中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題48中考數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想(學(xué)生版)

1、中考專題 48 中考專題數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”。 “以數(shù)解形”就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等。1. 數(shù)形結(jié)合思想的含義數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度, 利

2、用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系, 尋求代數(shù)問題的解決方法( 以形助數(shù) ), 或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì), 解決幾何問題 ( 以數(shù)助形 ) 的一種數(shù)學(xué)思想. 數(shù)形結(jié)合思想使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，使問題得以解決。2. 數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用常見的四種類型(1) 實數(shù)與數(shù)軸。實數(shù)與數(shù)軸上的點具有一一對應(yīng)關(guān)系, 借助數(shù)軸觀察數(shù)的特點, 直觀明了。(2) 在解方程 ( 組) 或不等式 ( 組) 中的應(yīng)用。利用函數(shù)圖象解決方程問題時, 常把方程根的問題看作兩個函數(shù)圖象的交點問題來解決; 利用數(shù)軸或函數(shù)圖象解有關(guān)不等式( 組) 的問題直觀 ,形象 , 易于找出不等式( 組)解的公共部分或判斷不等

3、式組有無公共解。(3) 在函數(shù)中的應(yīng)用。借助于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法, 函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合 , 體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法。(4) 在幾何中的應(yīng)用。對于幾何問題, 我們常通過圖形, 找出邊、角的數(shù)量關(guān)系,通過邊、角的數(shù)量關(guān)系, 得出圖形的性質(zhì)等。3. 數(shù)形結(jié)合思想解題方法“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個最基本的概念, 每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之, 數(shù)量關(guān)系又常常可以通過幾何圖形做出直觀地反映和描述. 數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來, 使抽象思維和形象思維結(jié)合起來,在解決代數(shù)問題時, 想到它的圖形 ,

4、從而啟發(fā)思維 , 找到解題之路；或者在研究圖形時,利用代數(shù)的知識, 解決幾何的問題. 實現(xiàn)了抽象概念與具體圖形的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化, 化難為易 , 化抽象為直觀. 【經(jīng)典例題1】(2020 年?遵義 ) 構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計算tan15 時，如圖在 rtacb中，c90，abc30，延長cb使bdab， 連接ad， 得d15， 所以 tan15 =?=12+3=2-3(2+3)(2-3)= 2- 3類比這種方法，計算tan22.5 的值為 ( ) a 2 + 1 b 2 - 1 c 2d12【知識點練習(xí)】(2019 ?湖北省仙桃市) 不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的

5、是( ) a bcd【經(jīng)典例題2】 (2020 年?濟寧 ) 數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法如圖， 直線yx+5 和直線yax+b相交于點p，根據(jù)圖象可知，方程x+5ax+b的解是 ( ) ax20 bx5 cx25 dx15 【知識點練習(xí)】(2020 年株洲模擬 ) 直線 y=k1x+b1(k10)與 y=k2x+b2(k20) 相交于點 ( 2，0) ，且兩直線與y 軸圍城的三角形面積為4，那么 b1b2等于【經(jīng)典例題3】(2020 年通化模擬 ) 在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明進行數(shù)學(xué)探究活動，將邊長為2 的正方形abcd與邊長為2的正方形aefg 按圖 1 位置放置， ad與 ae在

6、同一直線上，ab與 ag在同一直線上(1) 小明發(fā)現(xiàn)dg be ，請你幫他說明理由(2) 如圖 2，小明將正方形abcd 繞點 a逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點b恰好落在線段dg上時，請你幫他求出此時be的長(3) 如圖 3，小明將正方形abcd 繞點 a繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，線段dg與線段 be將相交，交點為h，寫出 ghe與 bhd面積之和的最大值，并簡要說明理由【知識點練習(xí)】(2020 年山東日照模擬) 問題背景：我們學(xué)習(xí)等邊三角形時得到直角三角形的一個性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半即：如圖1，在rtabc中， acb=90 ， abc=30 ，則： ac= a

7、b探究結(jié)論：小明同學(xué)對以上結(jié)論作了進一步研究(1) 如圖 1，連接 ab邊上中線 ce，由于 ce= ab ，易得結(jié)論：ace為等邊三角形；be與 ce之間的數(shù)量關(guān)系為(2) 如圖 2，點 d是邊 cb上任意一點，連接ad ，作等邊 ade ，且點 e在 acb的內(nèi)部，連接be 試探究線段 be與 de之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想并加以證明(3) 當(dāng)點 d為邊 cb延長線上任意一點時，在(2) 條件的基礎(chǔ)上，線段be與 de之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，點 a的坐標(biāo)為 ( ，1) ，點 b是 x 軸正半軸上的一動點，以 ab為邊作等邊

