2020屆江蘇省高三上學(xué)期八校聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題

1、頁1第江蘇省 20192020 學(xué)年高三上學(xué)期八校聯(lián)考數(shù)學(xué)理試卷201910 一、填空題 （本大題共14 小題，每小題5 分，共 70 分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上）1已知集合a1 ，b1 ，5，則 aub答案： 1，5 2i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)1 5i1 i答案：2i33如圖偽代碼的輸出結(jié)果為答案： 11 4為了解學(xué)生課外閱讀的情況，隨機統(tǒng)計了n 名學(xué)生的課外閱讀時間，所得數(shù)據(jù)都在50，150中，其頻率分布直方圖如圖所示已知在50，75)中的頻數(shù)為100，則 n 的值為答案： 1000 5某校有 a，b 兩個學(xué)生食堂，若a，b，c 三名學(xué)生各自隨機選擇其中的一個食堂用餐，則三人在同一個

2、食堂用餐的概率為答案：146已知是第二象限角，其終邊上一點p(x，5)，且2cos3，則 x 的值為答案： 2 7將函數(shù)sin()3yx的圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2 倍（縱坐標(biāo)不變） ，再將所得的圖像向左平移3個單位，得到的圖像對應(yīng)的解析式是答案：1sin()26yxs1for i from 1 to 4 s s+iend for print s 頁2第8已知函數(shù)23log (1)3( )213xxxf xx，滿足( )3f a，則a答案： 7 9已知實數(shù)a，b 滿足224549aabb，則 ab 最大值為答案：2 310已知0，4，且1cos43，則44sin ()sin ()44答

3、案：6311直角 abc 中，點 d 為斜邊 bc 中點， ab6 3，ac 6，1aeed2u uu ruuu r，則ae ebu u u r u uu rbacde答案： 14 12已知奇函數(shù)( )f x滿足(1)(1)fxfx，若當(dāng)x(1， 1)時，1( )lg1xf xx且(2019)1fa(0a1)，則實數(shù)a答案：21113已知 a0，函數(shù)( )xf xae ，( )lng xeaxb(e 為自然對數(shù)的底數(shù)） ，若存在一條直線與曲線( )yf x和( )yg x均相切，則ba最大值是答案： e14若關(guān)于x的方程222(2)xxa xaexe 有且僅有3 個不同實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范

4、圍是答案：0a或1a二、解答題 （本大題共6 小題，共計90 分，請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 ）15 （本小題滿分14 分）已知集合a22log ( 4159)x yxxxr，b1x xmxr，（1）求集合a；（2）若 p：xa，q：xb，且 p 是 q的充分不必要條件，求實數(shù)m 的取值范圍解： （1） 集合a即為函數(shù)22log ( 4159)yxx定義域，即需241590 xx-2 分，即241590,xx頁3第即 (3)(43)0 xx-5 分，得3( ,3)4a-7 分（2）由111,11xmxmxmxmxm或即或，-9 分則1,)(,1bmm-1

5、0 分因為 p 是 q的充分不必要條件，所以a是b的真子集 -11 分即需31314mm或得144mm或-13 分所以實數(shù)m 的取值范圍是1(,4,)4-14 分16 （本小題滿分14 分）如圖，在四棱錐pabcd 中， pd底面 abcd ，底面 abcd 是直角梯形， dcab， bad 90 ，且 ab 2ad 2dc 2pd，e 為 pa 的中點（1）證明： de平面 pbc；（2）證明： de平面 pab證明：（1）設(shè) pb 的中點為f，連結(jié) ef、cf，ef ab，dcab，所以 efdc，-2 分 ，且 efdc12ab故四邊形cdef 為平行四邊形，-4 分可得 edcf-5分

6、又 ed平面 pbc， cf平面 pbc，-6 分故 de平面 pbc-7分注： （證面面平行也同樣給分）（2）因 為 pd底面 abcd，ab平面 abcd ，所以 ab pd又因為 abad，pdiadd，ad平面 pad，pd平面 pad，所以 ab平面 pad-11 分ed平面 pad，故 edab-12 分又 pdad，e 為 pa 的中點，故edpa；-13 分paiaba，pa平面 p ab，ab平面 pab，所以 ed平面 pab-14 分17 （本小題滿分14 分）在 abc 中，角 a、 b、c 的對邊分別為a，b，c已知 cosc35（1）若9cb ca2uu u r u

7、u u r，求 abc 的面積；（2）設(shè)向量xr (b2sin2，3)，yu r(cosb，bcos2)，且xryu r，b5 3，求 a 的值頁4第解（ 1）由 cb ca92，得 abcosc92 2 分又因為 cosc35，所以 ab92cos c152 4分又 c 為 abc 的內(nèi)角，所以sinc45 所以 abc 的面積 s12absinc3 6 分（2）因為 x/y，所以 2sinb2cosb23cosb，即 sinb3cosb8 分因為 cosb0 ，所以 tanb3因為 b 為三角形的內(nèi)角，0b，-9 分所以 b3 10 分所以331443 3sinsin()sincoscos

