小波理論基礎(chǔ)上的NVH分析與計算

1、基于哈爾小波的降低汽車發(fā)動機(jī)體振動的最優(yōu)控制摘要：本文運(yùn)用哈爾小波討論了發(fā)動機(jī)體系統(tǒng)振動的建模和彈跳俯仰振動的最優(yōu)控制。作者重點集中在基于哈爾小波的降低發(fā)動機(jī)體系統(tǒng)振動計算的發(fā)展上，保證獲得理想的L2增益性能。引入了哈爾小波的性能，并利用它近似找到降低振動的規(guī)律和最優(yōu)控制，只需求解代數(shù)方程而不用求解Riccati微分方程。數(shù)值結(jié)果用來說明該方法的優(yōu)勢。關(guān)鍵字：哈爾小波 發(fā)動機(jī)體系統(tǒng) H 控制 減振 1.引言近年來，汽車的噪聲和振動變得越來越重要22,25,31,32,37。發(fā)動機(jī)產(chǎn)生的振動通過動力總成裝置傳遞給底盤成為一大問題(見圖1，2)。發(fā)動機(jī)和動力總成裝置通常以隔離發(fā)動機(jī)和底盤、限制發(fā)動

2、機(jī)運(yùn)動為設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)。發(fā)動機(jī)裝置是一個有效的被動方法來隔離發(fā)動機(jī)振動傳到底盤的機(jī)構(gòu)。然而，用于隔離的被動方法只在高頻率范圍內(nèi)有效?？墒牵l(fā)動機(jī)產(chǎn)生的振動干擾主要發(fā)生在低頻率范圍8,21,25,32。這些振動是由于汽缸內(nèi)燃油爆燃和發(fā)動機(jī)不同部件的旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的（如圖3）。為了衰減發(fā)動機(jī)的低頻振動，同時保證空間和數(shù)值不變，主動減振方法是必須的。 有很多控制技術(shù)，諸如比例積分導(dǎo)數(shù)（PID）或滯后補(bǔ)償、線性二次高斯（LQG）、H2、H、u-綜合前饋控制等，已經(jīng)被應(yīng)用于振動控制系統(tǒng)1，3，4，10，11，15，26，28，33，34，36，37。前饋控制的主要特征是：關(guān)于干擾源的信息是可利用的，通常通過過濾x-

3、最小平方差FX-LMS算法來實現(xiàn)。可是，在反饋控制中，干擾源是假定未知的，于是存在多種不同的反饋控制方案來衰減未知煩擾，從經(jīng)典方法到先進(jìn)方法。近來，通過H反饋控制得到的性能結(jié)果和通過用FX-LMS算法的前饋控制器得到的結(jié)果相比較，在32，37汽車發(fā)動機(jī)體振動系統(tǒng)。通過比較發(fā)現(xiàn)，反饋控制器實現(xiàn)了干擾衰減，然而，相比于運(yùn)用FX-LMS算法的前饋控制器，反饋控制器性能要差些。另一方面，F(xiàn)X-LMS算法比較復(fù)雜，包含許多參數(shù)用來穩(wěn)定同步?？墒牵顑?yōu)控制設(shè)計還沒有在汽車發(fā)動機(jī)體振動系統(tǒng)中完全研究，仍是重要和富有挑戰(zhàn)性的。 另一方面，小波理論相對較新，在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中是一個新興領(lǐng)域2。它被廣泛應(yīng)用于各種工

4、程學(xué)科，諸如信號處理、模式識別和計算圖形。近來，也有些試圖用于解決表面積分方程，改進(jìn)有限微分方法，求解線性微分方程和非線性偏微分方程以及建模非線性半導(dǎo)體方程5-7，13，16-18，23，29.最近，正在研究用于識別控制非線性動力學(xué)系統(tǒng)的小波網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用19。圖1 汽車發(fā)動機(jī)及機(jī)體振動系統(tǒng)圖2 奧迪A8的前橋，摘自24,32圖3 由發(fā)動機(jī)產(chǎn)生的振動傳遞給底盤 正交函數(shù)，像哈爾小波13,16，Walsh方程7,block pulse方程29，Laguerre多項式14，legendry多項式5，Chebysher方程12和傅立葉級數(shù)30，通常用來代表任意時間方程，在處理各種動力學(xué)系統(tǒng)中，已經(jīng)獲得人

