2020年中考數(shù)學(xué)備考培優(yōu)專題卷：《二次函數(shù)》(解析版)

1、培優(yōu)專題卷：二次函數(shù)選擇題1.卜列拋物線的圖象,開口最大的是（A y42B. y=4x2C. y= 一 2xD.無法確定2.若二次函數(shù) y=ax2- 2ax+c的圖象經(jīng)過點(0, T) , B (一Yi) , C (3, y2), D（赤，y3）,且與x軸沒有交點，則y1,丫2,Y3的大小關(guān)系是（A. yi> y2> y3B. yi>y3>y2C. y2>yi>Y3D. y3>y2>yi3.關(guān)于x的方程x2+2mxnm- 4=0 （m為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根，若y = x2+2mxm與x軸有兩個交點，且交點橫坐標的值介于上述方程的兩根之間，則

2、n的取值范圍是（4.A. n< mB. 4V n< mC. m 4V n< m2D. m 4vnvn2對于每個非零自然數(shù)n, 拋物線 y = x2ntn+1)軸交于A, Bn兩點，以AB表示這兩點之間的距離，則AB+A019艮019的值是（5.A.10081009已知二次函數(shù)B.10092020C.20192020D.y=ax2+bx+c (a>0)經(jīng)過點 M( - 1, 2)和點N (1,2）,則下列說法錯誤的是（A. a+c= 0B.無論a取何值，此二次函數(shù)圖象與 x軸必有兩個交點，且函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度必大于2,y隨x的增大而減小C.當(dāng)函數(shù)在x<D.

3、當(dāng)-1V rk n<0 時，n+n<6.如圖，二次函數(shù) y=ax2-ax+c （a、c都是常數(shù)且aw0）的圖象，如果x=m時，y<0,那么x=m- 1時，函數(shù)值（0A. y=cB. yvcC.y >cD. 0Vyc7.長方形的長為10cm寬為6cm它的各邊都減少xcm得到的新長方形的周長為ycmi則y與x之間的關(guān)系式是(A. y=32- 4x (0vxv6)B.y=32 4x (0<x<6)C. y= (10 x) (6x) (0vxv6)D.y = (10x) (6x) ( 0wxW6)8.在平面直角坐標系中，拋物線 y= (x-5)(x+3)經(jīng)平移變換后

4、得到拋物線y= (x-3)(x+5),則這個變換可以是(A.向左平移2個單位長度B.向右平移2個單位長度C.向左平移8個單位長度D.向右平移8個單位長度9 .某廣場有一個小型噴泉，水流從垂直于地面的水管OA噴出，OA長為1.5 mi水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落到地面上，某方向上拋物線路徑的形狀如圖所示，落點B到O的距離為3m建立平面直角坐標系，水流噴出的高度y (所)與水平距離x (M之間近似滿足函數(shù)關(guān)系 y= ax2+x+c (aw。)，則水流噴出的最大高度為()10 .對于二次函數(shù) y=ax2+bx+c,令f (x) = ax2+bx+c,則f (x。)表示當(dāng)自變量 x=x。時

5、的函數(shù)值.若 f (5) = f (-3),且 f (- 2007) = 2009,則 f (2009)=()A. 2007B, 2007C. - 2009D. 200911 .二次函數(shù)y = ax2+bx+c (aw0)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：其中正確的有() a+c>b； 4ac< b2; 2a+b> 0.C.D.12 .如圖，拋物線y產(chǎn)ax2+bx+c (aw0)的頂點坐標 A(- 1, 3),與x軸的一個交點 B(-4, 0),直線y2=m)+n (m產(chǎn)0)與拋物線交于 A B兩點，下列結(jié)論： 2a-b=0；拋 物線與x軸的另一個交點坐標是(2, 0)；7a+c&g