8、sin252510abcbcbc-12 分由正弦定理，5 343 3sinsin43 33102abaaab-14 分18 （本小題滿分16 分）已知梯形abcd 頂點 b，c 在以 ad 為直徑的圓上，ad 4 米（1）如圖 1，若電熱絲由三線段ab，bc，cd 組成，在ab ，cd 上每米可輻射1 單位熱量，在bc上每米可輻射2 單位熱量，請設(shè)計bc 的長度，使得電熱絲的總熱量最大，并求總熱量的最大值；（2）如圖 2，若電熱絲由弧?ab ，?cd 和弦 bc 這三部分組成，在弧?ab ，?cd 上每米可輻射1 單位熱量，在弦 bc 上每米可輻射2 單位熱量，請設(shè)計bc 的長度，使得電熱絲輻

9、射的總熱量最大圖 1 圖 2 【解】設(shè)，-1 分（1），-2 分，-3 分總熱量單位-5 分當(dāng)時，取最大值，此時米，總熱量最大9（單位） .-6 分答：應(yīng)設(shè)計長為米，電熱絲輻射的總熱量最大，最大值為9 單位 .-7 分（2）總熱量單位，-10 分( )48sing-11 分頁5第令，即，因，所以，-12 分當(dāng)時，為增函數(shù)，當(dāng)時，為減函數(shù)， -14 分當(dāng)時，取最大值，此時米.-15 分答：應(yīng)設(shè)計長為米，電熱絲輻射的總熱量最大.-16 分19 （本小題滿分16 分）設(shè)常數(shù)ar，函數(shù)2( )2xxaf xa（1）當(dāng) a1 時，判斷( )f x在 (0，)上單調(diào)性，并加以證明；（2）當(dāng) a0 時，研究

10、( )f x的奇偶性，并說明理由；（3）當(dāng) a0 時，若存在區(qū)間m，n(mn)使得( )f x在m，n上的值域為 2m，2n，求實數(shù)a 的取值范圍解(1)1a時，12212( )1,(0,),2121xxxf xx x且12xx21121212222(22 )()()02121(21)(21)xxxxxxf xf x所以( )yf x 在 (0,) 上遞減。-3 分法二：(0,)x，22( )2 ln 20(21)xxfx，所以( )yf x 在 (0,) 上遞減。（2）0a時( )1f x滿足()( )1fxf x，( )yf x 為偶函數(shù)。 -4 分1a時21( ),21xxf x定義域0

11、 x x， 且2112()( )2112xxxxfxf x，( )yf x 為奇函數(shù)。 -6分01aa且時，定義域為2logx xa 因21,log0aa，定義域不關(guān)于原點對稱-7 分，因此( )yf x 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。-8 分（3）22( )122xxxaaf xaa當(dāng)0a時，( )yf x 在2(log,)a和2(,log)a 上遞減則2122(*)2122nmmnaaaa兩式相減得222 (22 )22222(2)(2)222(2)(2)2nmnmnmmnnmnmnmaaaaaaaaaaaaa即得2再代入得（*）1(2)2 ,1(21)(21)2nnmnaa此方程有解，如21

12、,log 3mn因此1a滿足題意。 -11 分頁6第當(dāng)0a時，( )yf x 在 (,) 遞增，有題意( )yf x 在 , m n 上的值域為 2 ,2 mn知2122(*)2122mmnnaaaa即,m n 是方程2122xxaa的兩根即方程2(2 )(1)20 xxaa有兩不等實根，令 20,xt即2(1)0tata有兩不等正根。-13 分即需2121 2(1)4032 232 210132 2000aaaattaaaat ta或-15 分綜上1( 32 2,0)a-16分20 （本小題滿分16 分）設(shè)函數(shù)( )lnbf xaxxx(x0，a，br)（1）當(dāng) b0 時，( )f x在1，

13、)上是單調(diào)遞增函數(shù)，求a 的取值范圍；（2）當(dāng) ab1 時，討論函數(shù)( )f x的單調(diào)區(qū)間；（3）對于任意給定的正實數(shù)a，證明：存在實數(shù)0 x，使得0()0f x解： (1) 當(dāng)0b=時，( )lnf xaxx ；因( )f x 在 1,) 上是單調(diào)遞增函數(shù)，則1( )0fxax ，即1ax對1,)x恒成立，則max1()ax 1 分而當(dāng)1,)x，11x,，故1a故 a的取值范圍為1,) 3 分(2) 當(dāng)1ab時，1lnafxaxxx，2222111(1)(1)( )aaxxaxaxafxaxxxx當(dāng)a0時，令( )0fx，得(0,1)x，令( )0fx，得(1,)x，則( )fx 的單調(diào)遞增

