(完整版)第六章無(wú)窮級(jí)數(shù)

1、1第六章無(wú)窮級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)目的和要求學(xué)習(xí)本章，要求讀者掌握常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的概念，級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)、p級(jí)數(shù)和調(diào)和級(jí)數(shù)的收斂性；正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別法則及判定交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂性的萊布尼茲判別法；掌握幕級(jí)數(shù)的概念和運(yùn)算，熟 悉常用函數(shù)T，- I I A的幕級(jí)數(shù)展開式，并會(huì)用間接法將一些簡(jiǎn)單函數(shù)展成幕級(jí)數(shù)，求出其收斂半徑和收斂區(qū)域.第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義設(shè)已給數(shù)列冷丄二則式子壯十皿 j 十+應(yīng)”十11或其簡(jiǎn)寫 二仁叫做無(wú)窮級(jí)數(shù),記前-r | .l- 無(wú)限增大時(shí)，若數(shù)列：具有有限的極限S.-1 I則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，其極限值S稱為級(jí)數(shù)的和，并記為E w山（1十壯2十十若】，沒(méi)

2、有極限，就稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散例如：幾何級(jí)數(shù).則2當(dāng)丨卜1時(shí)于-故耳Too當(dāng)？二1時(shí)陌二MTC0-I：- 11- /.,無(wú)極限.從而可得如下結(jié)論：若幾何級(jí)數(shù)的公式比1時(shí)，則級(jí)數(shù)收斂若1，則此級(jí)數(shù)發(fā)散2無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)若級(jí)數(shù).1-丨:，則每一項(xiàng)乘以一個(gè)不為零的常數(shù)I -(2)設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)：+ +wn+、口 = 5 十+十十r則級(jí)數(shù)(i 5)十( 士丈 5)十收斂于和一丁二(3)在級(jí)數(shù)的前面部分去掉或加上有限項(xiàng)，不影響級(jí)數(shù)的斂散性，但是其級(jí)數(shù) 和會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化.當(dāng)J,二亠3(4)收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來(lái)的和S.要求讀者了解上述基本性質(zhì)的證明，并熟練運(yùn)用上述諸性質(zhì).（5）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收

3、斂的必要條件：若級(jí)數(shù)二d、- 趨于無(wú)窮大時(shí)，B-1它的一般項(xiàng)U必趨近于零.因而若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零，則級(jí)數(shù)一定發(fā)散，但反之不然，亦即如果級(jí)數(shù) 的一般項(xiàng)趨于零，則級(jí)數(shù)未必收斂.例如：調(diào)和級(jí)數(shù)其一般項(xiàng) J - 一 但它是發(fā)散的.n（6）級(jí)數(shù)1十丄十丄十丄十稱為工-I I*級(jí)數(shù)收斂3正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別法（要求讀者能熟練使用下列判別法）若級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)均為正數(shù)（即_一）則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，有如下收斂判別法：（1）比較判別法設(shè)有兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)乞二匚:若級(jí)數(shù)H i-l土廠J：匕-,二4匕二三、丄亍也發(fā)散.2-1J-13-1比值判別法 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于門，45:冃：是幕級(jí)數(shù)相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)則當(dāng)

4、 亡1時(shí)級(jí)數(shù)收斂，門1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，門=1時(shí)待定.4.萊布尼茲判別法若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件：1）丿fl . . I,則交錯(cuò)級(jí)數(shù)圭-廠匕收斂，且其-1和-.-T 的近似值時(shí)，誤差5.絕對(duì)收斂和條件收斂若級(jí)數(shù)各項(xiàng)的絕對(duì)值所成的級(jí)數(shù)|收斂,則級(jí)數(shù) 收斂，并i-ll-li-1稱這樣的級(jí)數(shù)叫做絕對(duì)收斂級(jí)數(shù).如果級(jí)數(shù)收斂，而它的各項(xiàng)取絕對(duì)值所成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱級(jí)數(shù) 3-13-1為條件收斂級(jí)數(shù).第二節(jié)幕級(jí)數(shù)形為-1的級(jí)數(shù)稱為幕級(jí)數(shù)，而常數(shù)叫做幕級(jí)數(shù)的系數(shù).1.幕級(jí)數(shù)的收斂半徑對(duì)幕級(jí)數(shù)，必有數(shù)R,使當(dāng)廣時(shí)幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，而當(dāng)時(shí)，幕級(jí)數(shù)發(fā)散，數(shù)R被稱為收斂半徑.幕級(jí)數(shù)的收斂半徑可如下求得：6若 Qp 則應(yīng)=??；(2)

