《高等數(shù)學(xué)》知識在物理學(xué)中的應(yīng)用舉例

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載高等數(shù)學(xué)知識在物理學(xué)中的應(yīng)用舉例一 導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用分析 利用導(dǎo)數(shù)與微分的概念與運(yùn)算，可解決求變化率的問題。求物體的運(yùn)動速度、加速度的問題是典型的求變化率問題。在求解這類問題時， 應(yīng)結(jié)合問題的物理意義， 明確是在對哪個變量求變化率。在此基礎(chǔ)上， 靈活運(yùn)用各類導(dǎo)數(shù)和微分公式解決具體問題。例 1 如圖，曲柄, roa以均勻角速度饒定點(diǎn) o轉(zhuǎn)動.此曲柄借連桿 ab 使滑 塊 b 沿 直 線 ox 運(yùn) 動.求 連 桿上 c 點(diǎn) 的 軌 道 方 程 及 速 度 .設(shè),acbac,aob.aboy解 1) 如圖，點(diǎn) c 的坐標(biāo)為：c o sc o sarx，(1)a.sinay(2) c由

2、三角形的正弦定理，有b,s i n2s i narox故得.2sin2sinryra(3) 由(1)得ryaxrax22coscos(4) 由, 1cossin)4()3(2222得, 12422222222ryaxyaxry化簡整理 ,得c 點(diǎn)的軌道方程為 : .)3()(422222222rayxyax2) 要求 c 點(diǎn)的速度 ,首先對 (1),(2)分別求導(dǎo) ,得,s i nc o s2c o ss i nrrx,2c o sry其中.學(xué)習(xí)必備歡迎下載又因?yàn)?sin2sinar對該式兩邊分別求導(dǎo) ,得.c o s2c o sar所以 c 點(diǎn)的速度22yxv4c o s)s i nc o

3、s2c o ss i n(2222rrr. )s i n (c o ss i n4c o sc o s22r例 2 若一礦山升降機(jī)作加速度運(yùn)動時,其加速度為),2sin1(ttca式中c及t 為常數(shù) ,已知升降機(jī)的初速度為零,試求運(yùn)動開始t秒后升降機(jī)的速度及其所走過的路程 . 解: 由題設(shè)及加速度的微分形式dtdva,有,)2sin1(dtttcdv對等式兩邊同時積分vtdtttcdv00,)2sin1(得: ,2cos2dtttcctv其中 d 為常數(shù) . 由初始條件 :,0,0tv得,2ctd于是).12(cos2ttttcv又因?yàn)?dtdsv得,)12(cos2dtttttcds對等式兩

4、邊同時積分 ,可得: ).2sin2(2212ttttttcs學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 3 寬度為 d 的河流，其流速與到河岸的距離成正比。在河岸處，水流速度為零，在河流中心處，其值為. c一小船以相對速度u沿垂直于水流的方向行駛，求船的軌跡以及船在對岸靠攏的地點(diǎn)。解 以一岸邊為x軸，垂直岸的方向?yàn)閥軸，如圖建立坐標(biāo)系。所以水流速度為y.2),(,20,dydydkdykyvdox由河流中心處水流速度為c，故)2(2ddkdkc，所以dck2. 當(dāng)20dy時，ydcv2，即,2ydcdtdx,uty(1) 得tdtdcudx2. 兩邊積分，有xtdttdcudx00,22tdcux, (2) 由(1

5、)-(2)，得,2yudcx20dy. (3) 同理，當(dāng)dyd2時，)(2yddcv，即),(2)(2utddcyddcdtdxdtutddcdx)(2，dyudcyucx22，(4) 學(xué)習(xí)必備歡迎下載其中d為一常數(shù)。由 (3)知，當(dāng)2dy時，ucdx4，代入(4)，得ucdd2，于是,222ucdyudcyucxdyd2. 所以船的軌跡為.2,22,20,22dyducdyudcyucxdyyudcx船在對岸的靠攏地點(diǎn)，即dy時有.2ucdx例 4 將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)豎直拋上于有阻力的媒質(zhì)中。設(shè)阻力與速度平方成正比，即.22gvmkr如上擲時的速度為0v，試證此質(zhì)點(diǎn)又落至投擲點(diǎn)時的速度為.12