14、區(qū)間為(0,1) ，遞減區(qū)間為(1,) ； 5 分當(dāng)102a時，21(1)()( )aa xxafxx. 令( )0fx得，01x，或1axa，令( )0fx得，11axa，則( )fx的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，1(,)aa，遞減區(qū)間為1(1,)aa； 7 分當(dāng)12a時，22(1)( )02xfxx ，當(dāng)且僅當(dāng)1x取“ =”.頁7第則( )f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,) ，無減區(qū)間 . 8 分當(dāng)112a時，21(1)()( )aa xxafxx.令( )0fx得，10axa，或1x，令( )0fx得，11axa，則( )fx 的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)aa， (1,) ，遞減區(qū)間為1(,1

15、)aa； 9 分 5 當(dāng)1a時，21(1)()( )aa xxafxx，令( )0fx得，1x，令( )0fx得，01x，綜上所述，當(dāng)a0時，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，遞減區(qū)間為(1,)；當(dāng)102a時，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1) ，1(,)aa，遞減區(qū)間為1(1,)aa；當(dāng)12a時，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,) ，無減區(qū)間；當(dāng)112a時，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)aa， (1,) ，遞減區(qū)間為1(,1)aa；當(dāng)1a時，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,) ，遞減區(qū)間為(0,1) ， 10 分(3)先證 ln2xx . 設(shè)( )ln2p xxx ,0 x,則111( )xp xxxx，(0,1)x，0y，則( )p x

16、 在(0,1)x單調(diào)遞增；(1,)x，0y，則( )p x 在(0,1)x單調(diào)遞減；則( )(1)20p xp,，故 ln2xx . 12 分取法 1：取0 x =11x，其中2111|()a bxa為方程2|0axxb的較大根 . 因0 x =111x，則00|bbbxx，因0 x =111xx ，則00112|2|0axxbaxxb，故000000()ln| 20bf xaxxaxbxx所以對于任意給定的正實數(shù)a，存在實數(shù)0 x ，使得0()0f x 16 分取法 2：取0 x =2| 2()1ba，則20| 22()2 |baxaba，則00000000000000(2)| (1)()l

17、n20 xxaxbbxxbbf xaxxaxxxxxx.對于任意給定的正實數(shù)a，所以存在實數(shù)0 x ，使得0()0f x 16 分附加題21 【選做題】本題包括,a b c三小題，每小題10 分. 請選定其中兩題（將所選題空白框涂黑），并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟a.選修 4 - 2：矩陣與變換 已知矩陣m121a，其中ra，若點(1,7)p在矩陣m的變換下得到點(15,9)p， （1）求實數(shù)a的值；頁8第（2）求矩陣m的特征值及其對應(yīng)的特征向量. 解： （ 1）由121a17=159，1715a，解得2a. 4 分（ 2

18、）由（ 1）知m1221，則矩陣m的特征多項式為212( )(1)(1)42321f令0)(f，得矩陣m的特征值為1與 3. 6 分當(dāng)1時，220220 xyxy，解得0 xy矩陣m的屬于特征值1的一個特征向量為11; 8 分當(dāng)3時，220220 xyxy，解得xy矩陣m的屬于特征值3 的一個特征向量為11. 10分b.選修 4 - 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程以坐標(biāo)原點為極點，x 軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，判斷直線12:12xtlyt（t為參數(shù)）與圓2:2cos2 sin0c的位置關(guān)系解：把直線方程12:12xtlyt化為普通方程為2xy3分將圓:c22cos

19、2 sin0化為普通方程為22220 xxyy，即22(1)(1)2xy6分圓心c到直線l的距離222d-8 分所以直線l與圓c相切 . 10分c.選修 4 - 5：不等式選講 已知 a、 b、c 是正實數(shù)，求證：a2b2b2c2c2a2bacbac. 法一：因為, ,a b c均為正數(shù)，則22222222222222222222222222222222222222222()2()22abababcbccbcbcbabcabcabcbcacacaabcacabbcaabccacacababbggg同理頁9第法二：由abbc2bcca2caab20 ，得 2a2b2b2c2c2a22abbcca

20、0 ，a2b2b2c2c2a2bacbac.(10 分) 【必做題】第22，23 題，每小題10 分，計 20 分. 請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22.甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為21與p，且乙投球2 次均未命中的概率為161. （）求乙投球的命中率p；（）若甲投球1 次，乙投球2 次，兩人共命中的次數(shù)記為，求的分布表和數(shù)學(xué)期望. 解： （）設(shè) “ 甲投球一次命中” 為事件 a，“ 乙投球一次命中” 為事件 b 由題意得1611122pbp解得43p或45（舍去），所以乙投球的命中率為43-3 分（）由題設(shè)和（）知41,43,21,21bpbpapap可能的取值為0， 1，2，3，-4分故321412102bbpapp-5分3272141432412132