概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(八)

1、第八章假設(shè)檢驗(yàn)一、假設(shè)檢驗(yàn)的根本思想和概念1、根本思想我們以教材例8-1來(lái)說(shuō)明假設(shè)檢驗(yàn)的根本思想和概念。例：味精廠用一臺(tái)包裝機(jī)自動(dòng)包裝味精，袋裝味精的重量X N(),0.0152)。機(jī)器正常時(shí)，其均值=0.5公斤，某日開(kāi)工后，隨機(jī)抽取9袋味精, 其凈重(公斤)為：0.497, 0.506，0.518, 0.524, 0.498, 0.511，0.520，0.515，0.512問(wèn)這臺(tái)包裝機(jī)是否正常？此例隨機(jī)抽樣取的9袋味精重量都不是正好0.5公斤，這種實(shí)際重量和標(biāo)準(zhǔn) 重量不一致的現(xiàn)象，在實(shí)際中是經(jīng)常出現(xiàn)的。造成這種差異不外乎有兩種原因： 一是偶然因素影響，如電壓波動(dòng)，金屬部件熱脹冷縮，稱量?jī)x器誤

2、差等，稱為隨 機(jī)誤差，隨機(jī)誤差是無(wú)法防止的；二是條件因素影響，如機(jī)器缺陷，部件損耗等， 稱為條件誤差，那是我們要設(shè)法解決的。如果我們斷定標(biāo)準(zhǔn)重量已不是0.5公斤,那么原因很可能是第二種原因造成的包裝機(jī)器工作不正常。問(wèn)題就是如何根據(jù)樣本觀測(cè)值推斷“=0.5是否為真？我們不妨先假設(shè)包裝機(jī)是正常的，在統(tǒng)計(jì)中用如下符號(hào)表示：H 0:丄=0.5, H1- 0.5其中Ho為待檢驗(yàn)的假設(shè)，稱為原假設(shè)；H1是與原假設(shè)相對(duì)立的假設(shè)，稱為備擇假設(shè)。我們的任務(wù)就是要依據(jù)樣本觀測(cè)值在這兩對(duì)立的假設(shè)中作出選擇。由于樣本均值x是的一個(gè)很好的估計(jì)，故當(dāng)Ho為真時(shí)，| x-0.5|應(yīng)很小， 如果| X-0.5|過(guò)分大，我們應(yīng)

3、疑心H。不正確而拒絕H。接受H1?，F(xiàn)在的問(wèn)題究 竟| x-0.5|取值在什么范圍才算“比擬大？ “|X-0.5|比擬大這個(gè)事件概率有 多少？如果概率很小可以認(rèn)為是“不可能發(fā)生的。我們的方法是構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，這里我們構(gòu)造X-0u=w當(dāng)Ho為真時(shí)，uN(0, 1),對(duì)于給定的很小的數(shù)0：1，例如取-=0.05|>匕是2P|u|> 七 =P|2個(gè)小概率事件,0-/ / n|> 七=：2小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的當(dāng):- =0.05我們查附表得u 一 =uo25=1.96,又n=9,；二=0.015,由樣本計(jì)算得ix =0.511=|u|=|x-二/.n 0.015

4、/3|=2.2>1.96小概率事件居然發(fā)生了，這與“ H0:.L = %=0.5的推斷矛盾，于是拒絕H0 而認(rèn)為這臺(tái)包裝機(jī)不正常。類(lèi)似于反證法2、統(tǒng)計(jì)假設(shè)的概念在許多實(shí)際問(wèn)題中，常需要根據(jù)理論與經(jīng)驗(yàn)對(duì)總體X的分布函數(shù)或其所含的一些參數(shù)作出某種假設(shè)H。，這種假設(shè)H。稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè)?！皘u|> u：.這個(gè)事件雖是小概率事件，但小概率事件它仍然可能發(fā)生發(fā)生的概率a ，因此假設(shè)根據(jù)| u|> U就拒絕Ho也有可能犯錯(cuò)誤，就是犯錯(cuò)誤的概率2很小，僅為a，換句話說(shuō)當(dāng)| u|> 時(shí)，拒絕Ho這一判斷可信度是1- a2x _這里我們稱u=X/ 0為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，而稱區(qū)域 W=|u|_Uj為

5、拒絕域。W=|u|亠 u ；-=-二，-u JU二，在假設(shè)檢驗(yàn)中，小概率a常取0.05,0.01,或0.1, a稱為顯著性水平。如在 上例中可以說(shuō)包裝機(jī)的包裝規(guī)格與 0.5公斤有顯著差異，而顯著性水平為 0.05。 作為拒絕域的邊界數(shù)值，稱為臨界值，如 W=|u|_u=時(shí)，臨界值為-口二與u ； 當(dāng)a =0.05，臨界值為-1.96與1.96。3、兩類(lèi)錯(cuò)誤數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)是用樣本去推斷總體，即從局部去推斷整體，當(dāng)然有可能犯 錯(cuò)誤。一類(lèi)錯(cuò)誤是：在H。成立的情況下，樣本落入了拒絕域 W，因而H。被拒絕， 稱這種錯(cuò)誤為第一類(lèi)錯(cuò)誤，又稱拒真錯(cuò)誤，一般記犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率為另一類(lèi)錯(cuò)誤是：在H。不成立的情況

