2020-2021學年江蘇省南通市高一(下)期末數學模擬試卷

1、第 1 頁，共 26 頁2020-2021 學年江蘇省南通市高一（下）期末數學模擬試卷一、單選題（本大題共9 小題，共45.0 分）1.(2021 浙江省 單元測試 )已知復數 ? =(3?-1)(1-?)?2019(? 為虛數單位 )，則下列說法正確的是()a. z的虛部為4b. 復數z在復平面內對應的點位于第三象限c. z的共軛復數 ?-= 4 - 2?d. |?|= 2 52.(2021 四川省瀘州市 月考試卷 )設?的三個內角為a，b，c，向量 ? ? ? =(?,?)，? = ( 3?, 3?)，若 ? ? ? ? = 2 - ?，則 c 的值為 ()a. ?6b. ?3c. 2?3

2、d. 5?63.(2021 山東省煙臺市 單元測試 )設?= ?14 + ?14 ，?= ?16 + ?16 ，? = 62，則 a，b，c 大小關系 ()a. ? ? ?b. ? ? ?c. ? ? ?d. ? ? ?2，?1 ?2b. ?1 ?2， ?1 ?2c. ?1 ?2，?1 ?2d. ?1 ?28.(2020 河北省衡水市 月考試卷 )在棱長為2 的正方體 ?-?1?1?1?1中，點 m 是對角線 ?1上的點 (點 m 與 a、?1不重合)，則下列結論正確的個數為() 存在點 m，使得平面 ?1? 平面 ?1? ； 存在點 m，使得 ?/平面 ?1?1； 若?1? 的面積為s，則

3、?(2 33,2 3)； 若?1、?2分別是 ?1? 在平面 ?1?1?1?1與平面 ?1?1? 的正投影的面積，則存在點 m，使得 ?1= ?2a. 1 個b. 2個c. 3 個d. 4 個9.(2021 北京市 單元測試 )在邊長為 2 的等邊三角形abc 中，點 d， e 分別是邊 ac，ab上的點，滿足?/?且?= ?(? (0,1) ，將 ?沿直線 de 折到 ? ?的位置在翻折過程中，下列結論成立的是()a. 在邊 ? ?上存在點f，使得在翻折過程中，滿足?/ 平面 ? ?b. 存在 ?(0,12)，使得在翻折過程中的某個位置，滿足平面? ? 平面 bcde第 3 頁，共 26 頁

4、c. 若? =12，當二面角?- ? - ?為直二面角時，|? ?|= 104d. 在翻折過程中，四棱錐?- ?體積的最大值記為?(?) ，?(?) 的最大值為239二、多選題（本大題共3 小題，共15.0 分）10.(2021 湖北省 模擬題 )已知 m，n 是兩條不重合的直線，? ，? ，? 是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題，其中正確命題的是()a. 若 ?/?， ?/? ，m，? ? ，則 ?/?b. 若 ? ，? ，?= ?，? ? ，則 ?c. 若? ，? ，?= ? ，那么 ?/?d. 若 ?/?， ?/?， ?= ? ，那么 ?/?11.(2021 江蘇省南通市 期末考試

5、 )關于函數 ?(?) = 4?2? + 4?(?+?6)，下列說法正確的是 ()a. 若 ?1，?2是函數 ?(?) 的零點，則 ?1-?2是?2的整數倍b. 函數 ?(?) 的圖象關于點(-?6,1)對稱c. 函數 ?(?) 的圖象與函數?= 2 3cos(2?-?6) + 1的圖象相同d. 函數 ?(?) 的圖象可由 ?= 2 3?2?的圖象先向上平移1 個單位長度，再向左平移?3個單位長度得到12.(2021 江蘇省南通市 期末考試 )已知 i 為虛數單位，下列說法中正確的是()a. 若復數z滿足 |?- ?| = 5，則復數z對應的點在以(1,0)為圓心， 5為半徑的圓上b. 若復數