5、若 p= O?WJR = 若 q +則J? -0.例求冪級(jí)數(shù).L 1 的收斂半徑.23總解因?yàn)?則收斂半徑7-2.幕級(jí)數(shù)的運(yùn)算設(shè)已知兩幕級(jí)數(shù):aa十1+土天，H-耳卅 十=/(X),鳥o+1開 +b去+ * - + 必】工* + * gg，其收斂區(qū)間分別為-.亠.匚；廠匚，則有如下運(yùn)算法則:(1)加法運(yùn)算爲(wèi)斤亍(外土打)八x-0A-0n-D兩個(gè)幕級(jí)數(shù)相加或相減后所得到的幕級(jí)數(shù)至少在原來(lái)兩個(gè)收斂區(qū)間中較小的區(qū) 間 j- I內(nèi)是收斂的，其和差依次為.(2)乘法運(yùn)算7（另F）耳 h）二（CJ0十切）十0A十円切并E+ （% +昭外+盤心）”1+十（工+i-0在區(qū)間（-R,R）內(nèi)成立.（3）微分運(yùn)算在

6、幕級(jí)數(shù)收斂區(qū)間（-A,A）內(nèi)任意一點(diǎn)x處，有廣（町=0務(wù)小= （知尸）=乞嚀心=?! + 2包忑護(hù) +-.也就是說(shuō)，幕級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)微分，且收斂半徑不變（4）積分運(yùn)算在幕級(jí)數(shù)收斂區(qū)間（一A，A）內(nèi)任意一點(diǎn)x處，有也就是說(shuō)，幕級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，且收斂半徑不變第三節(jié)泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)1泰勒公式如果函數(shù)01口匚I 1I 內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng) 1 :.可以表示為-I“次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng):的和：8m了（鬲）十廣0。一術(shù)）十一jo）aU.+“+翳（r 宀令帀其中 r之間的某個(gè)值.若F取0,則泰勒公式變?yōu)辂溈藙诹止剑?W - 7（0） +廣妙 + 警 / + ”，+十 k

7、 初（。日1）2泰勒級(jí)數(shù)設(shè)函數(shù)具有各階導(dǎo)數(shù)?/ ._z1-：,則稱級(jí)數(shù)了偽）十廣一心）+|/VoK_心）為函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)若的泰勒公式的余項(xiàng)；,.：.-無(wú)限增大時(shí)極限為零，則上述.的泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)本身.Ifsm +J2 + 1)- _ 2_x+i(2n+1)!3.常用函數(shù)的麥克勞林展開式(0 恥1);4-9燉(稅1)(枕 _ 2) -(枕- + 1)(/?3 齊)衛(wèi)畑嚴(yán) T 嚴(yán)（0 1）；11(4) ln(l + x) = -xa+工2-，_斗 一23事耳1(1亠偸尸呵護(hù)就(0 6 1),n十14類似地，有上述函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)為21+ - +(-1T少35!3 +1)14+稅佃_1）（演-

8、可3 -旳十1）宀（沖卜1）,(4)血(1 + X)=JT-一一滬（亠 55用間接法將一些簡(jiǎn)單函數(shù)展成幕級(jí)數(shù)（-! ,例將數(shù)的幕級(jí)數(shù).Y-龍一兀1解因,而用(幡-1)2T(-8 X 眄；(- X w而(D)正確，應(yīng)選妙例2:二廠第其二二廠丫.I：-T.|-.- .疔乩+小(xxi) S-K*-i_iU 1BE 堂 HK-l解：(D)中級(jí)數(shù)杲一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù).由己知妝收遲即勺(-1)% I 收敎Z11故得QW),(I工|=2H-1戸盍 7A2- 1(| x | 1).11可知工(-1)乜是收斂的而且是絕對(duì)收斂的。注意咲于3)沖的級(jí)數(shù)的發(fā)散，從一個(gè)反例可以看出很= n2 4十 3 般項(xiàng)不趨于零發(fā)散.n

9、.l 科2t.fT=z-調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散， 士泌其一般項(xiàng)不趨于零，發(fā)散.應(yīng)選衛(wèi)0 1例3:=；M-i 旳(丄)0 蘭 0(了)gl(C*) 例4:；書；.二和匸，了123522（& 一3）-（D） 2353解由于幾何級(jí)數(shù)壬幽心當(dāng)研時(shí)收斂，其和為旦1-11 Q2（fr AA flfrTi因此遲護(hù)=ZQS=iZQM_1二 mM-CZ 二二 Z 3_ _ J5故應(yīng)選（Q）o注蕙:無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性與M的起期值無(wú)關(guān),而無(wú)窮級(jí)數(shù)的和的大小卻是與旳的起始值密切相關(guān)的。例5:沖SJ認(rèn)總+ 1 1解:另是正項(xiàng)級(jí)數(shù)JB-Inin+ 1111Aj _ X _ _ 刀厶+1科&4 1Z因此詁是p =-的歹