5、們相當(dāng)?shù)年P(guān)注。這些技術(shù)的主要特征是將這些問題簡化為求解系統(tǒng)的代數(shù)方程，用微分方程描述求解問題，諸如分析線性時不變系統(tǒng)16,27，奇異攝動系統(tǒng)17，二階系統(tǒng)18，時變系統(tǒng)20,23，模型降階，優(yōu)化控制16-18,20和系統(tǒng)辨識13,16。因此，求解識別和優(yōu)化過程大大降低或簡化很多。這些可利用的正交函數(shù)可以分為3類：分段基礎(chǔ)函數(shù)，legendry諸如哈爾小波、Walsh方程和black pulse方程，正交多項式，諸如，Laguerre、legendry、hebysher和傅立葉級數(shù)23中的正余弦函數(shù)。 在這方面，我們第一次引入基于哈爾小波的用于有限最優(yōu)控制解決汽車發(fā)動機(jī)體振動系統(tǒng)問題的計算求解。

6、發(fā)動機(jī)體振動結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)為：用于研究最優(yōu)控制的作動器和傳感器被選配。此外，哈爾小波的性質(zhì)、哈爾小波積分和 product operational 矩陣被給予并應(yīng)用提供一個系統(tǒng)計算框架。汽車發(fā)動機(jī)體振動系統(tǒng)的最優(yōu)trajectory?和有限時間最優(yōu)控制可以大概通過H性能獲得，H性能通過求解線性代數(shù)方程而不是求解微分方程求得。一個最主要的優(yōu)點是：求解線性代數(shù)方程替代求解非線性微分Riccati方程，來優(yōu)化汽車發(fā)動機(jī)體振動系統(tǒng)的控制問題。另一個優(yōu)點是在現(xiàn)實應(yīng)用中基于哈爾小波的優(yōu)化控制可以簡單完成。我們通過模擬結(jié)果演示這項技術(shù)的應(yīng)用。 本文章的結(jié)果安排如下：第二部分引入哈爾小波的性質(zhì)，第三部分陳

7、述了發(fā)動機(jī)體振動結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，第四部分給出了發(fā)動機(jī)體系統(tǒng)的代數(shù)解，第五部分描述了基于哈爾小波的最優(yōu)方法和最優(yōu)控制。發(fā)動機(jī)體振動系統(tǒng)的最優(yōu)控制的模擬結(jié)果在第六部分表示出來，最后討論結(jié)果。 貫穿全文的批注都是相當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)的，矩陣Ir ，Or和Or*s是一致的，以及分別用r*r,r*r,r*s表示零矩陣。符號和<>分別表示Kronecker乘積和內(nèi)積.同樣，tr(A)、vec(x)分別表示矩陣A的TRACE和通過將矩陣M排成一列獲得的向量。最后，所給的符號x(t), _x(t)_2表示x(t)的L2平均數(shù)等等，_x(t)_22= _0 x(t)Tx(t)dt？、.2.哈爾小波的性質(zhì)最古老、

8、最基本的小波系統(tǒng)命名為哈爾小波，它是一組方波，這些方波大小為±1，在0，1區(qū)間6內(nèi)。換句話說，哈爾小波是定義在區(qū)間0, 1) i (t) = 1(2 j t k) 當(dāng) i 1時0(t) and 1(t)我們將i寫成i = 2 j + k對于 j 0 and 0 k < 2 j .可以輕易看出0(t)和 1(t) 緊緊支持。它們由相對應(yīng)的功能，在不同尺度j時給予局部 描述。在接下來，我們引入哈爾小波的性質(zhì)，它會應(yīng)用于下面的部分。 2.1函數(shù)逼近 用在區(qū)間為0, 1) 的哈爾函數(shù)0(t),1(t), . . . , m1(t) 術(shù)語表示的任何平方可積函數(shù)y(t)的有限次逼近值，用y

9、(t)表述可如下給出：其中a := a0a1 · · · am1 _m(t) := 0(t)1(t) · · ·m1(t)T m = 2 j以及哈爾系數(shù)ai，它們可以確定最小化平方積分錯率記錄1. 逼近差值_y(m) := y (t) y (t)由m 決定，增加解析參數(shù)m可以使之趨近于0.矩陣Hm定義為 其中i/m ti < i + 1/m.。運(yùn)用等式（2）我們可以得到 向量M的積分可由下式逼近得到： 矩陣表示在區(qū)間0, 1)，系數(shù)m表示分段常量基本功能的積分乘法矩陣。對于哈爾小波，平方矩陣Pm滿足下面的回歸方程13 由（4）定