6、 z滿足 ? + |?|= 2 + 8? ，則復數 ?= -15+ 8?c. 當 m，?時，有 ?= ?+?d. 1-?1+?是集合 ? = ?|? = ?,? ?中的元素三、單空題（本大題共4 小題，共20.0 分）13.(2021 江蘇省南通市 期末考試 )如圖，要計算某湖泊岸邊兩景點b 與 c 的距離，由于受地形的限制，需要在岸上選取a 和 d 兩點， 現測得 ? = 5? ， ? = 7? ， ?= 60 ， ?= 15 ， ?= 120 ，則兩景點b 與 c 的距離為 _ km第 4 頁，共 26 頁14.(2021 江蘇省南通市 期末考試 )某校有選修物化、物生、政史三種不同類別課

7、程的學生共 900 人 (假設每人只選修一種類別的課程)，按照分層隨機抽樣的方法從中抽取 20人參加數學調研檢測.已知在這次檢測中20人的數學平均成績?yōu)?19 分， 其中選修物化和物生類別課程學生的數學平均成績?yōu)?20分，選修政史類課程學生的數學平均成績?yōu)?15 分，則該校選修政史類課程的學生人數為_ 15.(2021 浙江省 水平會考 )已知向量 ? = (4,2) ，? = (?, 1)，若 ? + 2? 與? - ? 的夾角是銳角，則實數 ? 的取值范圍為 _16.(2021 全國 模擬題 )如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，余下的多面體就成為一個半正多面體，亦稱“

8、阿基米德體”.點a，b，m是該多面體的三個頂點，點n 是該多面體表面上的動點，且總滿足? ，若 ? = 4，則該多面體的表面積為_ ，點 n 軌跡的長度為_ 四、解答題（本大題共6 小題，共70.0 分）17.(2021 江蘇省南通市 期末考試 )在以下兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題 3?= 4?， 2?+?2= 5?.在?中，角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，已知 _，?= 3 2(1) 求 sina 的值；(2) 如圖， m 為邊 ac 上一點， |?|= |?| ， ?=?2，求 ?的面積第 5 頁，共 26 頁18.(2021 江蘇省南通市 期末考試

9、 )如圖，在四棱錐?- ?中，底面abcd 是矩形，點 e、f 分別是棱pc 和 pd 的中點(1) 求證： ?/ 平面 pab；(2) 若? = ? ，平面 ? 平面 abcd，證明：平面 ? 平面 pcd19.(2018 江西省贛州市 月考試卷 )一網站營銷部為統(tǒng)計某市網友2017 年 12月 12 日在某網店的網購情況，隨機抽查了該市60 名網友在該網店的網購金額情況，如表：網購金額(單位：千元 )頻數頻率0,0.5)30.050.5,1)xp1,1.5)90.151.5,2)150.252,2.5)180.302.5,3yq合計601.00第 6 頁，共 26 頁若將當日網購金額不小于

10、2千元的網友稱為“網購達人”，網購金額小于2 千元的網友稱為“網購探者”，已知“網購達人”與“網購探者”人數的比例為2: 3(1) 確定 x， y，p，q 的值，并補全頻率分布直方圖；(2) 試根據頻率分布直方圖估算這60 名網友當日在該網店網購金額的平均數和中位數；若平均數和中位數至少有一個不低于2千元，則該網店當日評為“皇冠店”，試判斷該網店當日能否被評為“皇冠店”20.(2021 江蘇省南通市 單元測試 )已知 o 為坐標原點， 對于函數 ?(?) = ?+ ?，稱向量? ? ? ? ? ? ? = (?,?) 為函數 ?(?) 的伴隨向量，同時稱函數?(?) 為向量 ? ? ? ? ?

11、 ? ? 的伴隨函數(1) 設函數 ?(?) = 3sin(?+ ?)- sin(3?2-?) ，試求 ?(?) 的伴隨向量 ? ? ? ? ? ? ? ；(2) 記向量 ? ? ? ? ? = (1, 3) 的伴隨函數為 ?(?) ， 求當 ?(?) =85且 ?(-?3,?6)時 sinx 的值；(3) 由(1) 中函數 ?(?) 的圖象 (縱坐標不變 )橫坐標伸長為原來的2 倍，再把整個圖象向右平移2?3個單位長度得到?(?)的圖象， 已知 ?(-2,3) ，?(2,6)，問在 ?= ?(?)的圖象上是否存在一點p， 使得 ? ? ? ? .若存在，求出 p 點坐標；若不存在， 說明理由