6、t;0;方程ax2+bx+c-2 = 0有兩個 不相等的實數(shù)根；當(dāng)-4<x< - 1時，則y2yj其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A. 2B. 3C. 4D. 5二.填空題13 .已知a<0,當(dāng)1wxw3時，函數(shù)y=2x2- 3ax+4的最小值為12,則a=.14 .在直角坐標系 xOy中，已知二次函數(shù) y = - x2- 2 (m-1) x+3- m2的圖象不經(jīng)過第二象 限，則m的取值范圍是.15 .若某拋物線的函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c,已知a, b為正整數(shù)，c為整數(shù)，b>2a,且當(dāng)-1wxw1時，有-4wyw2成立，則拋物線的函數(shù)解析式為 .16 .已知拋物線y=3

7、ax2+2bx+c,若a= b= 1,且當(dāng)-1vx<1時，拋物線與x軸有且另有一 個公共點，則c的取值范圍為 .17 .如圖，平面直角坐標系中，點 A在y軸的負半軸上，點 B, C在x軸上，OA= 8, AB= AC = 10,點D在AB上，CDW y軸交于點E,且?t足SJacof Saad5則過點B, C, E的拋物線 的函數(shù)解析式為.三.解答題18 .已知二次函數(shù) y= ax2+bx+c (aw。).(1)若二次函數(shù)圖象與直線 y= 3交點的橫坐標為1和5,且與直線y=1只有一個交點, 求函數(shù)表達式；(2)若對一切-1wxw1, - 1<y<1且y = ax+b (a&

8、gt;0)最大值為2,求二次函數(shù)的表 達式.19 .已知二次函數(shù) y= ax2+bx+c,當(dāng)x= - 2或4時y= - 16,且函數(shù)的最大值為 2.(1)求二次函數(shù)的解析式.(2)討論tWxWt+1時，|y|的最小值.20 .某商店將進貨價為每個 10元的商品，按每個16元售出時，每天賣出 60個.商店經(jīng)理到市場做了一番調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，若將這種商品售價(在每個16元的基礎(chǔ)上)每提高 1元,則日銷售量就減少 5個；若將這種商品售價(在每個 16元的基礎(chǔ)上)每降低 1元，則日銷售量就增加10個.為獲得每日最大利潤，此種商品售價應(yīng)定為每個多少元？21 .如圖，已知直線 AB過x軸上一點 A (2, 0)

9、且與拋物線 y = ax2相交于B (1,兩點.(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)問拋物線上是否存在一點D,使 SoatSaobc?若存在，t#求出點 D的坐標，若不存在，請說明理由.22 .對于平面中給定的一個圖形及一點P,若圖形上存在兩個點 A B,使彳PAB是邊長為2的等邊三角形，則稱點 P是該圖形的一個“美好點”.(1)若將x軸記作直線l ,下列函數(shù)的圖象上存在直線l的“美好點”的是 (只填選項).A正比仞函數(shù)y=xB.反比仞函數(shù)y= C.二次函數(shù)y = x2+2(2)在平面直角坐標系 xOy中，若點M(J&n, 0) , N (0, n),其中n>0,。的半 徑為r

10、.若r = 2再，。上恰好存在2個直線MN勺“美好點: 求 n的取值范圍；若n=4,線段MN上存在。O的“美好點”，直接寫出 r的取值范圍.23.如圖，已知拋物線 y=x2+bx+c經(jīng)過原點Q它的對稱軸為直線 x = 2.動點P從拋物線的頂點A出發(fā)，在對稱軸上以每秒 1個單位的速度向上運動，設(shè)動點 P運動的時間為t 秒.連結(jié)O川延長交拋物線于點 B,連結(jié)AO AB(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)A, Q B三點構(gòu)成以O(shè)B為斜邊的直角三角形時，求 t的值；(3)請你探究：當(dāng)4WtW5時，在點P運動過程中， AOB勺外接圓圓心 M所經(jīng)過的路 線長度是 (請在橫線上直接寫出答案即可).24.拋物