6、下，樣本未落入拒絕域 W,因而H。被接 受，稱這種錯(cuò)誤為第二類(lèi)錯(cuò)誤，又稱取偽錯(cuò)誤，并記犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率為我們借用條件概率的表示方法簡(jiǎn)單如下：第一類(lèi)錯(cuò)誤拒真P拒絕H ° | H °為真= a第二類(lèi)錯(cuò)誤取偽P接受H。|H。不真= B二、正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)1、u檢驗(yàn)重點(diǎn)1方差，單個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)設(shè)Xi,X2Xn，是從總體N.二，二02中抽取的一個(gè)樣本，二0是常數(shù)，假設(shè):H。："%,Hi： 八 °其中為數(shù)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量x - 在假設(shè)H °成立時(shí)uN0,1,拒絕域 W= , -口空J(rèn)u, +o0 ,假設(shè)樣本算出的u值落在W內(nèi)，那么作出拒絕H0，否

7、那么認(rèn)為與H0相容。2方差時(shí)，兩個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)了解設(shè)X叮打，丫N卩2戸22 其中 12 , 2為常數(shù)，Xi,X2Xm和yi,y2yn分別是取自X和丫的樣本，且互相獨(dú)立。假設(shè)：Ho：叫=J,H 2檢驗(yàn)假設(shè) 5=9，等價(jià)于假設(shè)叫-=0，而X-y是I的好的估計(jì)量，且當(dāng)H。為真時(shí)，有x y于是對(duì)于給定顯著水平a，查表可得臨界值U舟使P|U|> U =a從而得拒絕域W=：，uj u，+：再由樣本計(jì)算u的觀測(cè)值假設(shè)u W,貝冊(cè)絕H。，否那么就認(rèn)為H。與相容.2、t檢驗(yàn)重點(diǎn)1方差未知時(shí)，單個(gè)正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)設(shè)Xi,X2Xn，是從總體N,：二2中抽取的一個(gè)樣本，其中二2是未知，假設(shè)：H°

8、;： 7,Hi：°其中為數(shù)由于二2是未知，故不能用u=X0二。八n進(jìn)行檢驗(yàn),這時(shí)最自然的想法就是用樣本方差s2替代總體方差C2，因而構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量前已經(jīng)知道，當(dāng)H。為真時(shí)tt( n-1),于是對(duì)于給定顯著性水平a,查t分布表n -1使得即得拒絕域 W=(-：,-嘗(n-1)(t二(n-1) , +二) 通過(guò)樣本觀測(cè)值計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t,假設(shè)t W，那么拒絕H。，否那么就認(rèn)為H。與相容P172 例 8-2(2)方差未知時(shí)，兩個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)(略)三、正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)(了解)1、2檢驗(yàn)設(shè)XX2xn，是從總體N(i，匚2)中抽取的一個(gè)樣本，二2未知，假設(shè)：H 0 :CT2 =0 ,

9、 比 Q 2其中匚0為常數(shù)自然想到看二2的無(wú)偏估計(jì)s2,當(dāng)Ho為真時(shí)，s2應(yīng)在二：周?chē)▌?dòng)，如果s2/；0 很大或很小，那么應(yīng)拒絕H。，因此構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量2_(n - 1)s2前，在假設(shè)H0成立時(shí)22 (n-1)，于是給定顯著性水平a，查2表2 2 可得 ：.(n-1 )與1 ：.(n-1),使1 2 222P 2 空 :.(n-1) = P 2>:. (n-1) =a /21 2222從而可得拒絕域 W=(0,1 :. (n-1) ) (:. (n-1 ),+：)1 22假設(shè)由樣本觀測(cè)值計(jì)算出2的值,2W,那么拒絕Ho，否那么認(rèn)為與H1相容。2、F檢驗(yàn)(了解)檢驗(yàn)兩個(gè)獨(dú)立正態(tài)總體的未知

10、方差是否相等，用F檢驗(yàn)設(shè)X(卩1,6 ),丫N(卩2®2 )X1,X2Xm和y1,y2yn分別是取自X和丫的樣本，且互相獨(dú)立。假設(shè)：Ho ：匚 1=二 2,2由于Si是G的無(wú)偏估計(jì)，S2是二2的無(wú)偏估計(jì)，當(dāng)Ho為真時(shí)，自然想到Si與22SS2應(yīng)該差不多，其比值T2不會(huì)太大或太小，前，在假設(shè)Ho成立時(shí)2s2F(m_1, n _1)S2這樣我們?nèi)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，對(duì)于給定顯著性水平，查表確定臨界值F/m-1,n -1) F 僅伸-1,n-1)2 2使 pFw 匚_： (m -1,n)= pF> FJm-1, n -1)取得拒絕域 W=(0，(m", n") (FJ