10、級(jí)數(shù)，收斂。H-lK2 1由比較判法知是收斂的&M-i料&+1例6:下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)中發(fā)散的是例&r -口:13A-Iw +zajs-i（知十1丿 3 十1）19 2沖+1（64（D）另竽旳n-l 2111117解:由于. A .=JJ=7,而級(jí)數(shù)刀j是 =yn+ vi3亍3-1 j3的 p 級(jí)數(shù)?是發(fā)散時(shí)根據(jù)比較審斂法可知?（）中級(jí)數(shù)是發(fā)散的,3）由于ft是P= 2 的戸級(jí)數(shù)是收斂的而珈科根據(jù)極限形式的比較審斂法，可知（B）中級(jí)數(shù)是收斂的；由于沏而另厶收斂由比較法可知中級(jí)數(shù)是收飯的； 2+3w ,o*+i 1（D）由于limB+= km -= 1n?WQ2用十12nib2

11、B根據(jù)達(dá)朗皿爾比值法乞容收斂z 2故應(yīng)選（母& 1 - 例7： J.z 1 + u輻（1）當(dāng)時(shí)”Hm亠Ml般項(xiàng)不趨向于零級(jí)數(shù)發(fā)散。il+211當(dāng)& =1時(shí)正亠=丫二一股項(xiàng)不趨向于零，級(jí)數(shù)發(fā)散。1+總2當(dāng)心冋嚴(yán)嚴(yán)- 丄”根據(jù)萊布尼茲審斂法知，中交錯(cuò) f 斥 -fi 店+1級(jí)數(shù)是收斂的從而可知中級(jí)數(shù)是條件收斂的，故應(yīng)選(珮注意:在判別任意項(xiàng)級(jí)數(shù)土血 是否收斂、以及是絕對(duì)收鈑還是條件收 斂時(shí)，一股可遵循以下步驟.第一步，根據(jù)級(jí)數(shù)收斂必要性粗略觀察是否有-若有，則得出級(jí)數(shù)發(fā)散結(jié)論，否則進(jìn)行下一步。第二歩,通項(xiàng)加上絕對(duì)值”考察正項(xiàng)級(jí)數(shù)丈必 I的斂散性，若其收斂貝ft-1原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；否

12、則,對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)低逬行下一歩* (這里需指出在考察El% I的斂散性叭如果用的是比值審斂祛或根值審斂法，當(dāng)1 町可以直接警斷定原級(jí)數(shù)兀氓發(fā)散1第三歩,用菜布尼茲審斂法耒判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)龍叫是否收斂?jī)襷Jrt3+ 1例9:判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，指出是條件收斂還B-1冷是絕對(duì)收斂*Kh力+iw1Zr解由于 lim冷1二一工+ l2例&r -口:15解.交錯(cuò)級(jí)數(shù)暫二血皿:=11（1 +丄） lim 叭=lim 1+亠=。思 TgK-?ID5又因?yàn)榻惺菃握{(diào)下降的氓 X （事實(shí)上考察了二 11（1+4）17_/（）=（-4），所以/何是單調(diào)下障的因此左（1嚴(yán)血疋 J收敘ii.i力-C-V）i

13、127ln（l + 1+p 進(jìn)一歩，由于級(jí)數(shù)工 4 收斂質(zhì) 曲一 =血 =1Mg121|即 工（-1嚴(yán)比音1絕對(duì)收錢例10：w；解:心曲|處 1|二曲星 T 他 b出因此.箒級(jí)數(shù)的收敘半徑為 2o當(dāng)-2 時(shí).級(jí)數(shù)變成 yO21=yOl 是一個(gè)收斂的交鶴級(jí)數(shù)。 OW1當(dāng)2 叭 級(jí)數(shù)變成兀厶二 Y 丄是調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散所以幕級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為-2,2）例11：U比二門L 訂 ：.解:作變換 2“ 3,把己知級(jí)數(shù)化為 f的帚級(jí)數(shù)乞丄飛，由于所以乞（1嚴(yán)疋工二科+1(& 2出(B)(2.4 (Q (2r4) Q) 2 ,町16所以關(guān)于總的需級(jí)數(shù)的收斂半徑 R八當(dāng)丄=-1時(shí)，級(jí)數(shù)成為另1 廣x沖一總當(dāng)