11、線y= - x2+bx+c與x軸交于A, B兩點(點 A在B左邊)，與y軸交于點 C(1)如圖 1,已知 A( 1, 0) , B (3, 0)直接寫出拋物線的解析式;點H在x軸上，D (1, 0),連接 AC DC HC若CD平分/ ACH求點H的坐標；(2)如圖2,直線y= - 1與拋物線y=- x2+bx+c交于點D,點E, D關(guān)于x軸對稱.若點D在拋物線對稱軸的右側(cè)，求證：DB!AE;若點D在拋物線對稱軸的左側(cè)，請直接判斷，BD是否垂直AB參考答案選擇題1.解：,二次函數(shù)中|a|的值越小，函數(shù)圖象的開口越大，又,|!|I - 2| <|4| ,.拋物線y=r2的圖象開口最大，4故

12、選：A.2.解：:拋物線過 A (0, - 1),而拋物線與 x軸沒有交點，拋物線開口向下，即 av 0,拋物線的對稱軸為直線 x=- 卓:1,2aL而B點到直線x=1的距離最大，D點到直線x=1的距離最小,y1y2V y3.故選：D.3.解：= y= x2+2im+n與x軸有兩個交點,. = 4nm - 4n > 0 ,且兩交點的橫坐標解方程x2+2mx+m- 4 = 0 (m為常數(shù))得,-2加一;/4儲一如+10打一 2="nr/ m2-m'+4-2ni-V4ni_C7-勺=5= -m-Vm -n4舒-如"6 _ _ K "H 4 -2二 f+V

13、 m -m+ 4,若y=x2+2m)+n與x軸有兩個交點，且交點橫坐標的值介于上述方程的兩根之間,fNK_1n_nrVm2-n，fTm2-口<_m+Vrn*7-m+4m 4V n,綜上，m- 4< n< m2.故選：D.4.解：將n=2, 3, 4分別代入拋物線2n+l 1 J 陽 tix一2y= x 一2y= x 一x+ 12 122y= x 一91x+20 20分別解得：xi = ±A2019Eb019=2oW_2oW.1 1.1 UJI 1. . 11. 他+朦19民。19=亍-豆和丁沱 石+沃西-耐1 1 _1009|惚。|5.故選：B.解：.函數(shù)經(jīng)過點 M

14、(- 1, 2)和點N (1, - 2), abc=2, a+b+c= 2,l- a+c= 0, b= 2,.A正確;c= - a, b= 2,y = ax2 - 2x - a,2 4+4a >0,x1+x2=，無論a為何值，函數(shù)圖象與 x軸必有兩個交點,*涇=1, . | Xi X2I>2.B正確；二次函數(shù)y= ax2+bx+c (a>0)的對稱軸x=-2a a當(dāng)a>0時，不能判定xv今時，y隨x的增大而減?。?C錯誤；,一 1Vm< n< 0, a>0,2m+n< 0, >0a"魯.D正確,故選：C.6.解：二.拋物線的對稱軸

15、 x= - 4=-, 2a 2，根據(jù)函數(shù)圖象可知，0<芯天彳< 1. x = mB4, y<0,x1V m< x2,-1Vm- 1 v 0,.x = 0時，y=c,根據(jù)圖象可知：當(dāng)xv1時，y隨x的增大而減小， . x= m- 1時，函數(shù)值y>c,故選：C.7 .解：長方形的長為10cm寬為6cm,它的各邊都減少 xcm,得到的新長方形的周長為ycm,，y 與 x 之間的關(guān)系式是： y=2 (10-x) + (6-x) =32-4x (0<x<6) 故選：B.8 .解：.拋物線 y= (x-5) (x+3),.,.當(dāng) y=0 時，x=5 或-3,，此拋