10、義的矩陣Hm及向量r同樣可由下式表示其中m>2.例如，j=3時，矩陣H8和P8可分別表示為更多信息見13，27。2.2 The product operational matrix?乘積操作矩陣？估計兩個哈爾函數(shù)向量13,20的乘積通常是必要的?，F(xiàn)定義Rm(t)滿足如下回歸方程有和 更多的，我們需要如下性質(zhì)來簡化The product operational matrix其中a1=a0圖4 發(fā)動機(jī)體振動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖5 由在參數(shù)j=5時哈爾小波和解析解得到的底盤振動比較3 發(fā)動機(jī)體系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型對于控制設(shè)計來說，一個發(fā)動機(jī)體系統(tǒng)的模型是必須的。通過37，可以擴(kuò)展出一個數(shù)學(xué)模型來模擬此系統(tǒng)。圖

11、4表示一個圖解形式的發(fā)動機(jī)體振動系統(tǒng)，用于這一控制系統(tǒng)的作動器和傳感器選定被配置。對于一個有輕微阻尼的結(jié)構(gòu)，這是一種理想的布置，來保證這一閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性28。此外，該控制器可檢測單頻率信號，在某一特定頻率可用來模擬發(fā)動機(jī)干擾。 在我們的研究中，只考慮發(fā)動機(jī)和機(jī)體的彈跳俯仰振動。質(zhì)量為Me、轉(zhuǎn)動慣量為Ie的發(fā)動機(jī)，通過彈簧剛度為ke阻尼為ce懸置安裝在機(jī)體上。前裝置為主動裝置，可以通過電信號控制力的輸出。主動裝置包括一個主缸，它的慣性質(zhì)量上下變動，這個慣性質(zhì)量由電磁力驅(qū)動，電磁力通過磁圈產(chǎn)生，由輸入電流控制。 質(zhì)量為Mb轉(zhuǎn)動慣量為Ib的汽車車體由前后輪胎支撐，每一個部分作為一個包含彈簧剛度為k

12、b阻尼為cb的系統(tǒng)。這樣，一個四自由度的振動懸架模型如圖4，可以用如下等式描述： x1(t), x2(t), x3(t) and x4(t)分別表示發(fā)動機(jī)及機(jī)體的彈跳和俯仰狀態(tài)。通常x2(t)作為輸出。輸入力f(t)用來當(dāng)作主動力補(bǔ)償振動傳遞給汽車車體（或底盤）。更多的，由內(nèi)部不同部件上下運(yùn)動產(chǎn)生的發(fā)動機(jī)干擾de(t)能被激發(fā)。 系統(tǒng)（14）可以由下面的狀態(tài)空間形式表示：其中，x(t) R4表示狀態(tài)，f (t) R是控制輸入。de(t) R是干擾輸入，它屬于L20,), z(t) R3是控制輸出，C1 R1*4, C2 R1*4,C3為主動標(biāo)尺。狀態(tài)空間矩陣也可定義為本文中，必須滿足下列條件，

13、優(yōu)化反饋控制器才能計算出：1. 閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。2. 在零初始條件下，閉環(huán)系統(tǒng)滿足_ z(t)_2 < _ de(t)_2。對于任何非零de(t) 0,),r>0可精確標(biāo)定。4 系統(tǒng)方程的代數(shù)解在這一部分，我們研究發(fā)動機(jī)體系統(tǒng)的二階微分方程的求解問題，運(yùn)用哈爾小波和擴(kuò)展適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)方程進(jìn)行內(nèi)部控制和外部干擾。 在區(qū)間為0，1的哈爾小波定義基礎(chǔ)上，我們通過考慮t = Tf來重新調(diào)節(jié)有限時間區(qū)間0, Tf )到0, 1)，用時間范圍來標(biāo)準(zhǔn)化系統(tǒng)如下： 在區(qū)間0, 對系統(tǒng)積分可得 為了避免小波的差別，我們再一次在區(qū)間0, )內(nèi)對（17）積分如下 運(yùn)用擴(kuò)展的哈爾小波，我們可以表示方程（

14、15）的解，輸入力f ( )和發(fā)動機(jī)干擾de( )用哈爾小波表示為 其中X R4*m ,F R1*m ,De R1*m分別代表x ( ), f ( )和 de( )的系數(shù)。x(0) and x (0)的初始條件可分別由x(0) = X0 _m( ) 和x (0) = X0 _m( ),矩陣X0, X0 R4*m分別被定義為這樣，通過擴(kuò)展小波，關(guān)系式（18）變?yōu)?而且，通過方程（6）中的小波積分operational矩陣Pm，我們可以這樣重新寫方程（24）為等價的，我們有為了計算矩陣X，我們在方程（26）中運(yùn)用操作向量（.）。根據(jù)Kronecker 乘積的性質(zhì)vec (ABC) = (CT A)