8、abc ，當(dāng) c點在第一象限內(nèi)，且b(2，0) 時，求 c點的坐標(biāo)一、選擇題1(2020 年?溫州 ) 如圖，在離鐵塔150 米的a處，用測傾儀測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑴y傾儀高ad為 1.5 米，則鐵塔的高bc為( ) a(1.5+150tan )米b(1.5 +150?) 米c(1.5+150sin )米d(1.5 +150?) 米2(2020 年恩施州模擬) 如圖， 在平行四邊形abcd中，efab交 ad于 e，交 bd于 f，de ：ea=3：4，ef=3 ，則 cd的長為 ( ) a. 4 b. 7 c. 3 d. 12 3(2020 年濟南模擬 ) 如圖，拋物線y=2x2+8x6 與 x

9、 軸交于點a、b，把拋物線在x 軸及其上方的部分記作 c1，將 c1向右平移得c2， c2與 x 軸交于點b， d 若直線y=x+m與 c1、c2共有 3 個不同的交點，則m的取值范圍是 ( ) a2m b 3m c 3m 2 d 3m 二、填空題4(2020 年烏魯木齊模擬) 如圖，拋物線y=ax2+bx+c 的對稱軸是x=1且過點 (，0) ，有下列結(jié)論：abc0； a2b+4c=0； 25a10b+4c=0； 3b+2c0； a bm(am b)；其中所有正確的結(jié)論是( 填寫正確結(jié)論的序號) 5(2020 年?泰安 ) 如圖，某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個山坡，坡上面是一塊平地bcad，bea

10、d，斜坡ab長 26m，斜坡ab的坡比為12：5為了減緩坡面，防止山體滑坡，學(xué)校決定對該斜坡進行改造經(jīng)地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過50時，可確保山體不滑坡如果改造時保持坡腳a不動，則坡頂b沿bc至少向右移m時，才能確保山體不滑坡( 取 tan50 1.2) 6(2020 年濟南模擬 ) 如圖，在菱形abcd 中， ab=6 ， dab=60 ， ae分別交 bc 、 bd于點 e、f，ce=2 ，連接 cf，以下結(jié)論：abf cbf ；點 e到 ab的距離是2； tan dcf=； abf的面積為其中一定成立的是 (把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上) 三、解答題7.(2019 ?湖南湘西州 )

11、解不等式組：并把解集在數(shù)軸上表示出來8. 我們知道： 根據(jù)二次函數(shù)的圖象，可以直接確定二次函數(shù)的最大( 小) 值；根據(jù)“兩點之間，線段最短”，并運用軸對稱的性質(zhì)，可以在一條直線上找到一點，使得此點到這條直線同側(cè)兩定點之間的距離之和最短這種“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，非常有利于解決一些實際問題中的最大( 小) 值問題請你嘗試解決一下問題：(1) 在圖 1中，拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的最大值是 _. (2) 在圖 2中，相距 3km的 a、b兩鎮(zhèn)位于河岸 ( 近似看做直線cd)的同側(cè)，且到河岸的距離ac=1千米， bd=2千米，現(xiàn)要在岸邊建一座水塔，直接給兩鎮(zhèn)送水，為使所用水管的長度最短，請你：作圖確定

12、水塔的位置；求出所需水管的長度( 結(jié)果用準(zhǔn)確值表示). (3) 已知 x+y=6，求的最小值？此問題可以通過數(shù)形結(jié)合的方法加以解決，具體步驟如下：如圖 3 中，作線段ab=6 ，分別過點a、b，作 ca ab ，db ab ，使得 ca= _db= _. 在 ab上取一點p，可設(shè) ap= _，bp= _. 的最小值即為線段_和線段 _長度之和的最小值，最小值為 _ 9.(2019 ?山東省濱州市 ) 如圖，拋物線yx2+x+4 與y軸交于點a，與x軸交于點b，c，將直線ab繞點a逆時針旋轉(zhuǎn)90，所得直線與x軸交于點d(1) 求直線ad的函數(shù)答案剖析式；(2) 如圖，若點p是直線ad上方拋物線上的一個動點當(dāng)點p到直線ad的距離最大時，求點p的坐標(biāo)和最大距離；當(dāng)點p到直線ad的距離為時，求 sin pad的值10 (2019 湖南湘西州 ) 如圖，一次函數(shù)ykx+b的圖象與反比例函數(shù)y的圖象在第一象限交于點a(3 ，2) ，與y軸的負半軸交于點b，且ob4(1) 求函數(shù)y和ykx+b的答案剖析式；(2) 結(jié)合圖象直接寫出不等式組0kx+b的解集11 (2019 廣西百色 ) 如圖，已如平行四邊形oabc中，點o為坐標(biāo)頂點，點a(3 ，0)