16、物線與坐標軸一定相交于(5, 0)和(-3, 0),，其對稱軸為：直線 x=1:拋物線 y= (x-3) (x+5),.,.當(dāng) y=0 時，x= 5 或 3,，此拋物線與坐標軸一定相交于(-5, 0)和(3, 0),其對稱軸為：直線 x= - 1,，拋物線y= (x-5) (x+3)經(jīng)平移變換后得到拋物線 y= (x-3) (x+5),則這個變換可以是向左平移 2個單位長度.故選：A.9 .解：由題意可得，拋物線經(jīng)過點(0, 1.5)和(3,0),把上述兩個點坐標代入二次函數(shù)表達式得:二函數(shù)表達式為:y=一3+x=- 7T (x T) 2+2,. a<0,故函數(shù)有最大值,當(dāng)x= 1時，y

17、取得最大值，此時 y=2,答：水流噴出的最大高度為 2米.故選：C.10 .解： f (5) = f ( - 3),，函數(shù)的對稱軸為 x=1,.f (- 2007) =f (2009),. f (- 2007) = 2009,.f (2009) = 2009,故選：D.11 .解：由圖象知，當(dāng) x= - 1時，y=a b+c< 0,即a+cb,故錯誤;.拋物線與x軸有2個交點，b2- 4ac>0,即 4acv b2,故正確；. 拋物線的對稱軸 x=-> 1,且 av 0,，-bv2a,即2a+b>0,故正確.故選：B.12.解：由拋物線對稱軸知，x=-A12a- b=

18、0,則此小題結(jié)論正確;設(shè)拋物線與X軸的另一個交點坐標是（m 0）,根據(jù)題意得,1. m= 2,則此小題結(jié)論正確;把（2, 0）代入 y=ax2+bx+c 得，4a+2b+c=0,b= 2a,4a+2x 2a+c = 0,1- 8a+c= 0,1- 7a+c= - a>0,則此小題結(jié)論正確；由函數(shù)圖象可知，直線 y=2與拋物線y = ax2+bx+c有兩個交點， ax2+bx+c= 2有兩個不相等的實數(shù)根，即ax2+bx+c-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，則此小題結(jié)論正確；由函數(shù)圖象可知，當(dāng)-4<x<- 1時，拋物線在直線上方，于是y2yi.則此小題結(jié)論正確.故選：D.二.填空題

19、（共5小題）13 .解：函數(shù)的對稱軸為 x=上？，4 - av 0, 當(dāng)1wxw3時，函數(shù)的最小值為 2-3a+4, -6- 3a= 12,故答案為-2.14 .解：y= - x2- 2 (nrr 1) x+3- m,二函數(shù)開口向下，圖象不經(jīng)過第二象限，對稱軸 x= 1 - rr> 0,me 1,當(dāng) x = 0 時，y = 3 - rn< 0,吟巧或me - 3，故答案為me -15 .解：拋物線y=ax?+bx+c中，a, b為正整數(shù)，c為整數(shù)，b>2a,拋物線開口向上，對稱軸直線x<- 1,當(dāng)10X01 時，有-4Wy02 成立，當(dāng) x= 1 時 y= - 4, x

20、=1 時 y= 2,f a_b+c=_4®I1 /+b+c=2 -得2b=6,b= 3,1. a, b為正整數(shù),b>2a, a= 1,1+3+c= 2,解得 c= - 2,拋物線的函數(shù)解析式為 y=x2+3x-2,故答案為y=x2+3x-2.16.解：a= b= 1,.二解析式為 y= 3x2+2x+c.,對稱軸 x= - "Z", 當(dāng)-1 v XV 1時，拋物線與X軸有且只有一個公共點，則此公共點一定是頂點， = 4 - 12c = 0,一個交點的橫坐標小于等于-1,另一交點的橫坐標小于1而大于-1,3 - 2+c< 0, 3+2+0 0,5<