15、 vec (B),我們有求解方程（27），導(dǎo)入向量（X） 其中矩陣1，2R4m*m,3,4R4m*4m這樣定義 于是，運(yùn)用（28）（29）和Kronecker乘積的性質(zhì)，系統(tǒng)（15）的解可近似求解為 我們也可以清楚的找出系統(tǒng)的逼近解，我們只要反向通過4m*4m求解矩陣Tf (PTm C) + T2f(P2Tm K) + Im M一次即可。5 基于哈爾小波最優(yōu)控制設(shè)計控制的目標(biāo)是運(yùn)用H性能找到逼近的最優(yōu)控制f(t),這樣f(t)可當(dāng)作主動力來補(bǔ)償傳給車身（或底盤）的振動，保證 預(yù)期的L2。接下來，我們將在零初始條件下建立系統(tǒng)（15）的H性能。最后，我們引入眾所周知，對于每一個de(t) L20,

16、 )來說，不等式J<0對達(dá)到干擾衰減35,38是一個充分條件。因此，我們將根據(jù) 建立條件。 根據(jù)（15），方程（31）可表示為 其中S = diag (S1, S2) and C = diag (CT1 C1, CT2 C2).用時間范圍t = Tf標(biāo)準(zhǔn)化（33）有運(yùn)用方程（19）和關(guān)系式x( ) = X _m( ),，其中XR4*m代表哈爾小波基本方程擴(kuò)展后的x( )的小波系數(shù)，我們有和 而且，根據(jù)18的記錄2，在vec (X) 和vec (X )中滿足下面的關(guān)系 通過運(yùn)用（34）方程的限定（35）和根據(jù)擴(kuò)展小波（19）-（21），我們有上面的cost方程也可以寫成其中，矩陣Mm, M

17、mf Rm*m分別定義為 記錄2 根據(jù)哈爾小波的性質(zhì)和2.2部分哈爾小波乘積操作矩陣，矩陣Mm可由下面回歸方程計算 ，其中M1(t) = 1，其中ei = 01×(i1), 1, 01×(mi ) for i = 1, 2, . . . , m.利用Kronecker 乘積的性質(zhì)tr(ABC) = vecT(AT) (I B) vec(C),我們可以將（39）式寫成根據(jù)vec (ABC) = (CT A) vec (B)的性質(zhì),我們發(fā)現(xiàn)然后，由性質(zhì)(A C) (D B) = A D C B,我們得到或其中矩陣m1 R8m*8m和m1 Rm*m分別定義為m1 = Mmf S

18、+ Tf (Mm C)m2 = Tf Mm。既然cost函數(shù)（43）是一個向量（De）的函數(shù)，為了找到最壞情況的干擾來最小化J，我們要 滿足下面的必要條件方程（43）中最壞情況的干擾 將（45）帶入方程（43），我們得到 類似的，方程（46）的右邊變成一個vec(F)的函數(shù)，然后通過最小化方程（46）求vec(F)，在次優(yōu)控制和次優(yōu)狀態(tài)軌跡系數(shù)間的代數(shù)關(guān)系可獲得如下 于是我們有所以，如果對于矩陣不等式存在主動范圍,那么不等式（32）是可推出的。 從關(guān)系式（28）（29）（36）（47），我們在一些矩陣計算F0得到vec(X)和vec(F)的次優(yōu)向量 最后，基于哈爾小波的次優(yōu)軌道？和次優(yōu)控制可分

19、別由方程（30）和f (t) = _Tm(t)vec (F)逼近得到。 記錄3 值得注意的是，在上面的關(guān)系式中，參數(shù)r和次優(yōu)H?？刂破飨噙m應(yīng)，這個結(jié)果可通過求解下面的優(yōu)化問題Min r到（49）再來表示作為優(yōu)化H控制器。 記錄4. 我們用哈爾小波提供一種新的計算方法來計算二階微分方程的H控制。換句話說，根據(jù)第三部分的必要條件1和2，現(xiàn)在的方法是18中結(jié)果的擴(kuò)展。 記錄5 因為在每一個m時間區(qū)間內(nèi)，向量_m( )是不變的，逼近的優(yōu)化次優(yōu)軌道？和次優(yōu)控制可表述如下： 有常量矩陣Gi , G i R4*4m, Fi , Fi R1*4m.其中每一個時間區(qū)間i/m i < i + 1/m，對于i

