(guān)于 (t)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)不可能平衡，可令：及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)不可能平衡，可令： y”(t) = a(t)+b (t)+c (t)+r0(t) （2）其中其中a,b,c為待定常數(shù)，函數(shù)為待定常數(shù)，函數(shù)r0(t)不含不含沖激函數(shù)及其任何導(dǎo)數(shù)。沖激函數(shù)及其任何導(dǎo)數(shù)。對（對（2）式兩端積分，得，）式兩端積分，得，110( )( )( )( ),( )( )( )ty tatbtr tr tctr x dx其中第第第 171717頁頁頁對上式再次積分得到：對上式再次積分得到：可見可見r2(t) 也不含也不含 (t)及其導(dǎo)數(shù)，將上述各式代入微分方程，稍及其導(dǎo)數(shù)，將上述各式代入微分方程，

19、稍加整理：加整理： a(t)+(2a+b) (t)+(a+2b+c) (t)+r0(t)+2r1(t) +r2(t) = (t)+2(t)上式兩端上式兩端(t)及其各階導(dǎo)數(shù)系數(shù)相等，故有及其各階導(dǎo)數(shù)系數(shù)相等，故有 a=1 2a+b=0 a+2b+c=2可得可得a=1,b=-2,c=5。221( )( )( ),( )( )( )ty tatr tr tbtr x dx其中第第第 181818頁頁頁回帶入回帶入2式并從式并從0-到到0+區(qū)間積分可得：區(qū)間積分可得：由于由于r1(t) 不含不含 (t)及其導(dǎo)數(shù)，最終可得：及其導(dǎo)數(shù)，最終可得：已知已知得：得：同樣地，將同樣地，將a,b,c的值回代到以

20、上各方程，可得的值回代到以上各方程，可得 0001000(0 )(0 )( )2 ( )( )yyt dtt dtr t dt(0 )(0 )2yy (0 )1y(0 )(0 )21yy (0 )(0 )5,(0 )1,(0 )(0 )54yycyyy 所以第第第 191919頁頁頁三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) y(t) = yx(t) + yf(t) ,也可以分別用經(jīng)典法求解。也可以分別用經(jīng)典法求解。 注意注意：對：對t=0時(shí)接入激勵(lì)時(shí)接入激勵(lì)f(t)的系統(tǒng)，初始值的系統(tǒng)，初始值 yx(j)(0+), yf(j)(0+) (j = 0，1，2，n-1)的計(jì)算。的計(jì)算。 y(j)(0-)= yx

21、(j)(0-)+ yf(j)(0-) y(j)(0+)= yx(j)(0+)+ yf(j)(0+)對于對于零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)，由于激勵(lì)為零，故有，由于激勵(lì)為零，故有 yx(j)(0+)= yx(j)(0-) = y (j)(0-)對于對于零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)，在，在t=0-時(shí)刻激勵(lì)尚未接入，故應(yīng)有時(shí)刻激勵(lì)尚未接入，故應(yīng)有 yf(j)(0-)=0下面舉例說明下面舉例說明。第第第 202020頁頁頁例例：描述某系統(tǒng)的微分方程為：描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求該系統(tǒng)的零輸

22、入響應(yīng)和。求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)。 解解：（：（1）零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)yx(t) 激勵(lì)為激勵(lì)為0 ，故，故yx(t)滿足滿足 yx”(t) + 3yx(t) + 2yx(t) = 0 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=0該齊次方程的該齊次方程的特征根特征根為為1， 2，故，故 yx(t) = Cx1e t + Cx2e 2t 代入初始值并解得系數(shù)為代入初始值并解得系數(shù)為Cx1=4 ,Cx2= 2 ，代入得，代入得 yx(t) = 4e t 2e 2t ,t 0 第第第 212121頁頁頁（2）零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)

23、yf(t) 滿足滿足 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 2(t) + 6(t) 并有并有 yf(0-) = yf(0-) = 0由于上式等號(hào)右端含有由于上式等號(hào)右端含有(t)，故，故yf”(t)含有含有(t)，從而，從而yf(t)躍變，躍變，即即yf(0+)yf(0-)，而，而yf(t)在在t = 0連續(xù)，即連續(xù)，即yf(0+) = yf(0-) = 0，積，積分得分得 yf(0+)- yf(0-)+ 3yf(0+)- yf(0-)+2 0000d)(62d)(ttttyf因此，因此，yf(0+)= 2 + yf(0-)=2 對對t0時(shí)，有時(shí)，有 yf”(t) + 3yf(

