例談不同層次學生向量教學的實施策略精品文檔7

1、例談不同層次學生向量教學的實施策略向量是數(shù)學地位極其重要的一章，其靈活的變化使得學生對向量的試 題往往無從下手。向量試題往往從不同的策略實施下手，代數(shù)化策略和圖 形化策略是最主要的解決策略。筆者發(fā)現(xiàn)，成績較好的學生往往兩種策略 均能正確掌握，更喜歡圖形化策略；對于數(shù)學知識能力運用較弱的學生而 言，代數(shù)化策略是教學的首選，其將向量問題代數(shù)化，使得較難的向量問 題運用代數(shù)的工具進行解決。圖形化策略偏重思考、輕運算，代數(shù)化策略 則恰好反之。一、多解策略，發(fā)散思維 多解策略是解題教學中受教師歡迎的一種策略，該策略注重了學生發(fā) 散思維的培養(yǎng)，在解決問題的過程中，教師引導學生從不同知識出發(fā)，將 各種解決手

2、段融合到一起。筆者認為，向量教學中使用這樣的方式，既可 以圍繞向量滲透各種數(shù)學基本知識，也能激發(fā)學生多思維的策略，對于優(yōu) 等生而言，這是一種極易培養(yǎng)思維發(fā)散性、知識整合性的優(yōu)秀手段。案例1：如果非零向量a, b滿足|a+b|=|b| ，貝9()。A. |2a|>|2a+b|B. |2a|a+2b|D.|2b|0 ，故選 C。策略二：既然是代數(shù)運算，向量坐標法必定行得通，得出法二：解法二：設(shè) a= (x, y), b= (m, n),貝9( x+m) 2+ (y+n) 2=m2+n2 即 x2+y2+2mx+2ny=O,貝U 4x2+4y2- ( 2x+m) 2- (2y+n) 2=2 (

3、x2+y2) -m2-n2 無法判斷正負,而 4m2+4n2-( x+2m)2-( y+2n)2=-4mx-4my-x2-y2=x2+y2 顯然大于 0。故選 C。反思：本題的選擇能體現(xiàn)基礎(chǔ)與本質(zhì)的關(guān)系，突出了主干，也突出了 幾何直觀。教師先引導學生總結(jié)解決此類問題常用的方法： 1. 坐標法； 2. 數(shù)形結(jié)合； 3. 向量方法的運用。讓學生從數(shù)學知識整體與方法上全面去認 識解題，力求從“一題多解”中學會辨析好與不好的解法，把好方法的選 擇與解題落實到復習中。以上兩種解法從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因，思路樸實 正確；但計算較繁，如果一步出錯，滿盤皆輸。這就對學生的計算能力提 出了高要求，做選擇題時學生很

4、少能耐著性子算下去。策略三：對于向量的題目，很多同學還是愿意從向量式的幾何意義出 發(fā)，構(gòu)建三角形。解法三：如圖：設(shè) CB=a BA=b貝y BD=2b則 |2b|=|AD|+|CA| ，|CD|=|a+2b| ，在三角形中兩邊之和大于第三邊， 故選 C。反思：該方法符合學生實際情況，簡潔明朗，通俗易懂，將向量問題 轉(zhuǎn)化成平面幾何問題，計算難度遠遠小于解法一和二，筆者認為這是本題 最好的方法，也是學生最容易想到的方法。策略四：順著學生的思路，既然能構(gòu)建三角形，那么平行四邊形中是 否也蘊涵著本題的真相。解法四：通過平行四邊形法則及菱形的幾何性質(zhì)得在Rt ABC中，|2b|=|AC|>|AB|

5、=|a+2b| ，故選 C。反思：此法還是采用數(shù)形結(jié)合的思路，有學生想到了此法，上黑板板 演，但由于圖形相對復雜，學生最終無法解答，主要靠教師講解分析，學生才勉強接受。此法也讓學生重視圖形語言，平時多畫一些圖，既直觀又 有邏輯，好的數(shù)學題都蘊涵著豐富的圖形。 教師選中此題，可謂用心良苦。 當然，要構(gòu)建直角三角形也可以通過對已知條件的變型，充分發(fā)掘題目涵 義，如：|a+b|2=|b|2 ，貝U a2+2a?b=0,所以a丄a+2b。如圖所示：顯然， |2b|>|a+2b| ，此方法體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合，值得一提。策略五：平行四邊形是一個重要載體，如果法 4的圖形有點復雜，巧妙利用一個不等

6、式，很快答案就出來了。解法五：如圖 |a+2b|=|a+b+b| <|a+b|+|b|=|2b|。反思：該解法太簡潔了，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想， 拓展了學生思維。但對于絕對值不等式學生很陌生，很難想到此法。 策略六：本題為模擬試題，參考答案給出了怎樣的解法呢？學生很有興趣知道，故又介紹了第六種解法：解法六： a 丄 b|a+b|=|a -b| ,又t |a+b|=|b|，即 2|a+b|=2|b|，即|a+2b+a|=|a+2b-a| ，二 a+2b丄a,從而易得 C。反思：對式子的結(jié)構(gòu)進行變形、拼湊，是學生的一個弱點，此法與解法五一樣技巧性太強，不能普及。策略七：當學生在感嘆這么多方法