20、 = 0, 1, . . . , (m 1). 記錄6 常系數(shù)矩陣是運(yùn)用分段的，像常量基本函數(shù)哈爾小波或Walsh函數(shù)，不能通過像Legendre 或 Laguerre多項式的平順函數(shù)設(shè)置來實現(xiàn)。相比于Walsh函數(shù)，哈爾小波在計算效果上有另外的優(yōu)勢，當(dāng)然，哈爾小波在更多方面比其他基本函數(shù)有優(yōu)勢。6 數(shù)字結(jié)果 在這部分，建議的計算方法應(yīng)用于汽車發(fā)動機(jī)及機(jī)體振動系統(tǒng)15中，這樣，外部干擾de(t) 可假定為一個sin（.）函數(shù)。在頻率為10赫茲的低頻范圍。用作設(shè)計和模擬的系統(tǒng)的參數(shù)，在附錄的表1，2中給出。附錄A中的表給出了汽車發(fā)動機(jī)體振動系統(tǒng)的八階模型的零極位置?.可以很清楚的看到，汽車發(fā)動機(jī)

21、體振動系統(tǒng)不穩(wěn)定，沒有最小狀態(tài)屬性。我們的目標(biāo)是找到底盤的優(yōu)化布置和在有限時間區(qū)間0,1)利用哈爾小波，根據(jù)H的性質(zhì)找出次優(yōu)輸入的力。而且，在控制的輸出z(t)中的矩陣S1, S1 R4*4,向量C1,C2，標(biāo)尺C3可這樣選擇S1 = S2 = 04, C1 = 0, 1, 1, 2,C2 = 3,1, 0, 1 C3 = 1. 為了比較由哈爾小波得到的逼近解X2（t）f(t)與由附錄B中的定理1得到的解析解，我們選擇給彈跳性能和resolution參數(shù)分別賦值3.15和5： = 3.15 和 j = 5。時間曲線標(biāo)示在圖5.6上?？梢郧宄吹?，發(fā)動機(jī)干擾的影響和輸出一樣衰減到底盤。換句話說，

22、f(t)補(bǔ)償傳遞給底盤的振動。比較基于哈爾小波的解和運(yùn)用微分Riccati方程求得的連續(xù)解，二者均可表述逼近解（50）（51），優(yōu)化控制f(t)和狀態(tài)？x(t),通過求解線性代數(shù)方程而不是求解非線性微分Riccati方程獲得，狀態(tài)逼近的精確性&mi=1 (x2(ti ) x2(ti )2 ti = i/m 有i = 0, 1, . . . , m 1,對于輸入力有&mi=1 ( f (ti ) f(ti )2,可以輕松的通過增加resolution參數(shù)J改進(jìn)，見表4.圖6 比較由參數(shù)j=5時的哈爾小波和解析解得到的輸入力圖板1 兩個參數(shù)時的容錯值7 結(jié)論本段講述了運(yùn)用哈爾小波對

23、汽車發(fā)動機(jī)體振動機(jī)構(gòu)的彈跳俯仰振動的建模與控制?；诠栃〔ǖ挠糜诎l(fā)動機(jī)體系統(tǒng)降振的優(yōu)化控制在計算上是發(fā)展著的。引入哈爾小波的性質(zhì)，并運(yùn)用它找出優(yōu)化的解，并通過求解一次代數(shù)方程而不是Riccati微分方程來逼近?，F(xiàn)用列出的結(jié)果來說明此方法的優(yōu)勢。附錄A圖板2 汽車車體參數(shù)參數(shù) 數(shù)值圖板3 發(fā)動機(jī)參數(shù)參數(shù) 數(shù)值圖板4 8自由度模型的零極位置極？ 零？附錄B定理1（狀態(tài)返回）9 考慮動態(tài)系統(tǒng)假定值是（A,B1,C）穩(wěn)定的.如果r>0，微分的Reccati方程為有一個主動的半定義解X(t)，這樣A-(B1 BT1 2B2 BT2 ) X(t)是穩(wěn)定的。然后，控制規(guī)律u (t) = BT1 X(

24、t) x(t) := K(t) x(t)滿足_ z(t)_2 < _ w(t)_2.鳴謝 作者感謝亞歷山大·凡提供這項研究的支持，作者同時想在文章中感謝幫助他們的同事以及他們的有價值的建議。 參考資料1. Aglietti G, Stoustrup J, Rogers E, Langley R, Gabriel S (1998)LTR control methodologies for micro vibrations. In: Proceedingsof the IEEE CCA pp 6246282. Burrus CS, Gopinath RA, Guo H (1998)

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