14、 f =時(shí)級(jí)數(shù)成為丫 亠，兩者的各項(xiàng)取絕對(duì)值后均為乞?qū)⑵渑c收數(shù)級(jí)數(shù)工三 9 沁的P級(jí)數(shù)）比較.由于根據(jù)極限形式的比較審斂法可知級(jí)數(shù)遲飛收斂，從而當(dāng)心1 時(shí)級(jí)數(shù)為丄萬(wàn)收斂，級(jí)數(shù)工丄飛的收頷區(qū)間是-l,lo”2總托總由于一九即幻得到原級(jí)數(shù)乞魚耳，的收斂區(qū) 間2.4,因此應(yīng)選（禺注意為了講清泰勒級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間的求法.這里特意用直接方法 加以解答#作為選擇題，本例可以大大筒化解題的過(guò)程考慮到選擇支 都是端點(diǎn)分別為 2用的區(qū)間，因此只需判別在端點(diǎn)相應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否 收斂即可用2 代入級(jí)數(shù)變成 2 收斂，再用兀=-2 代入，同樣 也收斂于是選擇例12:IH門 L 上廠|十，一：i:分 丁；土17H=|解:

15、在公式-十中將兀換成有*-Li（2樓）！0COS 2x =另(1)B -0晦4*.所沿心 S 屯 2 麗八 gg1由于穴號(hào)+）因此，可得/何=扌乞（-分（-1令 1）K 即 /() = |Z(-i)r2H-D上例14： 丨丨三三巧十；.I一.W：麥克勞林公式Ar）二士竺単?！寇浶?=_1+滬1-0第六章無(wú)窮級(jí)數(shù)例13:將函數(shù)/w=展幵成江的需級(jí)數(shù)，并求收敘區(qū)間。2 十工X Z?-02 + X 2因此 J0)二士(-LM-0(-2 x 2 )1 -1182、級(jí)數(shù)士叫收斂的充分必要條件是（至墓I）3、是級(jí)數(shù)它收斂的（工 ）3522M、-乩一C jDs一23535、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)二宀發(fā)散，則一定有（竺）

16、-1G對(duì)藝込加括號(hào)百所康級(jí)數(shù)的收斂性不定 5 對(duì) lim 叭工。、選擇題1、若已知級(jí)數(shù)單元測(cè)試二宀收斂，S是它的前n項(xiàng)部分和，則它的和是（ Q* lim = 0“sP曲暫存在嵐二叭+心4limTI叫=r 1+肚D、It 1M： /M找2A、充分條件B必要條件C、充要條件D、無(wú)關(guān)條件4、2嚴(yán)5；的和S=（仝）A.對(duì)丈叫加括號(hào)后所成級(jí)數(shù)收斂氐襯士比加括號(hào)后所成級(jí)皴發(fā)散晁1196若級(jí)數(shù)發(fā)散，則（）跟gB、八GC.pp7、下列級(jí)數(shù)中收斂的是（空 ）9、在下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是（更矍）氐- + - + 一十一+ 十24 816 32Cs 0.01 +Jo.001 +可0001 +10、在下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是（

17、箜）婦歸1W-1込 IW11、下列級(jí)數(shù)中，發(fā)散的集數(shù)是（竺 ）A1* 1 18、下列級(jí)數(shù)中收斂的是（魚墨J）1234Ak-H H- b 十H 1213 14357 9=4002012、級(jí)數(shù)： 滿足何條件時(shí)，該級(jí)數(shù)必收斂（空刮）C. lim註=cx13、若級(jí)數(shù)V.C. ,；1.- I,收斂，則必有下列何式成立（）-1A、另丄必發(fā)散壬”臚收斂珀N-1C、壬叭+收斂D、E-D九必收斂用1乙N14、在下面級(jí)數(shù)中，絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)是（空 ）s f(-ir m詁嚴(yán)鳥A-l呢K-l科15、在下面級(jí)數(shù)中，絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)是（甦J）B12-i冶X=r弘另（-D“uy - Xc-ir1- s 2（-irM_I-72d

18、-1B_i 2xJ亂-z16、幕級(jí)數(shù)工：，的收斂區(qū)間是（空 ）1-1治（一叮） 氐4）2,4）6（2,417、幕級(jí)數(shù)士g_2y的收斂區(qū)間是（匹）A. (-1,1)氐3)段1J)6 (13w3k z(-DHeHLZ氐弘發(fā)散21A、(6,2)氐(0,2G 0,2)D |p|19、幕級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是（凹z 沖+1A、-1,1氐(叮) 匚71)6 (-1,120、幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)是（竺J-科！J4XB.aictan xCln(l+工)D.r21、的和函數(shù)是（厘）N-l WlAx尹 氐-1h 十 6 A. E比嚴(yán) CQS? D、W A223、幕級(jí)數(shù) ；一=，+的和函數(shù)是（二di-o 21&t(-irLM-l的收斂區(qū)間是（空J(rèn)）鮎丄良丄1 + 2工1-2兀D、24、函數(shù)在x=1處展成的泰勒級(jí)數(shù)是（注）22、幕級(jí)數(shù)n的和函數(shù)是（菱）22n-0丄D、Sfrt-1 2入#】12/n2 *-耳一In占料-料刑（沖-1）&0K 1Zvn=x4收斂K-i碎故由比較判別法，:-收斂、_1一In挖