24、t) + 2yf(t) = 6不難求得其齊次解為不難求得其齊次解為Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解為常數(shù)，其特解為常數(shù)3，于是有于是有 yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3代入初始值求得代入初始值求得 yf(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 第第第 222222頁頁頁2.2 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一、沖激響應(yīng)一、沖激響應(yīng) 由單位沖激函數(shù)由單位沖激函數(shù)(t)所引起的所引起的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)稱為稱為單位沖激響單位沖激響應(yīng)應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為，簡稱沖激響應(yīng)，記為h(t)。h(t)=T0,(t) 例例1 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)

25、的微分方程為 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其求其沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)。 解解 根據(jù)根據(jù)h(t)的定義的定義 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。 第第第 232323頁頁頁因方程右端有因方程右端有(t)，故利用系數(shù)平衡法。，故利用系數(shù)平衡法。h”(t)中含中含(t)，h(t)含含(t)，h(0+)h(0-)，h(t)在在t=0連續(xù)，即連續(xù)，即h(0+)=h(0-)。積分得。積分得 h(0+) - h(0-) + 5h(0+) - h(0-) + 6 = 100)( dtth考慮

26、考慮h(0+)= h(0-)，由上式可得，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1對對t0時(shí)，有時(shí)，有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為一齊次解。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為一齊次解。 微分方程的特征根為微分方程的特征根為-2，-3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始條件求得代入初始條件求得C1=1,C2=-1, 所以所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 第第第 242424頁頁頁 例例2 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t)+

27、5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其沖激響應(yīng)求其沖激響應(yīng)h(t)。 解解 根據(jù)根據(jù)h(t)的定義的定義 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。由方程可知，由方程可知， h(t) 中含中含(t)故令故令 h(t) = a(t) + p1(t) pi(t) 為不含為不含(t) 的某函數(shù)的某函數(shù) h(t) = a(t) + b(t) + p2(t) h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ p3(t)代入式代入式(1)，有，

28、有第第第 252525頁頁頁a”(t) + b(t)+ c(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t)整理得整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用利用(t) 系數(shù)匹配，得系數(shù)匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12所以所以 h(t) = (t) + p1(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) +

29、12(t)+ p3(t) （4）對式對式(3)從從0-到到0+積分得積分得 h(0+) h(0-) = 3對式對式(4)從從0-到到0+積分得積分得 h(0+) h(0-) =12故故 h(0+) = 3， h(0+) =12第第第 262626頁頁頁微分方程的特征根為微分方程的特征根為 2， 3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0代入初始條件代入初始條件h(0+) = 3， h(0+) =12求得求得C1=3，C2= 6, 所以所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0結(jié)合式結(jié)合式(2)得得 h(t)= (t) + (3e2t 6e

30、3t)(t) 還可以利用線性系統(tǒng)的性質(zhì)來求，見教材還可以利用線性系統(tǒng)的性質(zhì)來求，見教材54頁頁二、階躍響應(yīng)二、階躍響應(yīng)g(t)= T (t) ，0d ( )( )( )d , ( )dtg tg thh tt由于由于(t) 與與(t) 為微積分關(guān)系，故為微積分關(guān)系，故第第第 272727頁頁頁圖圖 2-3-1 將信號(hào)分解為脈沖之和將信號(hào)分解為脈沖之和 f (t)f (t)f (0)f (kt)誤差fk(t)tkt (k1) t2tt當(dāng) t0時(shí), 誤差0。02.3 卷積積分卷積積分第第第 282828頁頁頁如圖如圖2-3-1所示，所示，f(t)可以分解為沖激信號(hào)之和，這種分解思可以分解為沖激信號(hào)

31、之和，這種分解思路是先把信號(hào)路是先把信號(hào)f(t)分解成寬度為分解成寬度為t的矩形窄脈沖之和，任意的矩形窄脈沖之和，任意時(shí)刻時(shí)刻kt的矩形脈沖幅度為的矩形脈沖幅度為f(kt)。001( )( )( )()( )()()(2).( )()()(1)kf tf ttttf tfttttf tf k ttktkt 第第第 292929頁頁頁01200( )( )( )( )( )() ()(1)1() ()(1)knknkf tf tf tf tf tf k ttk ttktf k ttk ttkttt 信號(hào)信號(hào)f(t)可近似表示為可近似表示為令窄脈沖寬度令窄脈沖寬度t0， 并對其取極限，并對其取極限