12、第 7 頁，共 26 頁21.(2021 江蘇省南通市 模擬題 )某空調商家，對一次性購買兩臺空調的客戶推出兩種質保期兩年內的保維修方案：方案一：交納質保金300元，在質保的兩年內兩條空調共可免費維修2 次，超過2次每次收取維修費200 元方案二：交納質保金400元，在質保的兩年內兩臺空調共可免費維修3次，超過3次每次收取維修費200 元小李準備一次性購買兩臺這種空調，現需決策在購買時應購買哪種質保方案，為此搜集并整理了100 臺這種空調質保期內兩年內維修的次數，統(tǒng)計得如表：維修次數0123空調臺數20303020用以上100臺空調維修次數的頻率代替一臺機器維修次數發(fā)生的概率(1) 求購買這樣

13、的兩臺空調在質保期的兩年內維修次數超過2 次的概率；(2) 請問小李選擇哪種質保方案更合算22.(2018 四川省宜賓市 模擬題 )如圖，在四棱錐?-?中， ?/?， ?= ?= 90 ，? =? =12?. ? 為棱 ad 的中點，異面直線pa 與 cd所成的角為 90 () 在平面 pab 內找一點m，使得直線 ?/平面pbe，并說明理由；() 若二面角 ?-? - ? 的大小為 45 ，求直線pa 與平面 pce 所成角的正弦值第 8 頁，共 26 頁第 9 頁，共 26 頁答案和解析1.【答案】d 【知識點】 復數的四則運算【解析】 解： ?=(3?-1)(1-?)?2019=2+4?

14、4504+3=2+4?-?=(2+4?)?-?2= -4+ 2? ? 的虛部為2；復數 z在復平面內對應的點位于第二象限；?-= -4- 2?；|?|= 2 5故選： d利用復數代數形式的乘除運算化簡，然后逐一核對四個選項得答案本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，考查復數模的求法，是基礎題2.【答案】 b 【知識點】 向量的數量積【解析】解： ?的三個內角為a， b， c， 向量 ? ? ? = (?,?)， ? = ( 3?, 3?)，? ? ? ? = 3?+ 3?= 3sin(? + ?)= 3?，又因為 ? ? ? ? = 2 - ?，所以 3?= 2 - ?，所以 3

15、?+ ?= 2(?6+ sin?6?)= 2?(?+?6) = 2，因為 0 ? ? ，所以?+?6=?2，所以?=?3故選： b利用向量的坐標表示求出向量的數量積，結合? ? ? ? = 2 - ?，轉化求解c本題主要以向量的坐標表示為載體考查三角函數，向量與三角的綜合問題作為高考的熱點，把握它的關鍵是掌握好三角與向量的基本知識，掌握一些基本技巧，還要具備一些運算的基本技能3.【答案】 d 【知識點】 正弦、余弦函數的圖象與性質、兩角和與差的三角函數公式、比較大小【解析】 解：由題意知，?= ?14+ ?14= 2( 22?14 +22?14 )= 2?59 ，同理可得， ?= ?16+ ?

16、16= 2?61 ，? = 62= 2?60 ，第 10 頁，共 26 頁?= ?在(0,90)是增函數， ?59 ?60 ?61 ，? ? ? ，故選： d利用兩角和的正弦公式對a 和 b 進行化簡， 轉化為正弦值的形式，再由正弦函數的單調性進行比較大小本題考查了比較式子大小的方法，一般需要把各項轉化統(tǒng)一的形式，再由對應的性質進行比較，考查了轉化思想4.【答案】 d 【知識點】 三角形面積公式、余弦定理、正弦定理【解析】【分析】本題主要考查正、余弦定理、兩角和的正弦函數公式、三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題由正弦定理，兩角和的正弦函數公式化簡已知等式