6、0201vkvv解：質(zhì)點(diǎn)從拋出到落回拋出點(diǎn)分為上升和下降兩階段。取向上的力為正，如圖，兩個過程的運(yùn)動方程為：vr上升：,22ygmkmgym。下降：.22ygmkmgymmgv上升時r下降時mg對上升的階段：)1 (22vkgdtdv，即),1(22vkgdyvdvdtdydydv于是gdyvkvdv221. 兩邊積分002201vhgdyvkvdv，得質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的高度)1ln(212022vkgkh. (1) 對下降的階段：),1(22vkgdyvdvdtdydydv即得100221vhgdyvkvdv,得)1ln(212122vkgkh. (2) 由(1)=(2) 得.120201vkvv學(xué)

7、習(xí)必備歡迎下載二 積分的應(yīng)用分析 利用積分的概念與運(yùn)算， 可解決一些關(guān)于某個區(qū)域累積量的求解問題。求物體的轉(zhuǎn)動慣量、求電場強(qiáng)度等問題都是典型的求關(guān)于某個區(qū)域累積量的問題。在求解這類問題時，應(yīng)結(jié)合問題的物理意義，明確是在對哪個變量，在哪個區(qū)域上進(jìn)行累積。并應(yīng)充分利用區(qū)域的對稱性，這樣可將復(fù)雜的積分問題簡化，降低積分的重數(shù)，較簡捷地解決具體問題。例 5 一半徑為r的非均質(zhì)圓球，在距中心r處的密度為：),1 (220rr式中0和都是常數(shù)。試求此圓球饒直徑轉(zhuǎn)動時的回轉(zhuǎn)半徑。解：設(shè) dm表示距球心為r的一薄球殼的質(zhì)量，則drrrrdrrdm)1(22202，所以此球?qū)η蛐牡霓D(zhuǎn)動慣量為.3557)1(50

8、2204002rdrrrrdmrirr(1) 在對稱球中，饒直徑轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量為ii32，(2) 又因球的質(zhì)量為rrrdrrrrdmm03022020.1535)1(3) 又饒直徑的回轉(zhuǎn)半徑,mik(4) 由(1)-(4)，得.21351014rk例 6 試證明立方體饒其對角線轉(zhuǎn)動時的回轉(zhuǎn)半徑為23dk， 式中 d 為對角線的長度。解：建立坐標(biāo)系，設(shè) o為立方體的中心，軸,ox,oyoz分別與立方體的邊平行。由對稱性知，,ox,oyoz軸即立方體中心慣量的主軸。設(shè)立方體的邊長為.a學(xué)習(xí)必備歡迎下載由以上所設(shè)，平行于 ox 軸的一小方條的體積為adydz，于是立方體饒 ox 的轉(zhuǎn)動慣量為.6)

9、(2222222amdydzzyaiaaaax根據(jù)對稱性得：.62amiiizyx易知立方體的對角線與,ox,oyoz軸的夾角都為,且,31cos故立方體饒對角線的轉(zhuǎn)動慣量為.6coscoscos2222amiiiizyx(1) 又由于ad3, (2) 饒其對角線轉(zhuǎn)動時的回轉(zhuǎn)半徑為,mik(3) 由(1)-(3)得.23dk例 7 一個塑料圓盤，半徑為,r電荷 q均勻分布于表面，圓盤饒通過圓心垂直盤面的軸轉(zhuǎn)動，角速度為，求圓盤中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：電荷運(yùn)動形成電流， 帶電圓盤饒中心軸轉(zhuǎn)動， 相當(dāng)于不同半徑的圓形電流。圓盤每秒轉(zhuǎn)動次數(shù)為2，圓盤表面上所帶的電荷面密度為2rq，在圓盤上取一半徑為

10、r，寬度為 dr 的細(xì)圓環(huán)，它所帶的電量為rdrdq2，圓盤轉(zhuǎn)動時，與細(xì)圓環(huán)相當(dāng)?shù)膱A環(huán)電流的電流強(qiáng)度為rdrrdrdi22，它在軸線上距盤心x處的 p 點(diǎn)所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為rdrxrrxrdirdb232220232220)(2)(2,)(2232230drxrr學(xué)習(xí)必備歡迎下載故 p 點(diǎn)處的總磁感應(yīng)強(qiáng)度為rdrxrrb0232230,)(2變換積分drxrrxdrxrrdrxrr23222212223223)()()(所以22222220 xxrxxrb222222220 xxrxrrq，b 的方向與方向相同 (0q)或()0q. 于是在圓盤中心0 x處，磁感應(yīng)強(qiáng)度.20rqb例 8 雨滴