7、時， （教師接著說：）既然上述方法想不到，對于選擇題又有什么特殊的解題技巧呢？解法七：特殊值代入，排除其他選項，如a=（1，0），b=（-2，0），很快排除 B、D。反思：作為教師，我們在處理這樣的向量問題時，多一些“一題多解”，少一些“單一重復”，效果會更好。教師應調(diào)動學生對向量學習的 好奇心，認識數(shù)學的奇妙。其實，向量問題是透明的，指向是很明確的。像這樣的問題時常出現(xiàn)，它分布在選擇題、填空題中，用于考查學生對數(shù)學思想方法的理解和運用，通過多樣性解決向量問題，開拓優(yōu)秀學生的解 題思路，減少無用功。 二、機械策略，強調(diào)運算向量對于數(shù)學能力較弱的學生而言，其對轉(zhuǎn)化、圖形等想法較弱，因 此教學策略

8、勢必向代數(shù)化靠攏。代數(shù)策略用吳文俊先生的話說，即機械化 策略。用機械化策略可以給這些學生一個明確的方向： 即少思維、 多運算， 只要運算細致便能突破向量問題。來看一個代數(shù)化案例：案例2:矩形ABCD中AB=2 BC=2點E為BC中點，點F在邊CD上, 若AB?AF=2貝V AE?BF的值為。師:本題中我們可以發(fā)現(xiàn)題中的幾何背景是一個特殊圖形:矩形，這樣我們就容易想到以矩形的兩條相鄰直角邊作為x軸，y軸建立直角坐標系。這里我們以AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標系。（建系） 師:建系后，根據(jù)條件分別求出所對應各點的坐標，A（0， 0）， B（2，0）， E（2， 1）， F（x， 2）。（設(shè)點）

9、師:求出各點坐標后，接下來我們把題中的條件進行坐標化，那么我們有AB?AF=（2，0）?（X，2）=2,求出x=1，這樣我們就知道了 F點的 坐標。（條件坐標化）師：把F點坐標代入所求數(shù)量積式中我們就可以得到AE?BF=2 （計算求解）師：在上述解題過程中， 我們根據(jù)條件中圖形幾何的特征建立坐標系，然后設(shè)出條件和所求中的點的坐標，通過點的坐標表示出條件和所求，最 后通過計算得出答案。上述解題步驟也是利用坐標法解決向量問題的一般步驟，請同學們回想剛才的過程。在這些步驟中，建立坐標系是關(guān)鍵，也是難點。本題坐標系建立比較容易，利用了易知的垂直關(guān)系。下面我們來看一道題，請思考本題我們應如何建立坐標系，

10、使我們的解題方便簡單。變式：在厶ABC中，M是BC中點，AM=3 BC=1Q則AB?AC二師：對于本題我們應該如何建立坐標系？在沒有現(xiàn)成的圖形垂直提示 情況下，我們一般應該如何考慮？生：可以考慮以BC為x軸，過M作BC中垂線為y軸建立坐標系。 師：為什么想到以BC的中垂線為y軸？以其他的為y軸是否可行？ 生：以其他的做y軸建立坐標系也是可以的，但是以 BC中垂線為y 軸，對于下一步求點坐標和條件坐標化的計算有幫助，方便我們計算。師：想法很正確。和前一題不同，本題沒有互相垂直的條件，需要我們自己建立坐標系。通常我們可以從圖形對稱性等方面嘗試建立直角坐標系，這樣方便我們的計算。當然有興趣的同學可以

11、嘗試其他的建系方法，如以BC為x軸，過B點做BC垂線為y軸等。師：下面我們仿照前一題的求解步驟把條件中的點以坐標形式給出：（可由學生回答） B（-5 ， 0）， M（0， 0）， C（ 5， 0），設(shè) A（x， y）， 然后把條件坐標化由 AM=3得：x2+y2=9，最后得到AB和AC點積計算可得。師：本題中我們建系以其中一條已知線段的中垂線做 y 軸，這樣的好處是方便我們的后續(xù)求值和計算，這也是我們建系時常見的思考方法。師：下面給同學們一個思考題，請大家從坐標系的角度去考慮如何求解，加深認知。思考題：設(shè)el, e2為單位向量，非零向量 b=xe1+ye2, x, y R.若 e1, e2的夾

12、角為n 6,則兇|b|的最大值等于 。（答案 2，以單位向量建立坐標系） 說明：對這一內(nèi)容所選的題目都是經(jīng)典試題,對程度較弱的學生很有 針對性。針對建立坐標系這一難點, 3 個題目按照由淺入深逐步推進。案 例 2 容易建立坐標系的一個題型,讓學生明確抓住圖形的幾何特征建立坐 標系的建系思想；其次讓學生感受坐標法的解題過程,明確一般的解題步 驟。變式 1 沒有明確的坐標系建系暗示,需要學生自己建立坐標系,這個 問題主要是讓學生體會恰當建立坐標系可以讓解題更加方便,另外也讓學 生鞏固坐標法解題的步驟。最后一問以思考題的形式給出,是坐標法的運 用,是對學生在前兩例題的基礎(chǔ)上的一個提高和自測。對 3 個題目的處理 方式上,案例 2 主要由教師分析講解,學生體會。變式 1 則由學生和教師 共同參與,同時教師考查學生的基本認知和掌握情況。思考題則由學生自 行解決,是對本方法的課后延伸。綜上,筆者針對不同層次的學生研究了不同的向量問題的解決策略, 從上述兩個研究案例發(fā)現(xiàn),針對程度較好的學生,教師勢必研究向量問題 的多樣性解決方案。這對于鞏固向量的幾何本質(zhì)以及數(shù)學思維的培養(yǎng)是有 積極作用的。另一方面,筆者也專門就學困生研究了代數(shù)化的解決策略。 就學生數(shù)學能力而言,