17、可得?= 1，結合 a 的范圍可求 ?= 900，由余弦定理、三角形面積公式可求 ?=3，結合范圍 00 ? 0時，需要滿足? 1，符合條件的有：(1, -1) ，(1,1) ，(2, -1) ，(2,1) ，共 4種 函數 ?(?) = ?2-2?在區(qū)間 (1, +)上為增函數的概率是?=512故選 a6.【答案】 c 【知識點】 向量的數量積【解析】第 12 頁，共 26 頁【分析】本題考查平面向量的綜合應用，建系設點可以使問題便于思考，本題計算量太大，要注意計算的準確性屬于中檔題如圖：建立平面直角坐標系，并設正方形邊長為2a，圓的半徑為r，且 ? 2? ，然后設 ?(?,?)， 正方形的

18、四個頂點坐標易給，則將坐標分別代入四個選項判斷即可【解答】解：如圖：建立平面直角坐標系，并設正方形邊長為2a，圓的半徑為r，且 ? 2? ，然后設?(?,?)，?(?, ?) ， ?(-?,?) ， ?(-?,-?)，?(?, -?) ? ? ? ? = (?- ?,?-?)，? = (-? -?,?- ?)，? ? ? ? =(-? -?,-? - ?)，? = (?- ?,-? -?)，? ? ? ? ? = ?2- 2?，? ? ? ? ? ? ? ? = -2?2+ ?2，? ? ? ? ? = ?2- 2?，? ? ? ? ? =?2+ 2?，? ? = -2?2+ ?2，? ? ?

19、 ? ? = ?2+ 2? ? ? ? 2= 2?2+ ?2-2?(?+ ?)，? 2= 2?2+ ?2+ 2?(?- ?)，? ? ? ? 2=2?2+ ?2+ 2?(?+ ?)，? 2= 2?2+ ?2- 2?(?- ?)對于 a，原式 = -4?2+ 2?2(定值 )，故 a結論成立；對于 b，原式 = 4?2(定值 )，故結論b 成立；對于 d，原式 = 8?2+ 4?2(定值 )，故結論 d 成立對于 c，取 ?= 0 時，原式 = 2|?| + 2|?| = 2?2+ (?- ?)2+ 2 ?2+ (?+ ?)2，再取 ?= 45 時，原式 = |?| + |?| + 2|?| =

20、 ? - 2?+ ? + 2?+ 2?2+ 2?2= 2? +2 ?2+ 2?2顯然兩式不相等故c 結論不成立故選： c7.【答案】 c 【知識點】 眾數、中位數、平均數、頻率分布直方圖第 13 頁，共 26 頁【解析】【分析】本題考查利用頻率分布直方圖求平均數、中位數，考查運算求解能力，是基礎題利用頻率分布直方圖分別求出甲地區(qū)和乙地區(qū)用戶滿意度評分的中位數和平均數，由此能求出結果【解答】解：由頻率分布直方圖得：甲地區(qū) 40,60) 的頻率為： (0.015 + 0.020) 10 = 0.35，60,70) 的頻率為 0.025 10 =0.25 ， 甲地區(qū)用戶滿意度評分的中位數?1= 60

21、 +0.5-0.350.2510 = 66，甲地區(qū)的平均數?1= 45 0.015 10 + 55 0.020 10 + 65 0.025 10 +75 0.020 10 + 85 0.010 10 + 95 0.010 10 = 67乙地區(qū) 50,70) 的頻率為： (0.005 + 0.020) 10 = 0.25，70,80) 的頻率為： 0.035 10 =0.35 ， 乙地區(qū)用戶滿意度評分的中位數?2= 70 +0.5-0.250.3510 77.1，乙地區(qū)的平均數?2= 55 0.005 10 + 65 0.020 10 + 75 0.035 10 +85 0.025 10 + 9

22、5 0.015 10 = 77.5?1 ?2，?1 0，求得 1 - 11 ? 0，?=45(2) ? = ? ，cos ?= -cos ?= -?= -45，在 ?中，運用余弦定理可得，18 = 2?2- 2?2?(-45)，解得 ?= 5，?=12?2sin ?=125 35=32，在 ?中，?=45，? = 5，?=?2，第 20 頁，共 26 頁? =3 54，?=12354 5 =158，?=32+158=278選擇條件 2?+?2= 5?，2?+?2= 5?，2?-?2= 5?，由正弦定理可得，2?cos?2= 5?，?0，2?2= 5?= 5 ?2?2?cos?2，cos?2 0