21、C< - 1 ,1 .A (0, 8)解得-5 V c& i 1.綜上所述，c的取值范圍是：故答案為c=或-5VCW-317.解： OA= 8, AEB= AC= 10,B (6, 0) , C ( 6,0),設(shè)點 D (m n), S»A COE= S»A ADE SA co+S 四邊形oedB= Sa ad+S 四邊形OEDB一SacdB= SaaobyBC?|n| =-AC?BC) X12 (- n) =y X8X6,解得n= - 4,設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,把 A (0, - 8) , B (6, 0),代入，得4b= - 8, k =,4 直

22、線AB解析式為y=-x-4,當(dāng) y = - 4 時，x= 3, D (3, - 4),.點D是AB的中點， 點O是BC的中點，.CD AO分別是 ABC勺中線， 點E為 ABC勺重心，.點E的坐標為：(0, - "1),(也可由直線 CD交y軸于點E來求得.)設(shè)經(jīng)過B、C E三點的二次函數(shù)的解析式為：y=ax2-援，I 2把B (6, 0)代入，得a=,Ej I 過點B, C, E的拋物線的函數(shù)解析式為： y=-x2-4.273故答案為：y=-x2-1. g r O,三.解答題(共7小題)18.解：(1) ;二次函數(shù)y=ax?+bx+c與直線y=3交點的橫坐標為1和5；它們的交點坐標

23、為(1, 3)和(5, 3);與直線y= 1只有一個交點，直線y=1與拋物線頂點相切，頂點縱坐標為 1,25a+5b+c=3,.,24ac- b , =1解得 a=卷，b= - 3, c=-.1 211二.二次函數(shù)表達式為 y =-x2- 3x4 ； L-j'(2)由a>0知，丫2隨x的增大而增大，/. a+b= 2,當(dāng) x = 0、1 時，c< 1, - 1 w a+b+cw 1,故( a+b+c) 2w 1,1- c= - 1,x = 0時，yi = - 1是函數(shù)y1在-1 w x< 1上的最小值，x = 0是y1的對稱軸，b= 0,a= 2,二次函數(shù)的表達式為

24、y= 2x2 - 1.19.解：(1) .,當(dāng)x= - 2或4時y=- 16,且函數(shù)的最大值為 2.，對稱軸為直線x=?不=胡，頂點為(1,2),設(shè) y = a (x- 1) 2+2,把(-2, - 16)代入得-16=9a+2,解得a= - 2,y = - 2 ( x- 1) 2+2,，二次函數(shù)的解析式為y= - 2x2+4x;(2) -. y=- 2x (x-2),，函數(shù)的圖象與x軸的交點為(0, 0) , ( 2, 0),當(dāng)t+1w 1即t W0時，|y|的最小值為0,當(dāng)t >1即t+1>2時，|y|的最小值為0,當(dāng)0Vt W時，| y|的最小值為-2t 2+4t,當(dāng)二Vt&

25、lt;1 時，|y| 的最小值為-2 (t+1) 2+4 (t+1)；20 .解：設(shè)每個商品的售價定為x元時，每天所獲得的利潤為w,當(dāng) 10wxw 16 時，w= (x- 10) ?60+ (16-x) x 10=-10x 2+320x-2200,=-10 (x- 16) 2+360,則x= 16時最大利潤 w= 360.當(dāng) x>16 時，w= ( x10) ?60 (x - 16) x 5=-5 (x 19) 2+405,則x= 19時最大利潤w= 405,綜上可得當(dāng)售價定為每個19元時，獲得的最大利潤為405元.21 .解：(1)將 B (1, 1)代入 y=ax2相得：1 = ax

26、 1，拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y = - x2；(2)設(shè)直線AB解析式為：y= kx+b過點 A (2,0)、B (1, 一 1)2k+b=0 k+b=-l解得k=lb=-2，直線AB的解析式為：y= x-2直線AB與拋物線交于B、C兩點y=x-2由】。得:B (1, - 1) , C(- 2, -4)(y=-i由圖形可知：S>a obC= Sa oaL Sa oa四/ X| - 4|X2二 X| - 1|X2=3假設(shè)拋物線上存在一點D,使SA OAD= SA OBC)可設(shè) D (t , - t2)Saoad= _X 2 X t 2= t 2.t2= 31- t =心或 t = - V5