11、下落時，其質(zhì)量的增加率與雨滴的表面積成正比，求雨滴速度與時間的關(guān)系。解：設(shè)雨滴的本體為.m由物理學(xué)知.)(fmvdtd(1) 1) 在處理這類問題時，常常將模型的幾何形狀理想化。對于雨滴，我們常將它看成球形，設(shè)其半徑為,r 則雨滴質(zhì)量m是與半徑r的三次方成正比，密度看成是不變的，于是31rkm，(2) 其中1k為常數(shù)。2) 由題設(shè)知，雨滴質(zhì)量的增加率與其表面積成正比，即,4222rkrkdtdm(3) 其中2k為常數(shù)。由 (2)，得.321dtdrrkdtdm(4) 由(3)=(4)，得.312kkdtdr(5) 學(xué)習(xí)必備歡迎下載對(5)兩邊積分：,0rattddr得,atr(6) 將(6)代

12、入(2)，得.)(31atkm(7) 3）以雨滴下降的方向?yàn)檎?，分?1)式,)()(3131gatkvatkdtd(8) ,)()(301310gdtatkvatkdtv,)(41)(34131katgkvatk（3k為常數(shù)）當(dāng)0t時，0v，故,4413gakk.)(434ataatgv三 曲線、曲面積分的應(yīng)用分析 曲線、曲面積分的概念與運(yùn)算在物理學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，靈活應(yīng)用曲線、曲面積分，往往能使問題得到簡化。在求磁感應(yīng)強(qiáng)度、磁通量這類問題時，高斯公式往往是有效的。例 9 設(shè)力,kfjfiffzyx其中,206233ybxyabzfx36abxzfy,104ybx,182abxyzfz驗(yàn)證

13、f 為保守力，并求出其勢能。解：為驗(yàn)證 f 是否為保守力，將題設(shè)中力f 的表達(dá)式代入f，得xxxfffzyxkjifkyfxfjxfzfizfyfxyzxyz)()()(jyabzyabziabxzabxz)1818()1818(2222kyabxabzyabxabz)406406(3333,0于是 f 是保守力。故其勢能為學(xué)習(xí)必備歡迎下載drfv)(),()0,0,0(dzfdyfdxfzzyxyx)0,0,()0,0,0()0,()0,0,(43233)106()206(xyxxdyybxabxzdxybxyabz),()0,(218zyxyxdzabxyz.65324abxyzybx例

14、10 一個半徑為 r的球體內(nèi)，分布著電荷體密度,kr式中r是徑向距離，k 是常量。求空間的場強(qiáng)分布，并求e 與r的關(guān)系。解：(1)由于在球體內(nèi)電荷是球?qū)ΨQ分布的，故產(chǎn)生的電場也是球?qū)ΨQ分布的，因此可用高斯定理求解。取與球面同心的球面作為高斯面。1) 當(dāng)rr時，qdse01, 而24 redse，(1) ,41114002000rkdrrkrdvqr(2) 由(1)=(2)，得,4)(20rkre方向?yàn)閺较蚍较颉?) 當(dāng)rr時，由高斯定理qdse01, 有24 redse, (3) ,41114002000rkdrrkrdvqr(4) 由(3)=(4)，得,4)(204rkrre方向沿徑向方向。

15、例 11 一根很長的銅導(dǎo)線， 載有電流 10a， 在導(dǎo)線內(nèi)部通過中心線作一平面s試計算通過導(dǎo)線m1 長的 s平面內(nèi)的磁感應(yīng)通量。解：由電流分布具有軸對稱性可知，其產(chǎn)生的磁場也具有軸對稱性，以下用安培環(huán)路定理求解。取 以 軸 線 為 圓 心 的 半 徑 為r的 同 心 圓 環(huán) 為 積 分 環(huán) 路 ， 由 安 培 環(huán) 路 定 理idlb0，有rbdlb2, (1) 學(xué)習(xí)必備歡迎下載:)(rr,12200rri(2) 由(1)=(2)，所以有.220rrib在剖面上取面積微元ldrds，有.220ldrrridsbd所以單位長)1(ml的導(dǎo)線內(nèi)通過剖面的磁通量為.1041010442670020wbidrrirdsr例 12 在半徑為 r的金屬球之外包有一層均勻介質(zhì)層，外半徑為.r 設(shè)電介質(zhì)的相對電容率為,r金屬球的電荷量為,q求：1) 介質(zhì)