32、， 得到得到 0001( )lim() ()(1)() ()ntknkf tf k ttk ttktttf k ttk tt ()(1)()tk ttkttk tt ）第第第 303030頁頁頁-00-000,() ( -)( )( ) ()() ( -)( )( ) ()limlimntkntkttdt k tf k tt k ttf tftdtLTIf k t h t k ttf tfh tdt 在的情況下，將寫成寫為 ，可以得到在以上一系列沖激函數(shù)作用下，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：第第第 313131頁頁頁卷積積分的定義卷積積分的定義已知定義在區(qū)間（已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個(gè)函數(shù)）上的兩個(gè)函

33、數(shù)f1(t)和和f2(t)，則定義，則定義積分積分 dtfftf)()()(21為為f1(t)與與f2(t)的的卷積積分卷積積分，簡稱，簡稱卷積卷積；記為；記為 f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：積分是在虛設(shè)的變量：積分是在虛設(shè)的變量下進(jìn)行的，下進(jìn)行的，為積分變量，為積分變量，t為參為參變量。結(jié)果仍為變量。結(jié)果仍為t 的函數(shù)。的函數(shù)。 )(*)(d)()()(thtfthftyf第第第 323232頁頁頁例例：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求，求yf(t)。解：解： yf(t) = f (t) * h(t)d)( 1e6e)(2tt

34、當(dāng)當(dāng)t t時(shí)，時(shí)，(t -) = 0ttttftyd)eee6(d 1e6e)(32)(2tttttttttteeee2ee2eded)e6(e323232第第第 333333頁頁頁卷積積分圖解法：可以把卷積運(yùn)算中一些抽象的關(guān)系形象化，卷積積分圖解法：可以把卷積運(yùn)算中一些抽象的關(guān)系形象化，便于理解卷積的概念及方便運(yùn)算。便于理解卷積的概念及方便運(yùn)算。卷積積分圖解法五個(gè)步驟：卷積積分圖解法五個(gè)步驟：、反褶、平移、相、反褶、平移、相乘、相加乘、相加 具體地：具體地：()改換圖形中的橫坐標(biāo)，由改換圖形中的橫坐標(biāo)，由t改為改為 ， 變成函數(shù)的自變量；變成函數(shù)的自變量；()把其中一個(gè)信號(hào)反折（反褶）。把其

35、中一個(gè)信號(hào)反折（反褶）。()把反折后的信號(hào)做位移，移位量是把反折后的信號(hào)做位移，移位量是t，這樣，這樣t是一個(gè)參變量。是一個(gè)參變量。在在 坐標(biāo)系中，坐標(biāo)系中，t0圖形右移；圖形右移；t0圖形左移。圖形左移。()兩信號(hào)重疊部分相乘兩信號(hào)重疊部分相乘e( )h(t- );()完成相乘后圖形的積分。完成相乘后圖形的積分。卷積積分圖解法卷積積分圖解法第第第 343434頁頁頁)()(ete或01211或t)()(hth或021或t（）改換圖形中的橫坐標(biāo)，由（）改換圖形中的橫坐標(biāo)，由t改為改為 ， 變成函數(shù)的自變量；變成函數(shù)的自變量；v 例例2.8.1，用圖解法求下列兩個(gè)函數(shù)的卷積，用圖解法求下列兩個(gè)函

36、數(shù)的卷積)(h021（）先反褶，然后平移（先左移到與另一信號(hào)沒有重合后，再開始右移。這么（）先反褶，然后平移（先左移到與另一信號(hào)沒有重合后，再開始右移。這么做是為了確定積分區(qū)間）做是為了確定積分區(qū)間）)(th0t1第第第 353535頁頁頁)(e0t1)(th21121)(ta1( ),2( ) ()ate t h t 兩個(gè)函數(shù)沒有重合，因此為零，積分也就為零0)(*)(thte121)(tb)(e0t1)(th211121)(tb16144)(211)(*)(221tdtthtet（3）圖形中的重疊部分相乘，再積分）圖形中的重疊部分相乘，再積分第第第 363636頁頁頁231)(tc1634

37、3)(211)(*)(121tdtthte)(e0t1)(th211231)(tc323)(td)(e0t1)(th211323)(td4324)(211)(*)(212ttdtthtet第第第 373737頁頁頁)(e0t1te3)()(th211 te3)(0)(*)(thte（4 4）相加：以上各圖中的相加：以上各圖中的陰影面積陰影面積，即為即為相乘積分的結(jié)果相乘積分的結(jié)果。最后，若以。最后，若以t t為為橫坐標(biāo)，將與橫坐標(biāo)，將與t t對應(yīng)積分值描成曲線，對應(yīng)積分值描成曲線，就是卷積積分就是卷積積分e(t)e(t)* *h(t)h(t)函數(shù)圖像。函數(shù)圖像。)(*)(thte023169t