27、存在符合題意的點 D,其坐標為（V3, - 3）或（-JW, - 3） 22.解：（1）=“軸是圖形I, PA盟邊長為2的等邊三角形,，P點縱坐標為土色,色）是x軸的“美好點”，噂, Vs）或（-y=x上存在點（近，也）或（-也，-J&）是x軸的“美好點”，存在點（y=x2+2中y的最小是2,y = x2+2上不存在x軸的“美好點”，故選A B;(2). M(Uln, 0) , N (0,n), n>0,，/ MN© 60 , MN= 2n, ABCWAABD邊長為2的等邊三角形,. AC/ BD/ y 軸,設(shè)直線NM勺解析式為y = kx+b,b=n則有京+d,設(shè)過C

28、點與MNf行的直線為y=-學(xué)+c,過D點與MN¥行的直線為當(dāng)直線y=-YS+c與圓O相切時，c=4,3n= 4+2= 6,此時。O上恰好存在1個直線MNB勺“美好點”，當(dāng)y=-W1+d與圓O相切時，d=4,3此時y=-返+c經(jīng)過點O,即c= 0,3此時。O上恰好存在3個直線MNB勺“美好點”，- 0<n< 4時，。上恰好存在2個直線MNB勺“美好點”；如圖： ABCWABD邊長為2的等邊三角形，.C點在以O(shè)為圓心 OC為半徑的圓上， D點在以O(shè)為圓心 0必半徑的圓上,- n = 4, M (4百，0) , N (0, 4),/ ONM 60 ,當(dāng)MNW D點所在圓相切時，

29、OD= r = 2也，此時線段吊、1:存在。O的“美好點”，當(dāng) OC= OM寸，OC= r = 4、/5,此時線段吊、1:存在。O的“美好點”，2、.巧& r<4b時，線段MN±存在O。的“美好點”.23.解：(1)二,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過原點O,且對稱軸是直線 x=2, c b c .c=0, 72,貝U b= - 4、c= 0,，拋物線解析式為y=x2- 4x;(2)設(shè)點 B (a, a2-4a),y = x2 - 4x= ( x - 2) 2-4,，點 A (2, - 4), OB為斜邊oB= oA+A氏貝U a2+ (a2 4a) 2= 20+ (a2)

30、 2+ (a24a+4) 2,解得a=2 (舍)或a=y,B8'-制),則直線OB解析式為y=-x,當(dāng) x = 2 時，y= - 3,即 P (2, - 3),t = ( 3+4) +1 = 1;(3) 當(dāng)點P運動時， AOB勺外接圓圓心 M在線段OA勺垂直平分線上運動,點M所經(jīng)過的路線是一條線段,當(dāng)t=4時，點P運動到(2, 0),此時點M是OA的垂直平分線和直線 x=2的交點,點 A (2, - 4),點 O (0, 0)，直線AO解析式為：y= - 2x,11 cl，OAW垂直平分線白解析式為 y=yx-L， 當(dāng) x=2, y=-三，點 M (2, -1),當(dāng)t =5時，點P運動到P (2, 1), P (2, 1),點 A (2, - 4),點 O (0, 0) AP=5, OA= 2/5, O(p=|V5，. AP 2= 25=OA+OP2,OP LOA直線op的解析式為：y=-j-x, 此時 ABO的外接圓的圓心 M是AB的中點，7，點 M ( -)一1MM = J(2-)2+W)2 =等, 故答案為琴.24.解：(1)把 A ( 1, 0) , B (3, 0)代入 y=-x2+bx+c,得f-l-b +