線性代數(shù)-向量組的線性相關(guān)性

1、第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性分布圖示 線性相關(guān)與線性無關(guān) 例 1 例 2 證明線性無關(guān)的一種方法線性相關(guān)性的判定定理1定理2例3例4例5例6定理3定理4定理5例7 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習 習題 3-3內(nèi)容要點一、線性相關(guān)性概念定義 1給定向量組A :1, 2 ,s , 如果存在不全為零的數(shù)k1, k2 , ks ,使k1 1k22k ss0,(1)則稱向量組A 線性相關(guān) , 否則稱為線性無關(guān).注 : 當且僅當 k1k2k s0 時， (1) 式成立 , 向量組1 ,2 ,s 線性無關(guān) ; 包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的; 向量組只含有一個向量時，則（ 1）0 的充分必要條件是是線性無關(guān)的；（ 2）

2、0 的充分必要條件是是線性相關(guān)的； 僅含兩個向量的向量組線性相關(guān)的充分必要條件是這兩個向量的對應分量成比例；反之，僅含兩個向量的向量組線性無關(guān)的充分必要條件是這兩個向量的對應分量不成比例. 兩個向量線性相關(guān)的幾何意義是這兩個向量共線, 三個向量線性相關(guān)的幾何意義是這三個向量共面.二、線性相關(guān)性的判定定理1向量組1, 2 ,s (s2) 線性相關(guān)的充必要條件是向量組中至少有一個向量可由其余 s1個向量線性表示.a1 j定理2 設(shè)有列向量組a 2 j, ( j1,2, , s),則向量組1 , 2 , , s 線性相關(guān)的充要janj條件是 :是矩陣A (1,2,s ) 的秩小于向量的個數(shù)s.大學數(shù)

3、學推論 1n 個 n 維列向量組1,2 ,n線性無關(guān)（線性相關(guān)）的充要條件是: 矩陣A(1,2, n ) 的秩等于（小于）向量的個數(shù)n .推論 2n 個 n 維列向量組1,2 ,n線性無關(guān)（線性相關(guān)）的充要條件是:矩陣A ( 1 , 2 , , n ) 的行列式不等于（等于）零 .注 : 上述結(jié)論對于矩陣的行向量組也同樣成立.推論 3當向量組中所含向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)時, 此向量組必線性相關(guān) .定理 3如果向量組中有一部分向量(部分組 )線性相關(guān)，則整個向量組線性相關(guān).推論 4線性無關(guān)的向量組中的任何一部分組皆線性無關(guān).定理 4若向量組1, s, 線性相關(guān) ,而向量組1,2 , s 線性無

4、關(guān) , 則向量可由1,2, ,s 線性表示且表示法唯一 .定理 5設(shè)有兩向量組A: 1, 2, s ;B: 1, 2, t ,向量組 B 能由向量組 A 線性表示 , 若 st , 則向量組 B 線性相關(guān) .推論 5向量組 B 能由向量組 A 線性表示 , 若向量組 B 線性無關(guān) , 則 st.推論 6設(shè)向量組 A 與 B 可以相互線性表示, 若 A 與 B 都是線性無關(guān)的, 則 s t.例題選講例1設(shè)有3個向量 (列向量 ):11110 ,22,22,124不難驗證 2 1230, 因此1, 2,3 是 3個線性相關(guān)的3維向量 .例 2設(shè)有二個 2 維向量 : e11, e20, 那么存在不

5、全為零的0, 如果他們線性相關(guān)1數(shù)1,2,使1 e12 e20,也就是11200,01即1010.022大學數(shù)學于是10,20,這同1 , 2 不全為零的假定是矛盾的. 因此 e1 , e2 是線性無關(guān)的二個向量.例 3 (E01) n 維向量組1(1,0, ,0)T , 2 ( 0,1 ,0)T , , n (0,0, ,1)T稱為 n 維單位坐標向量組, 討論其線性相關(guān)性 .解n 維單位坐標向量組構(gòu)成的矩陣100010E ( 1, 2, , n )001是 n 階單位矩陣 .由 E1 0, 知 r En. 即 r E 等于向量組中向量的個數(shù), 故由推論2 知此向量是線性無關(guān)的.102例 4

6、(E02)已知 a1 1, a22 , a34, 試討論向量組 a1 , a2 , a3 及 a1, a2的線性相157關(guān)性 .解對矩陣A (a1 , a 2, a3 ) 施行初等行變換成行階梯形矩，可同時看出矩陣A 及B (1,2 ) 的秩，利用定理2 即可得出結(jié)論 .102r1r2( 1, 2, 3,)124r115r371025 rr0212 220551020 2 2 ,0 0 0易見， r ( A)2, r (B)2, 故向量組1, 2, 3 , 線性相關(guān) . 向量組 a1, a2 線性無關(guān) .例 5 判斷下列向量組是否線性相關(guān):1242131,2,3.1115111解對矩陣 (1,

7、 2 , 3 ) 施以初等行變換化為階梯形矩陣:大學數(shù)學1241241242130550111110330005111099000秩( 1,2 ,3 )23, 所以向量組1 ,2,3 線性相關(guān) .例 6證明：若向量組,線性無關(guān) , 則向量組,亦線性無關(guān) .證設(shè)有一組數(shù) k1, k2 , k3 , 使k1 () k2 () k3 () 0（ 1）成立，整理得 (k1k3 )( k1k2 )(k2k3 )0由 , ,線性無關(guān)，故k1k30k1k20（ 2）k2k30101因為 11020, 故方程組（2）僅有零解 .即只有 k1k2 k30 時（ 1）式才成立 .011因而向量組,線性無關(guān) .例

8、7 (E03) 設(shè)向量組 a1 , a2 , a3 線性相關(guān) , 向量組 a2 , a3 , a4 線性無關(guān) , 證明(1) a1 能由 a2 , a3 線性表示 ;(2) a4 不能由 a1 , a2 , a3 線性表示 .證明（ 1）因2 ,3 ,4 線性無關(guān)，故2 ,3 線性無關(guān)，而1 ,2,3 線性相關(guān)，從而1 能由2 , 3 線性表示；（ 2）用反證法 . 假設(shè)4 能由1,2 ,3 線性表示，而由（1）知1 能由2 , 3 線性表示，因此4 能由 2, 3表示，這與2 ,3,4 線性無關(guān)矛盾 .證畢 .課堂練習1. 試證明 :大學數(shù)學(1)一個向量線性相關(guān)的充要條件是0 ;(2)一個向量線性無關(guān)的充分條件是0 ;(3)兩個向量, 線性相關(guān)的充要條件是k或者k （兩式