38、)(th211161523卷積積分結(jié)果第第第 383838頁頁頁( )( )( )( )u tv tu tv t（1）互換律：卷積性質(zhì)可以使卷積運(yùn)算簡化。卷積性質(zhì)可以使卷積運(yùn)算簡化。作為一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，卷積運(yùn)算具有某些特殊性質(zhì)，這些性作為一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，卷積運(yùn)算具有某些特殊性質(zhì)，這些性質(zhì)在信號(hào)分析中有重要作用。質(zhì)在信號(hào)分析中有重要作用。卷積性質(zhì)卷積性質(zhì)( )( )( ) (),( ) ()( ) ()( )( )u tv tuv tdxtddxv x u tx dxv x u tx dxv tu t ，令則第第第 393939頁頁頁( )( )( )( )( )( )( )u tv tw tu t

39、v tu tw t（2）分配律：113( ) ( )( )( ) ()()( ) ()( ) ()( )( )( )( )u tv tw tuv tw tduv tduw tdu tv tu tw t12( )( )( )( )r te th tht實(shí)際的意義：并聯(lián)系統(tǒng)第第第 404040頁頁頁( )( )( ) (),t( )( )( )( )( ) (),( )( )( )( )() ()v tw tvw tdu tv tw tuvw td dxxddxu tv tw tuv xw tx dd 記住是 的函數(shù)；因此令代入上式，得到交換卷積次序，并依據(jù)卷積定義得v 3. 結(jié)合律結(jié)合律 u(t

40、)*v(t)*w(t)=u(t)*v(t)*w(t) 證明：證明：第第第 414141頁頁頁( )( )( )( )() ()( ) () () ( )( ) ()( )( )( )u tv tw tuv xw tx dx duv xdw tx dxu xv x w tx dxu tv tw t第第第 424242頁頁頁 ( )( ) ( )( )( ) ( )dddu tv tu tv tu tv tdtdtdt卷積的微分、卷積的微分、 積分性質(zhì)積分性質(zhì)與信號(hào)的運(yùn)算相似，卷積也有微分、積分性質(zhì)，但與信號(hào)與信號(hào)的運(yùn)算相似，卷積也有微分、積分性質(zhì)，但與信號(hào)的微分、積分運(yùn)算有所區(qū)別。的微分、積分運(yùn)

41、算有所區(qū)別。(1) 微分微分第第第 434343頁頁頁( ) ()( )()( )( )duv tddtduv tddtdu tv tdt由卷積的互換律性質(zhì)，由卷積的互換律性質(zhì)， 同理可證同理可證 ( )( )( )( )ddu tv tu tv tdtdt證明證明：第第第 444444頁頁頁 ( )( )( )( )( )( )tttu xv x dxu tv x dxv tu x dx積分：積分：1( )( )( ) ()( )()( )( )ttttu xv x dxuv xddxuv xddu tv x dx根據(jù)卷積的定義證明：根據(jù)卷積的定義證明：根據(jù)卷積的互換律同樣可以證明后式。根據(jù)

42、卷積的互換律同樣可以證明后式。第第第 454545頁頁頁( )( )( )( )( )( )( )ttdu tdv ty tu tv tvduddtdt微、積分性微、積分性: 若y(t)=u(t)*v(t) 則y(i)(t)=u(j) (t)*v(i-j)(t) 其中其中, i、 j取正整數(shù)時(shí)為導(dǎo)數(shù)的階次；取正整數(shù)時(shí)為導(dǎo)數(shù)的階次； i、 j取負(fù)整數(shù)時(shí)為積取負(fù)整數(shù)時(shí)為積分的階次。分的階次。 特別地特別地, 第第第 464646頁頁頁( )( )( )()( )()( ) ()( )( )tttdu tdvduvddtdtduvddtuv tu tv tv證明：證明：第第第 474747頁頁頁函數(shù)延時(shí)后的卷積函數(shù)延時(shí)后的卷積121122121122112211122121212( )( )( )()()()()()()()()()( )()()f tftf tf ttfttf tttf ttfttftfttdtxf ttfttf xftttx df ttt證明：令則 兩個(gè)函數(shù)經(jīng)延時(shí)后的卷積，等于兩函數(shù)卷積后延時(shí)，其兩個(gè)函數(shù)經(jīng)延時(shí)后的卷積，等于兩函數(shù)卷積后延時(shí)，其延時(shí)量為兩函數(shù)分別延時(shí)量的和。延時(shí)量為兩函數(shù)分別延時(shí)量的和。第第第 484848頁頁頁00( )(