11、m-1, n")，+：2 2假設(shè)由樣本觀測(cè)值計(jì)算得F值，當(dāng)F W時(shí)那么拒絕Ho，即認(rèn)為兩總體的方差有顯著差異，否那么認(rèn)為與H1相容，即認(rèn)為兩總體的方差無(wú)顯著差異。第九章回歸分析在現(xiàn)實(shí)世界中，不少變量之間是存在著一定關(guān)系的， 這種關(guān)系大體分為兩類(lèi)， 一類(lèi)是確定性的關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系，例如，電學(xué)中的電壓 V,電流I,電阻三者之間 有匸V/R的函數(shù)關(guān)系；另一類(lèi)是非確定性的，這類(lèi)變量之間有一定關(guān)系卻又并不 完全確定，例如人的血壓與年齡有關(guān)，農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量有關(guān)，這些變量之 間有一定聯(lián)系，但又不能用普通函數(shù)關(guān)系式表達(dá)。事實(shí)上，這些變量是或至少有 一個(gè)是隨機(jī)變量，這種非確定的函數(shù)關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)

12、系?；貧w分析是研究相關(guān)關(guān) 系的一種數(shù)學(xué)工具，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的統(tǒng)計(jì)方法之一，在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究 中有廣泛的應(yīng)用。一、回歸直線方程的建立我們以教材例9-1為例，說(shuō)明線性回歸分析中最簡(jiǎn)單的一元線性回歸分析某種合金的抗拉強(qiáng)度y(kg,mm2)與其中的含碳量x (%)有關(guān)，現(xiàn)測(cè)12對(duì)數(shù)據(jù) 如表所示：X0.100.110.120.130.140.150.160.170.180.200.210.23y42.043.545.045.545.047.549.053.050.055.055.060.0個(gè)隨機(jī)變量，實(shí)際觀測(cè)值 y是丫的疋一個(gè)可能取值，隨著X變化的丫觀測(cè)值線性變化的趨勢(shì)可表示為為了了解其相關(guān)關(guān)系的

13、表達(dá)形式， 在坐標(biāo)上以(Xi, yi)為點(diǎn),i=1,2,12 為點(diǎn)畫(huà)出散點(diǎn)圖，這些點(diǎn)大致散布在某 條直線附近，又不完全在一條直線上， 從而可認(rèn)為y與x的關(guān)系根本上是線性 的，而這些點(diǎn)與直線的偏離是其它一切 隨機(jī)因素影響造成的。一般來(lái)說(shuō)，含碳 量x是一個(gè)可測(cè)的或可控制的普通變 量，而對(duì)任意含碳量X,相應(yīng)的抗拉強(qiáng)度丫丫= ： o： 1X ；其中IX表示丫隨X變化的線性局部是一切隨機(jī)因素影響的總和一般地,將X取一組不同的值X1, X , Xn，通過(guò)試驗(yàn)得到對(duì)應(yīng)丫的值 yi,y2,，yn，這樣就得到n對(duì)觀測(cè)值(Xi, yi)，i=1,2,，n。由丫=5必；，可以認(rèn)為Xi,yi之間有如下關(guān)系：yi很；i

14、 (i=1,2，,n)；i N (0,1)此式就是一元線性回歸的數(shù)學(xué)模型回歸分析的根本問(wèn)題是依據(jù)樣本(Xi, yi)，i=1,2, ,n解決如下問(wèn)題：(1)求出未知參數(shù)j1的點(diǎn)估計(jì)值-0， -1，稱y=：o+ :1X為y關(guān)于x的一元線性回歸方程，其圖像(直線)稱為回歸直線， m稱為回歸系數(shù)，飛稱為回歸常數(shù)。(2)回歸方程顯著性檢驗(yàn).實(shí)際問(wèn)題中丫，X之間是否存在線性關(guān)系yio +x 是要經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)的。利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制二、最小二乘法要求出y=L+ + x就是要求出-I的點(diǎn)估計(jì)-0 , -1，而求出此估計(jì)一個(gè) 自然又直觀的想法便是希望對(duì)一切 Xi，觀測(cè)值yi與回歸值£二y必的偏離最厲n.、n小。即選取'-0， '-1使7-yi2=v yi - -o -、x2最小，此法稱為最小二乘法， 它涉及高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，這里直接給出由最小二乘法得出的計(jì)算y，.公式。由數(shù)據(jù)xyi，i=1,2,n計(jì)算nn°2 2 2Lxx =二(Xi -X)二二 xi - nxi4i £n nLxy = 6 (Xi xj(yi Xi)=， Xi % nxynAi4那么最小二乘估計(jì)為：本例根據(jù)樣本計(jì)算得Lxx =0.0186LXy =2.4292Lyy=335.2292LxyLxx=130.6022-0 =28.5340所以：y