23、，sin?2=55，cos?2=2 55，?= 2?2?cos?2=45(2) ? = ? ，cos ?= -cos ?= -?= -45，在 ?中，運用余弦定理可得，18 = 2?2- 2?2?(-45)，解得 ?= 5，?=12?2sin ?=125 35=32，在 ?中，?=45，? = 5，?=?2，? =3 54，?=12354 5 =158，?=32+158=278【知識點】 解三角形的實際應用、余弦定理、正弦定理第 21 頁，共 26 頁【解析】 選擇條件 3?= 4?(1)根據已知條件， 結合正弦定理， 即可求解 (2)根據已知條件，運用余弦定理，可得?= 5，再結合三角形面積

24、公式，即可求解選擇條件 2?+?2= 5?(1)根據已知條件，運用正弦定理，以及二倍角公式，即可求解 (2) 根據已知條件，運用余弦定理，可得? = 5，再結合三角形面積公式，即可求解本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運用考查了學生對三角函數基礎知識的綜合運用，屬于中檔題18.【答案】 證明： (1) 底面 abcd 是矩形， ?/?， 點 e、f 分別是棱pc 和 pd 的中點， ?/?，?/?，又? ?平面pab，? ?平面pab，?/ 平面 pab(2) ? = ? ，且 f 為 pd 的中點，? ? ，又平面 ? 平面 abcd，平面 ? 平面 ?= ? ，? ? ，? 平面 pad，

25、? ? ，? ? = ? ，pd、? ? 平面 pcd，? 平面 pcd ，? ? 平面 pad， 平面 ? 平面 pcd 【知識點】 線面平行的判定、面面垂直的判定【解析】 (1) 由矩形的性質知?/?，由中位線的性質知?/?，從而有 ?/?，再由線面平行的判定定理，得證；(2) 由平面 ? 平面 abcd，可證 ? 平面 pad，知 ? ? ，而 ? ? ，再結合線面垂直和面面垂直的判定定理，得證本題考查空間中線與面的位置關系，熟練掌握線面平行的判定定理，線面垂直、面面垂直的判定定理或性質定理是解題的關鍵，考查空間立體感、 推理論證能力， 屬于中檔題19.【答案】 解： (1) 由題意得：

26、 3 + ?+ 9 + 15 + 18 + ?= 6018+?3+?+9+15=23，化簡得： ?+ ?= 152?= 3?，解得： ?= 9，?= 6，第 22 頁，共 26 頁故 ? = 0.15，?= 0.1，補全的頻率直方圖如圖示：，(2) 設這 60名網友的網購金額的平均數為x，則 ?-= 0.25 0.05 + 0.75 0.15 + 1.25 0.15 + 1.75 0.25 + 2.25 0.3 + 2.75 0.1 = 1.7( 千元 )，又 0.05 + 0.15 + 0.15 = 0.35，0.150.5= 0.3，故這 60 名網友的網購金額的中位數為：1.5 + 0.

27、3 = 1.8( 千元 )， 平均數 1.7 2，中位數 1.8 2，故根據估算判斷，該網店當日不能被評為“皇冠店”【知識點】 眾數、中位數、平均數、頻率分布表、頻率分布直方圖【解析】 本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，也考查了平均數的計算問題，是常規(guī)題(1) 根據頻數和與頻數的計算問題，求出 x 與 y 的值，再計算 p 與 q 的值；求出小組 (0.5,1與 (2.5,3 的頻率組距，得出對應縱坐標，畫出完整的頻率分布直方圖；(2) 根據頻率分布直方圖，計算平均數和中位數即可20.【答案】 解： (1) ?(?) = -sin(3?2- ?)+ 3sin(?+ ?)?(?) = ?- 3

28、?= - 3?+ ?(?) 的伴隨向量? ? ? ? ? ? = (- 3, 1)；(2) 向量? ? ? ? ? = (1, 3)的伴隨函數為?(?) = ?+ 3?，?(?) = ?+ 3?= 2?(?+?3) =85，sin(?+?3) =45第 23 頁，共 26 頁?(-?3,?6)，? +?3(0,?2) ，cos(?+?3) =35，?= sin(?+?3) -?3 =12sin(?+?3) - 32cos(?+?3) =4 - 3 310(3) 由(1) 知：?(?) = - 3?+ ?= -2?(?-?6)將函數 ?(?) 的圖象 (縱坐標不變 )橫坐標伸長為原來的2 倍，得

29、到函數 ?= -2?(12? -?6) ，再把整個圖象向右平移2?3個單位長得到?(?)的圖象，得到 ?(?) = -2?(12(?-2?3) -?6) = -2?(12? -?2) = 2?12? ，設 ?(?, 2?12?) ，?(-2,3) ，?(2,6)，? ? ? = (?+ 2,2?12?- 3)，? = (?-2,2?12? - 6)又? ? ? ? ，? ? ? ? = 0(?+ 2)(?- 2) + (2?12? -3)(2?12?-6) = 0即 ?2- 4 + 4?212?- 18?12?+ 18 = 0(2?12? -92)2=254- ?2(?)-22?12?2，-1

30、322?12?-92-52，254(2?12?-92)21694，又 254- ?2254， 當且僅當 ?= 0時， (2?12?-92)2和254-?2同時等于254，這時 (?)式成立 在?= ?(?)的圖象上存在點?(0,2)，使得 ? ? ? ? 【知識點】 函數 y=asin( x+) 的圖象與性質【解析】 (1) 根據輔助角公式進行化簡，結合伴隨向量的定義進行求解即可(2) 根據方程，結合兩角和差的正弦公式進行轉化求解即可(3) 根據三角函數的圖象變換關系求出?(?)的解析式，結合向量垂直建立方程關系進行求解本題主要考查三角函數和向量的綜合應用，根據伴隨向量的定義，以及利用輔助角公

31、式，兩角和差的三角公式進行轉化是解決本題的關鍵考查學生的運算能力，綜合性較強，有一定的難度21.【答案】 解： (1) 兩臺空調在質保期的兩年內維修交數超過2 次的概率為：第 24 頁，共 26 頁?= ?211515+ ?2131012+ ?2131015+ ?22(310)2+ ?22(15)2=63100(2) 方案一的維修費用x 的可能取值為0，200，400，600，800，?(? = 0) = 0.2 0.8 + 0.3 0.5 + 0.3 0.2 = 0.37，?(? = 200) = 0.2 0.2 + 0.3 0.3 + 0.3 0.3 + 0.2 0.2 = 0.26，?(

32、? = 400) = 0.3 0.2 + 0.3 0.3 + 0.2 0.3 = 0.21，?(? = 600) = 0.3 0.2 + 0.2 0.3 = 0.12，?(? = 800) = 0.2 0.2 = 0.04，方案一的質保金與維修費用之和的期望值為：300 + 0 0.37 + 200 0.26 + 400 0.21 + 600 0.12 + 800 0.04 = 540 元，方案二的維修費用y的可能取值為0，200，400，600，?(? = 0) = 0.2 1 + 0.3 0.8 + 0.3 0.5 + 0.2 0.2 = 0.63 ，?(? = 200) = 0.3 0.

33、2 + 0.3 0.3 + 0.2 0.3 = 0.21，?(? = 400) = 0.3 0.2 + 0.2 0.3 = 0.12，?(? = 600) = 0.2 0.2 = 0.04，方案二的質保金與維修費用之和的期望值為：400 + 0 0.63 + 200 0.21 + 400 0.12 + 600 0.04 = 514元，故方案二更合算【知識點】 古典概型的計算與應用【解析】 (1) 利用相互獨立事件概率乘法公式能求出兩臺空調在質保期的兩年內維修交數超過 2 次的概率(2) 先分別求出方案一的維修費用期望和方案二的維修費用期望，從而得到方案二更合算本題考查概率、數學期望的運算，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力等數學核心素養(yǎng)，是基礎題22.【答案】 解： ( )延長 ab交直線 cd 于點 m， 點 e 為 ad 的中點， ? = ? =12? ，? = ? =12? ，? = ? ，?/?，即 ?/?， 四邊形 bcde 為平行四邊形，即?/? ? = ?，? ? ，?/? ，第 25 頁，共 26 頁